高考数学复习不等式课堂达标33基本不等式文新人教版 8页

课堂达标(三十三) 基本不等式 ‎[A基础巩固练]‎ ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎[解析]　当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x>0)，‎ 故选项A不正确；‎ 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，‎ 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；‎ 由基本不等式可知，选项C正确；‎ 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．‎ ‎[答案]　C ‎2．(高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A.　　　 B．2 ‎ C．2　　　 D．4‎ ‎[解析]　由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2 时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a＋<b>0，且ab＝1，所以a>1,0log22＝1,‎2a＋>a＋>a＋b⇒a＋>log2(a＋b)，所以选B.‎ ‎[答案]　B ‎4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是(　　)‎ A．9　　　 B. ‎ C．4　　　　 D. ‎[解析]　将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎5．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18＝m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．(－∞，6] D．[6，＋∞)‎ ‎[解析]　因为a>0，b>0，＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，‎ 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，‎ 所以－6≥－m，即m≥6.‎ ‎[答案]　D ‎6．(2018·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　)‎ A．1 B．6‎ C．9 D．16‎ ‎[解析]　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝ 时等号成立，所以最小值为6.故选B.‎ ‎[答案]　B ‎7．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是______．‎ ‎[解]　考察基本不等式x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2(当且仅当x＝2y时取等号)‎ 整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0‎ 即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，‎ 所以x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时取等号)‎ 则x＋2y的最小值是4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎8．(2018·盐城三模)若a，b均为非负实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为______．‎ ‎[解析]　由题意可知：‎3a＋3b＝3，故：＋ ‎＝×[(a＋2b)＋(‎2a＋b)] ‎＝ ‎≥×＝×9＝3.‎ 当且仅当a＝1，b＝0时等号成立．‎ ‎[答案]　3‎ ‎9．(高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为______．‎ ‎[解析]　令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2 ＝9＋2 ≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.所以tmax＝＝3 .‎ ‎[答案]　3 ‎10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.‎ ‎(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)求＋的最小值．‎ ‎[解]　(1)∵x>0，y>0，‎ ‎∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.‎ ‎∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得 此时xy有最大值10.‎ ‎∴u＝lg x＋lg x＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ ‎∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．‎ 由解得 ‎∴＋的最小值为.‎ ‎[B能力提升练]‎ ‎1．(2018·河北五校联考)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)‎ A.　　 B. ‎ C.　　 D．4‎ ‎[解析]　不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以‎4a＋6b＝12，即‎2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．‎ ‎[答案]　D ‎2．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，若存在两项am，an使得＝‎4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，可得a1q6＝a1q5＋‎2a1q4，所以q2－q－2＝0，‎ 解得q＝2或q＝－1(舍去)．‎ 因为＝‎4a1，所以qm＋n－2＝16，‎ 所以‎2m＋2－2＝24，所以m＋n＝6.‎ 所以＋＝(m＋n) ‎＝≥＝.‎ 当且仅当＝时，等号成立，‎ 又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．‎ 故＋的最小值等于.‎ ‎[答案]　A ‎3．(2018·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的取值范围是______．‎ ‎[解析]　∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，‎ ‎∴d＝＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，‎ ‎∴＝＝ ‎＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0.‎ 又∵a，b为正实数，∴的取值范围是(0，＋∞)．‎ ‎[答案]　(0，＋∞)‎ ‎4．(2018·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x＝3－ 函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．‎ ‎[解析]　利润等于收入减成本，‎ 所以y＝·x－32x－t－3＝16x－－3‎ ‎＝16x＋－3＝16(x－3)＋＋48－2.5‎ 因为x＝3－<3，所以原式x－3<0，‎ 可化简为y＝－＋45.5，‎ 而16(3－x)＋≥2＝8，‎ 那么－＋45.5≤－8＋45.5＝37.5，等号成立的条件是16(3－x)＝⇒x＝2.5，‎ 所以该公司的最大利润是37.5，‎ 故填：37.5.‎ ‎[答案]　37.5‎ ‎5．(2018·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为‎900 m2‎的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔‎1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留‎1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留‎3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．‎ ‎(1)求S关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题设，得S＝(x－8) ‎＝－2x－＋916，x∈(8,450)．‎ ‎(2)因为8x1≥35，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝.∵x2>x1≥35，‎ ‎∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，‎ 故f(x1)－f(x2)<0，f(x1)