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- 2021-05-13 发布
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2012年高考数学最后压轴大题
1.(本小题满分12分)设函数在上是增函数。求正实数的取值范围;
设,求证:
1、解:(1)对恒成立,
对恒成立
又 为所求。
(2)取,,
一方面,由(1)知在上是增函数,
即
另一方面,设函数
∴在上是增函数且在处连续,又
∴当时,
∴ 即
综上所述,
2.已知椭圆C的一个顶点为,焦点在x轴上,右焦点到直线
2012年高考数学最后压轴大题
1.(本小题满分12分)设函数在上是增函数。求正实数的取值范围;
设,求证:
1、解:(1)对恒成立,
对恒成立
又 为所求。
(2)取,,
一方面,由(1)知在上是增函数,
即
另一方面,设函数
∴在上是增函数且在处连续,又
∴当时,
∴ 即
综上所述,
2.已知椭圆C的一个顶点为,焦点在x轴上,右焦点到直线
的距离为
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,设,若的取值范围。
2.解:(1)由题意得: …………………1分
由题意
所以椭圆方程为………………………3分
(2)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
中,得
设
则 ……………………………5分
∵ ∴有
由 …………7分
∵
又
故
……………………………………………………8分
令 ∴,即
∴
而 , ∴
∴………………………………………………………10分
3.已知函数,
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)令,是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)当时,证明:
3.解:(1)在上恒成立,
令 ,有 得……………………… 4分
得 …………………………………………………………………………… 5分
(2)假设存在实数,使()有最小值3,
……………………………………………6分
当时,在上单调递减,,(舍去),
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件.
③当时,在上单调递减,,(舍去),
综上,存在实数,使得当时有最小值3. ……………………10分
(3)令,由(2)知,.令,,
当时,,在上单调递增
∴
即.………14分
4.设函数
(1)若时函数有三个互不相同的零点,求的范围;
(2)若函数在内没有极值点,求的范围;
(3)若对任意的,不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
4.解:(1)当时,
因为有三个互不相同的零点,所以,
即有三个互不相同的实数根。
令,则。
因为在和均为减函数,在为增函数,
的取值范围
(2)由题可知,方程在上没有实数根,
因为,所以
(3)∵,且,
∴函数的递减区间为,递增区间为和;
当时,又,
∴而
∴,
又∵在上恒成立,
∴,即,即在恒成立。
∵的最小值为
∴
6.(本题满分14分)
已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2,直线过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段PF2的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
6.解:(Ⅰ)
相切
∴椭圆C1的方程是 …………3分
(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2(2,0)的距离, ∴动点M的轨迹C是以为准线,F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为 …………6分
(Ⅲ)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,
,则直线AC的方程为
联立
所以
….9分
由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得
∵,
∴四边形ABCD的面积为……..12分
由
所以时取等号. …………13分
易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积
9.(本小题满分14分)
已知椭圆+=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1.F2,离心率e=,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆相交于M.N两点,且|+|=,求直线l的方程.
9.解析:(1)由条件有解得a=,c=1.
∴b==1.
所以,所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-1,0).F2(1,0).
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,
将x=-1代入椭圆方程得y=±.
不妨设M.N,
∴+=+=(-4,0).
∴|+|=4,与题设矛盾.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).
设M(x1,y1).N(x2,y2),联立
消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
由根与系数的关系知x1+x2=,从而y1+y2=k(x1+x2+2)=.
又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
∴+=(x1+x2-2,y1+y2).
∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2
=2+2=.
∴=2.
化简得40k4-23k2-17=0,
解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.
10.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,左、右焦点分别为、,点满足在线段的中垂线上.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果圆E:被椭圆所覆盖,求圆的半径r的最大值.
14.(本小题满分12分)
已知,函数,(其中为自然对数的底数).
(1)判断函数在区间上的单调性;
(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解(1):∵,∴.
令,得.
①若,则,在区间上单调递增.
②若,当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增,
③若,则,函数在区间上单调递减. ……6分
(2)解:
∵,,
由(1)可知,当时,.
此时在区间上的最小值为,即.
当,,,∴.
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.
而,即方程无实数解.
故不存在,使曲线在
处的切线与轴垂直……12分
15.(本小题满分12分)
已知线段,的中点为,动点满足(为正常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;
(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值.
解(1)以为圆心,所在直线为轴建立平面直角坐标系.若,即,动点所在的曲线不存在;若,即,动点所在的曲线方程为; 若,即,动点所在的曲线方程为.……4分
(2)当时,其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上,且
设,,的斜率为,则的方程为,的方程为 解方程组
得,
同理可求得,
面积= ………………8分
令则
令 所以,即
当时,可求得,故,
故的最小值为,最大值为1. ……12分
18(本小题满分12分)
设上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;[来源:Zxxk.Com]
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
解: 椭圆的方程为 4分
(2) ①当直线AB斜率不存在时,即,由
…………5分
又在椭圆上,所以
所以三角形的面积为定值.……6分
②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
,D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0……………8分而,
……………10分
S=|AB|=|b|===1
综上三角形的面积为定值1.………………………12分
20.已知函数的导数
.a,b为实数,.
(1) 若在区间上的最小值、
最大值分别为、1,求a、b的值;
(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点P(2,1)
处的切线方程;
(3) 设函数,试判
断函数的极值点个数.
解:(1) 由已知得,, 由,得,.
∵,,
∴ 当时,,递增;www.ks5u.com当时,, 递减.
∴ 在区间上的最大值为,∴.
又,
,
∴ .
由题意得,即,得. 故,为所求.
(2) 由 (1) 得,,点在曲线上.
当切点为时,切线的斜率,
∴ 的方程为,
即.
(3
二次函数的判别式为
令,得:
令,得 ∵,,
∴当时,,函数为单调递增,极值点个数为0;
当时,此时方程有两个不相等的实数根,
根据极值点的定义,可知函数有两个极值点.
21(本小题满分12分)
设F是椭圆C:的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点
A、B求证:∠AFM =∠BFN;
(3) 求三角形ABF面积的最大值.
解:(1) ∵ ∴ a = 4
又∵ | PM | = 2 | MF |得
(2) 当AB的斜率为0时,显然满足题意
当AB的斜率不为0时,设,AB方程为
代入椭圆方程整理得 则
综上可知:恒有
(3)
当且仅当(此时适合△>0的条件)取得等号.
∴三角形ABF面积的最大值是3
23已知函数f(x)=
(1)当时, 求的最大值;
(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数,使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)存在符合条件
解: 因为=
不妨设任意不同两点,其中
则
由 知: 1+
又 故
故存在符合条件. …12分
解法二:据题意在图象上总可以在找一点
使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在
故存在符合条件.
27已知经过点,且与圆内切.
(Ⅰ)求动圆的圆心的轨迹的方程.
(Ⅱ)以为方向向量的直线交曲线于不同的两点,在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形(为坐标原点).若存在,求出所有的点的坐标与直线的方程;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得|,可知到两个定点、的距离和为常数,并且常数大于,所以点的轨迹为椭圆,可以求得,,,
所以曲线的方程为.……………………5分
(Ⅱ)假设上存在点,使四边形为平行四边形.
由 (Ⅰ)可知曲线E的方程为.
设直线的方程为,,.
由,得
,
由得,且,,………7分
则,
,
上的点使四边形为平行四边形的充要条件是,
即
且,
又, ,所以可得,…………9分
可得,即或.
当时,,直线方程为;
当时,,直线方程为
.高☆考♂资♀源€……………………12分
29
A﹑B﹑C是直线上的三点,向量﹑﹑满足: -[y+2]·+ln(x+1)·= ;
(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若x>0, 证明f(x)>;
(Ⅲ)当时,x及b都恒成立,求实数m的取值范围。
解I)由三点共线知识,
∵,∴,∵A﹑B﹑C三点共线,
∴
∴.
∴∴,
∴f(x)=ln(x+1)………………4分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-,
由,
∵x>0∴
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> ;………8分
(III)原不等式等价于,令
h(x)= =由
当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3,则由Q(1)≥0及Q(-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分
32.已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.
(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;
(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,求直线的方程
(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准`线BC的方程.
解:(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上, 所以 ,即. ………….2分
故所求抛物线的方程为,其准线方程为. ……………….3分
(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,由,可知直线的斜率为1,其倾斜角为,所以直线的倾斜角为,故直线的斜率为,所以的方程为 …6分
(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为, ………………8分
由 得,……….10分
易知该方程有一个根为2,所以另一个根为,
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为, ……………….11分
所以
, ……………….9分
线段BC的中点为,因为以BC为直径的圆与准线相切,
所以 ,由于, 解得 . …………….10分
此时,点B的坐标为,点C的坐标为,
直线BC的斜率为,
所以,BC的方程为,即. …….12分
33.已知函数和的图象关于原点对称,且.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)解不等式;
(Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则
∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时,,此时不等式无解。
当时,,解得。
因此,原不等式的解集为。
(Ⅲ)
①
②
ⅰ)
ⅱ)
37.已知函数
(1)若函数在定义域内单调递增,求的取值范围;
(2)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)设各项为正的数列满足:求证:
解:(1)
依题意在时恒成立,即在恒成立.
则在恒成立,即
当时,取最小值
∴的取值范围是 ……
(2)
设则列表:
极大值
¯
极小值
∴极小值,极大值,又 ……
方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则, 得 …………
(3)设,则
在为减函数,且故当时有.
假设则,故
从而
即,∴ …………
38.已知.
(1)求函数的图像在处的切线方程;
(2)设实数,求函数在上的最小值;
(3)证明对一切,都有成立.
解:(1)定义域为 又
函数的在处的切线方程为:,即 ……3分
(2)令得 当,,单调递减,当,,单调递增. …………5分
(i)当时,在单调递增,,…………6分
(ii)当即时,…………7分
(iii)当即时,在单调递减,………………8分
(3)问题等价于证明,
由(2)可知的最小值是,当且仅当时取得最小值……10分
设,则,
当时,单调递增;当时单调递减。故,当且仅当时取得最大值…………12分
所以且等号不同时成立,即
从而对一切,都有成立.…………13分
22.(本小题满分14分)已知函数处取得极值.
(I)求实数的值;
(II)若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(III)证明:对任意正整数n,不等式都成立.
22.解:(I) ……………………………………………2分
时,取得极值,
…………………………………………………………………3分
故,解得a=1,
经检验a=1符合题意.……………………………………………………………4分
(II)由a=1知
得 令
则上恰有两个不同的实数根等价于
在[0,2]上恰有两个不同的实数根.…………………5分 ……………6分
当上单调递增
当上单调递减.
依题意有
…………………9分
(III)的定义域为 ……………10分
由(1)知 ………………………………………11分
令(舍去),单调递增;
当x>0时,单调递减.上的最大值.(12分)
(当且仅当x=0时,等号成立)………13分
对任意正整数n,取得, 14分
20. (本小题满分12分) 已知椭圆()的左、右焦点分别为,为椭圆短轴的一个顶点,且是直角三角形,椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为
(1)求椭圆的方程;
(2)与两坐标轴都不垂直的直线:交椭圆于两点,且以线段为直径的圆恒过坐标原点,当面积的最大值时,求直线的方程.
20.(1)由题意得
,————————2分
,则——————3分
所以椭圆的方程为————————————4分
(2)设,,联立得
,,——————————————————5分
又以线段为直径的圆恒过坐标原点,所以
即,代入得————————————7分
=-----9分
设,则
当,即时,面积取得最大值,——————————11分
又,所以直线方程为——————————————-12分
21. (本小题满分12分) 已知函数
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
21.(1)————————1分
,即在上恒成立
设
,时,单调减,单调增,所以时,有最大值————3分
,所以——————————5分
(2)当时,,
,所以在上是增函数,上是减函数——————————6分
因为,所以
即
同理——————————————————————————8分
所以
又因为当且仅当“”时,取等号————————————————10分
又,——————————11分
所以
所以
所以:————————————12分
21.本小题满分12分
的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点的轨迹为.
(1)求的方程;
x
y
A
B
C
D
E
F
. I
O
(2)过点的动直线交曲线于不同的两点(点在轴的上方),问在轴上是否存在一定点(不与重合),使恒成立,若存在,试求出点的坐标;若不存在,说明理由.
21.【解】(1)设点,由题知
,根据双曲线定义知,点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的右支(除去点),故的方程为. …4分
(2)设点.
, ……………………… 6分
①当直线轴时,点在轴上任何一点处都能使得成立. ………………………7分
②当直线不与轴垂直时,设直线,由 得
…………… 9分
,使,只需成立,即,即,
,即
,故,故所求的点的坐标为时,恒成立. ………………………12分
21. (本小题满分12分)设函数.
(Ⅰ)求函数f (x)在点(0, f (0))处的切线方程;
(Ⅱ)求f (x)的极小值;
(Ⅲ)若对所有的,都有成立,求实数a的取值范围.
21【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定义域为,又∵=2ln(2x+1)+2,
∴,切点为O(0,0),∴所求切线方程为y=2x. …………2分
(Ⅱ) 设=0,得ln(2x+1)=-1,得;
>0,得ln(2x+1)>-1,得;
<0,得ln(2x+1)<-1,得;
则.…………6分
(Ⅲ)令,
x
g(x)的图象
则=2ln(2x+1)+2-2a=2[ln(2x+1)+1-a].
令=0,得ln(2x+1)= a-1,得;
>0,得ln(2x+1)> a-1,得;
<0,得ln(2x+1)< a-1,得;
(1)当a≤1时,,∵,
∴对所有时,都有,于是≥0恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上是增函数.
又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≥ g(0)=0成立.
故当a≤1时,对所有的,都有成立.
(2)当a>1时,,∵,
∴对所有,都有<0恒成立,
∴g(x)在上是减函数.
又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≤ g (0)=0.
故当a>1时,只有对仅有的,都有.
即当a>1时,不是对所有的,都有.
综合(1),(2)可知实数a的取值范围(-∞,1.……………………12分
【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)【理科】已知函数
(I)求的极值;
(II)若的取值范围;
(III)已知
【解析】:(Ⅰ)令得 ……………2分
当为增函数;
当为减函数,
可知有极大值为…………………………..4分
(Ⅱ)欲使在上恒成立,只需在上恒成立,
设
由(Ⅰ)知,,
……………………8分
(Ⅲ),由上可知在上单调递增,
①,
同理 ②…………………………..10分
两式相加得
……………………………………12分
8.【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)【文科】已知椭圆,双曲线C与已知椭圆有相同的焦点,其两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切。
(I)求双曲线C的方程;
(II)设直线与双曲线C的左支交于两点A、B,另一直线l经过点及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围。
【解析】:(本小题满分12分)(I)设双曲线C的焦点为:
由已知,
, ……………2分
设双曲线的渐近线方程为,
依题意,,解得.
∴双曲线的两条渐近线方程为.
故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等,设为,则,得,
∴双曲线C的方程为 ……………6分.
(II)由,
直线与双曲线左支交于两点,
因此 ………………..9分
又中点为
∴直线的方程为,
令x=0,得,
∵ ∴
∴故的取值范围是. ………………12分.
12.【安徽省示范高中皖北协作区2010年高三联考(理)22】(本小题14分)设函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)证明:当m>n>0时,。
【解析】:22、(Ⅰ)
①时, ∴在(—1,+)上市增函数
②当时,在上递增,在单调递减
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减
又 ∴
∴当时,方程有两解
(Ⅲ)要证:只需证
只需证
设, 则
由(Ⅰ)知在单调递减
∴,即是减函数,而m>n
∴,故原不等式成立。
13.【安徽省合肥七中2010届高三第五次月考(理)22.】 (本小题满分14分)
椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)如果点A在圆(c为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率;
(2)若函数的图象,无论m为何值时恒过定点(b,a),
求的取值范围。
【解析】:(1)∵点A在圆,
由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a,
(2)∵函数
∴
点F1(-1,0),F2(1,0),
①若,
∴
②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则AB的方程为y=k(x+1)
由…………(*)
方程(*)有两个不同的实根.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根
由①②知
14.【2010年天津市高三年级能力测试(河东卷.理)22. 】(本小题满分14分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点,平行于的直线在轴上的截距为,交椭圆于两个不同点
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。
【解析】:(1)设椭圆方程为
则解得所以椭圆方程
(2)因为直线平行于OM,且在轴上的截距为
又,所以的方程为:
由
因为直线与椭圆交于两个不同点,
所以的取值范围是。
(3)设直线的斜率分别为,只要证明即可
设,则
由
可得
而
故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。
20.【2010届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】(本小题满分13分) 已知函数
上恒成立.
(1)求的值;
(2)若
(3)是否存在实数m,使函数上有最小值-5?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】:(1)
恒成立
即恒成立
显然时,上式不能恒成立
是二次函数
由于对一切于是由二次函数的性质可得
即
.
(2)
即
当,当.
(3)
该函数图象开口向上,且对称轴为
假设存在实数m使函数区间 上有
最小值-5.
①当上是递增的.
解得舍去
②当上是递减的,而在
区间上是递增的,
即
解得
③当时,上递减的
即
解得应舍去.
综上可得,当时,
函数
22.【2010年3月四县(市)高三调研考试.(理)21.】本小题满分13分)
已知函数
(1)为定义域上的单调函数,求实数的取值范围
(2)当时,求函数的最大值
(3)当时,且,证明:
【解析】:(1), ∴
因为对,有
∴不存在实数使,对恒成立 2分
由恒成立,∴,
而,所以
经检验,当时,对恒成立。
∴当时,为定义域上的单调增函数 4分
(2)当时,由,得
当时,,当时,
∴在时取得最大值,∴此时函数的最大值为 7分
(3)由(2)得,对恒成立,当且仅当时取等号
当时,,∵,
∴
∴
同理可得,,,
∴
法二:当时(由待证命题的结构进行猜想,辅助函数,求差得之),在上递增
令
在上总有,即在上递增
当时,
即
令由(2)它在上递减 ∴
即
∵
∴,综上成立,其中。
26.【江门市2010年高考模拟考试(理)21.】(本小题满分12分)已知函数,是常数,.
⑴若是曲线的一条切线,求的值;
⑵,试证明,使.
【解析】:⑴-------1分,解得,或-------2分
当时,,,所以不成立-------3分
当时,由,即,得-----5分
⑵作函数-------6分
,函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分,
------8分
①若,,,使,
即-------10分
②若,,,
,当时有最小值,且当时-------11分,
所以存在(或)从而,使,即-------12分
30.【上 海 市2010年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】(本题20分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题6分,第4小题4分)
我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。
(1)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2,试求d1·d2的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系。
(2)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线 (m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2,且直线L与椭圆M相切,试求d1·d2的值。
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。
(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。
【解析】:21.(本题20分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题6分,第4小题4分)
(1); ………………2分
联立方程; …………3分
与椭圆M相交。 …………4分
(2)联立方程组
消去
(3)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2,且F1、F2
在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为:;直线L与椭圆M相切的充要条件为:;直线L与椭圆M相离的充要条件为: ……14分
证明:由(2)得,直线L与椭圆M相交
命题得证。
(写出其他的充要条件仅得2分,未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分)
(4)可以类比到双曲线:设F1、F2是双曲线的两个焦点,点F1、F2到直线距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为:;直线L与双曲线M相切的充要条件为:;直线L与双曲线M相离的充要条件为:………………20分
(写出其他的充要条件仅得2分,未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分)。