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  • 2021-05-13 发布

高考数学最后压轴大题全国名校模拟题精编

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‎2012年高考数学最后压轴大题 ‎1.(本小题满分12分)设函数在上是增函数。求正实数的取值范围;‎ ‎ 设,求证:‎ ‎1、解:(1)对恒成立,‎ ‎ 对恒成立 ‎ 又 为所求。‎ ‎ (2)取,,‎ ‎ 一方面,由(1)知在上是增函数,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面,设函数 ‎ ‎ ‎ ∴在上是增函数且在处连续,又 ‎ ∴当时,‎ ‎ ∴ 即 ‎ 综上所述,‎ ‎2.已知椭圆C的一个顶点为,焦点在x轴上,右焦点到直线 ‎2012年高考数学最后压轴大题 ‎1.(本小题满分12分)设函数在上是增函数。求正实数的取值范围;‎ ‎ 设,求证:‎ ‎1、解:(1)对恒成立,‎ ‎ 对恒成立 ‎ 又 为所求。‎ ‎ (2)取,,‎ ‎ 一方面,由(1)知在上是增函数,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面,设函数 ‎ ‎ ‎ ∴在上是增函数且在处连续,又 ‎ ∴当时,‎ ‎ ∴ 即 ‎ 综上所述,‎ ‎2.已知椭圆C的一个顶点为,焦点在x轴上,右焦点到直线 的距离为 ‎ (1)求椭圆C的方程;‎ ‎ (2)过点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,设,若的取值范围。‎ ‎2.解:(1)由题意得: …………………1分 ‎ 由题意 ‎ 所以椭圆方程为………………………3分 ‎ (2)容易验证直线l的斜率不为0。‎ 故可设直线l的方程为 ‎ 中,得 ‎ 设 ‎ 则 ……………………………5分 ‎∵ ∴有 ‎ 由 …………7分 ‎∵‎ 又 故 ‎……………………………………………………8分 令 ∴,即 ‎ ‎∴‎ 而 , ∴‎ ‎∴………………………………………………………10分 ‎3.已知函数, ‎ ‎ (1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;‎ ‎ (2)令,是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;‎ ‎ (3)当时,证明: ‎ ‎3.解:(1)在上恒成立,‎ ‎ 令 ,有 得……………………… 4分 ‎ 得 …………………………………………………………………………… 5分 ‎ (2)假设存在实数,使()有最小值3,‎ ‎ ……………………………………………6分 当时,在上单调递减,,(舍去),‎ ‎②当时,在上单调递减,在上单调递增 ‎,,满足条件. ‎ ‎③当时,在上单调递减,,(舍去),‎ 综上,存在实数,使得当时有最小值3. ……………………10分 ‎(3)令,由(2)知,.令,,‎ 当时,,在上单调递增 ‎ ‎∴ ‎ ‎ 即.………14分 ‎4.设函数 ‎ ‎(1)若时函数有三个互不相同的零点,求的范围;‎ ‎(2)若函数在内没有极值点,求的范围;‎ ‎(3)若对任意的,不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎4.解:(1)当时,‎ 因为有三个互不相同的零点,所以,‎ 即有三个互不相同的实数根。‎ 令,则。‎ 因为在和均为减函数,在为增函数,‎ 的取值范围 ‎ (2)由题可知,方程在上没有实数根,‎ 因为,所以 ‎(3)∵,且,‎ ‎∴函数的递减区间为,递增区间为和;‎ 当时,又,‎ ‎∴而 ‎∴,‎ 又∵在上恒成立,‎ ‎∴,即,即在恒成立。‎ ‎∵的最小值为 ‎∴‎ ‎6.(本题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2,直线过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段PF2的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C2的方程;‎ ‎ (Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎6.解:(Ⅰ)‎ 相切 ‎ ‎∴椭圆C1的方程是 …………3分 ‎ (Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2(2,0)的距离, ∴动点M的轨迹C是以为准线,F2为焦点的抛物线 ‎∴点M的轨迹C2的方程为 …………6分 ‎ (Ⅲ)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,‎ ‎,则直线AC的方程为 联立 所以 ‎….9分 由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得 ‎∵,‎ ‎∴四边形ABCD的面积为……..12分 由 所以时取等号. …………13分 易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积 ‎9.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆+=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1.F2,离心率e=,右准线方程为x=2.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)过点F1的直线l与该椭圆相交于M.N两点,且|+|=,求直线l的方程.‎ ‎9.解析:(1)由条件有解得a=,c=1.‎ ‎∴b==1.‎ 所以,所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)知F1(-1,0).F2(1,0).‎ 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,‎ 将x=-1代入椭圆方程得y=±.‎ 不妨设M.N,‎ ‎∴+=+=(-4,0).‎ ‎∴|+|=4,与题设矛盾.‎ ‎∴直线l的斜率存在.‎ 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).‎ 设M(x1,y1).N(x2,y2),联立 消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.‎ 由根与系数的关系知x1+x2=,从而y1+y2=k(x1+x2+2)=.‎ 又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),‎ ‎∴+=(x1+x2-2,y1+y2).‎ ‎∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2‎ ‎=2+2=.‎ ‎∴=2.‎ 化简得40k4-23k2-17=0,‎ 解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.‎ ‎∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.‎ ‎10.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,左、右焦点分别为、,点满足在线段的中垂线上.‎ ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)如果圆E:被椭圆所覆盖,求圆的半径r的最大值.‎ ‎14.(本小题满分12分)‎ 已知,函数,(其中为自然对数的底数).‎ ‎(1)判断函数在区间上的单调性;‎ ‎(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 解(1):∵,∴.‎ 令,得. ‎ ①若,则,在区间上单调递增. ‎ ②若,当时,,函数在区间上单调递减,‎ 当时,,函数在区间上单调递增,‎ ③若,则,函数在区间上单调递减. ……6分 ‎(2)解:‎ ‎∵,,‎ 由(1)可知,当时,.‎ 此时在区间上的最小值为,即.‎ 当,,,∴. ‎ 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解. ‎ 而,即方程无实数解. ‎ 故不存在,使曲线在 处的切线与轴垂直……12分 ‎15.(本小题满分12分)‎ 已知线段,的中点为,动点满足(为正常数).‎ ‎(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;‎ ‎(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值. ‎ 解(1)以为圆心,所在直线为轴建立平面直角坐标系.若,即,动点所在的曲线不存在;若,即,动点所在的曲线方程为; 若,即,动点所在的曲线方程为.……4分 ‎(2)当时,其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上,且 设,,的斜率为,则的方程为,的方程为 解方程组 得,‎ 同理可求得, ‎ ‎ 面积= ………………8分 令则 令 所以,即 ‎ 当时,可求得,故,‎ ‎ 故的最小值为,最大值为1. ……12分 ‎18(本小题满分12分)‎ 设上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由 解: 椭圆的方程为 4分 ‎(2) ①当直线AB斜率不存在时,即,由 ‎…………5分 又在椭圆上,所以 ‎ ‎ 所以三角形的面积为定值.……6分 ‎②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b ‎ ,D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0……………8分而,‎ ‎ ……………10分 ‎ S=|AB|=|b|===1‎ 综上三角形的面积为定值1.………………………12分 ‎20.已知函数的导数 ‎.a,b为实数,.‎ (1) 若在区间上的最小值、‎ 最大值分别为、1,求a、b的值;‎ (2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点P(2,1)‎ 处的切线方程;‎ (3) 设函数,试判 断函数的极值点个数.‎ 解:(1) 由已知得,, 由,得,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴ 当时,,递增;www.ks5u.com当时,, 递减.‎ ‎∴ 在区间上的最大值为,∴.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎∴ .‎ 由题意得,即,得. 故,为所求.‎ ‎(2) 由 (1) 得,,点在曲线上.‎ 当切点为时,切线的斜率,‎ ‎∴ 的方程为,‎ 即. ‎ ‎(3 ‎ 二次函数的判别式为 令,得:‎ 令,得 ∵,,‎ ‎∴当时,,函数为单调递增,极值点个数为0;‎ 当时,此时方程有两个不相等的实数根,‎ 根据极值点的定义,可知函数有两个极值点.‎ ‎21(本小题满分12分)‎ 设F是椭圆C:的左焦点,直线l为其左准线,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知.‎ (1) 求椭圆C的标准方程;‎ (2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点 A、B求证:∠AFM =∠BFN;‎ (3) 求三角形ABF面积的最大值.‎ 解:(1) ∵ ∴ a = 4‎ 又∵ | PM | = 2 | MF |得 ‎ ‎ ‎(2) 当AB的斜率为0时,显然满足题意 当AB的斜率不为0时,设,AB方程为 代入椭圆方程整理得 则 ‎ 综上可知:恒有 ‎ ‎(3)‎ 当且仅当(此时适合△>0的条件)取得等号.‎ ‎∴三角形ABF面积的最大值是3 ‎23已知函数f(x)=‎ ‎(1)当时, 求的最大值;‎ ‎(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数,使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)存在符合条件 ‎ 解: 因为=‎ 不妨设任意不同两点,其中 则 ‎ 由 知: 1+‎ 又 故 故存在符合条件. …12分 解法二:据题意在图象上总可以在找一点 使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 ‎ 故存在符合条件.‎ ‎27已知经过点,且与圆内切.‎ ‎(Ⅰ)求动圆的圆心的轨迹的方程.‎ ‎(Ⅱ)以为方向向量的直线交曲线于不同的两点,在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形(为坐标原点).若存在,求出所有的点的坐标与直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得|,可知到两个定点、的距离和为常数,并且常数大于,所以点的轨迹为椭圆,可以求得,,,‎ 所以曲线的方程为.……………………5分 ‎(Ⅱ)假设上存在点,使四边形为平行四边形.‎ 由 (Ⅰ)可知曲线E的方程为.‎ 设直线的方程为,,.‎ 由,得 ‎,‎ 由得,且,,………7分 则,‎ ‎,‎ ‎   上的点使四边形为平行四边形的充要条件是,‎ 即 ‎ 且,‎ 又, ,所以可得,…………9分 可得,即或.‎ 当时,,直线方程为;‎ 当时,,直线方程为 ‎.高☆考♂资♀源€……………………12分 ‎29‎ A﹑B﹑C是直线上的三点,向量﹑﹑满足: -[y+2]·+ln(x+1)·= ;‎ ‎(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若x>0, 证明f(x)>;‎ ‎(Ⅲ)当时,x及b都恒成立,求实数m的取值范围。‎ 解I)由三点共线知识,‎ ‎∵,∴,∵A﹑B﹑C三点共线,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴∴,‎ ‎∴f(x)=ln(x+1)………………4分 ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)-,‎ 由,‎ ‎∵x>0∴‎ ‎∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> ;………8分 ‎(III)原不等式等价于,令 h(x)= =由 当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3,则由Q(1)≥0及Q(-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分 ‎32.已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;‎ ‎(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,求直线的方程 ‎(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准`线BC的方程.‎ 解:(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上, 所以 ,即. ………….2分 ‎ 故所求抛物线的方程为,其准线方程为. ……………….3分 ‎(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,由,可知直线的斜率为1,其倾斜角为,所以直线的倾斜角为,故直线的斜率为,所以的方程为 …6分 ‎(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为, ………………8分 ‎ 由 得,……….10分 ‎ 易知该方程有一个根为2,所以另一个根为,‎ ‎ 所以点B的坐标为,‎ 同理可得C点坐标为, ……………….11分 所以 ‎, ……………….9分 线段BC的中点为,因为以BC为直径的圆与准线相切,‎ 所以 ,由于, 解得 . …………….10分 此时,点B的坐标为,点C的坐标为,‎ ‎ 直线BC的斜率为,‎ 所以,BC的方程为,即. …….12分 ‎33.已知函数和的图象关于原点对称,且.‎ ‎ (Ⅰ)求函数的解析式;‎ ‎ (Ⅱ)解不等式;‎ ‎ (Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则 ‎∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时,,此时不等式无解。‎ 当时,,解得。‎ 因此,原不等式的解集为。‎ ‎(Ⅲ)‎ ‎① ‎ ‎②‎ ⅰ)‎ ⅱ) ‎ ‎37.已知函数 ‎(1)若函数在定义域内单调递增,求的取值范围;‎ ‎(2)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;‎ ‎(3)设各项为正的数列满足:求证:‎ 解:(1)‎ 依题意在时恒成立,即在恒成立.‎ 则在恒成立,即 ‎ 当时,取最小值 ‎∴的取值范围是 ……‎ ‎(2)‎ 设则列表:‎ 极大值 ¯ 极小值 ‎∴极小值,极大值,又 ……‎ 方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根. ‎ 则, 得 ………… ‎ ‎(3)设,则 在为减函数,且故当时有.‎ 假设则,故 从而 即,∴ …………‎ ‎38.已知.‎ ‎(1)求函数的图像在处的切线方程;‎ ‎(2)设实数,求函数在上的最小值;‎ ‎(3)证明对一切,都有成立.‎ 解:(1)定义域为 又 ‎ 函数的在处的切线方程为:,即 ……3分 ‎(2)令得 当,,单调递减,当,,单调递增. …………5分 ‎(i)当时,在单调递增,,…………6分 ‎(ii)当即时,…………7分 ‎(iii)当即时,在单调递减,………………8分 ‎(3)问题等价于证明, ‎ 由(2)可知的最小值是,当且仅当时取得最小值……10分 设,则,‎ 当时,单调递增;当时单调递减。故,当且仅当时取得最大值…………12分 所以且等号不同时成立,即 从而对一切,都有成立.…………13分 ‎22.(本小题满分14分)已知函数处取得极值. ‎ ‎(I)求实数的值;‎ ‎(II)若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;‎ ‎(III)证明:对任意正整数n,不等式都成立.‎ ‎22.解:(I) ……………………………………………2分 时,取得极值,‎ ‎ …………………………………………………………………3分 故,解得a=1,‎ 经检验a=1符合题意.……………………………………………………………4分 ‎(II)由a=1知 得 令 则上恰有两个不同的实数根等价于 在[0,2]上恰有两个不同的实数根.…………………5分 ……………6分 当上单调递增 当上单调递减.‎ 依题意有 ‎ ‎ …………………9分 ‎(III)的定义域为 ……………10分 由(1)知 ………………………………………11分 令(舍去),单调递增;‎ 当x>0时,单调递减.上的最大值.(12分)‎ ‎(当且仅当x=0时,等号成立)………13分 对任意正整数n,取得, 14分 ‎20. (本小题满分12分) 已知椭圆()的左、右焦点分别为,为椭圆短轴的一个顶点,且是直角三角形,椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为 ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)与两坐标轴都不垂直的直线:交椭圆于两点,且以线段为直径的圆恒过坐标原点,当面积的最大值时,求直线的方程.‎ ‎20.(1)由题意得 ‎,————————2分 ‎,则——————3分 所以椭圆的方程为————————————4分 ‎(2)设,,联立得 ‎,,——————————————————5分 又以线段为直径的圆恒过坐标原点,所以 即,代入得————————————7分 ‎=-----9分 设,则 当,即时,面积取得最大值,——————————11分 又,所以直线方程为——————————————-12分 ‎21. (本小题满分12分) 已知函数 ‎(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,设函数,若,求证 ‎21.(1)————————1分 ‎,即在上恒成立 设 ‎,时,单调减,单调增,所以时,有最大值————3分 ‎,所以——————————5分 ‎(2)当时,,‎ ‎,所以在上是增函数,上是减函数——————————6分 因为,所以 即 同理——————————————————————————8分 所以 又因为当且仅当“”时,取等号————————————————10分 又,——————————11分 所以 所以 所以:————————————12分 ‎21.本小题满分12分 ‎ 的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点的轨迹为.‎ ‎ (1)求的方程;‎ x y A B C D E F ‎. I O ‎ (2)过点的动直线交曲线于不同的两点(点在轴的上方),问在轴上是否存在一定点(不与重合),使恒成立,若存在,试求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎21.【解】(1)设点,由题知 ‎,根据双曲线定义知,点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的右支(除去点),故的方程为. …4分 ‎ (2)设点.‎ ‎ ‎ ‎ ,   ……………………… 6分 ‎①当直线轴时,点在轴上任何一点处都能使得成立.     ………………………7分 ‎ ②当直线不与轴垂直时,设直线,由 得 ‎         …………… 9分 ‎ ‎ ‎ ,使,只需成立,即,即,‎ ‎ ,即 ‎ ,故,故所求的点的坐标为时,恒成立.         ………………………12分 ‎21. (本小题满分12分)设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数f (x)在点(0, f (0))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求f (x)的极小值;‎ ‎(Ⅲ)若对所有的,都有成立,求实数a的取值范围.‎ ‎21【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定义域为,又∵=2ln(2x+1)+2,‎ ‎∴,切点为O(0,0),∴所求切线方程为y=2x. …………2分 ‎(Ⅱ) 设=0,得ln(2x+1)=-1,得;‎ ‎>0,得ln(2x+1)>-1,得;‎ ‎<0,得ln(2x+1)<-1,得;‎ 则.…………6分 ‎ (Ⅲ)令,‎ x g(x)的图象 则=2ln(2x+1)+2-‎2a=2[ln(2x+1)+1-a].‎ 令=0,得ln(2x+1)= a-1,得;‎ ‎ >0,得ln(2x+1)> a-1,得;‎ ‎ <0,得ln(2x+1)< a-1,得;‎ ‎(1)当a≤1时,,∵,‎ ‎∴对所有时,都有,于是≥0恒成立,‎ ‎∴g(x)在[0,+∞)上是增函数. ‎ 又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≥ g(0)=0成立.‎ 故当a≤1时,对所有的,都有成立. ‎ ‎(2)当a>1时,,∵,‎ ‎∴对所有,都有<0恒成立,‎ ‎∴g(x)在上是减函数. ‎ 又g(0)=0,于是对所有,都有g(x)≤ g (0)=0.‎ 故当a>1时,只有对仅有的,都有.‎ 即当a>1时,不是对所有的,都有.‎ 综合(1),(2)可知实数a的取值范围(-∞,1.……………………12分 ‎【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)【理科】已知函数 ‎ (I)求的极值;‎ ‎ (II)若的取值范围;‎ ‎ (III)已知 ‎【解析】:(Ⅰ)令得 ……………2分 当为增函数;‎ 当为减函数,‎ 可知有极大值为…………………………..4分 ‎(Ⅱ)欲使在上恒成立,只需在上恒成立,‎ 设 由(Ⅰ)知,,‎ ‎……………………8分 ‎(Ⅲ),由上可知在上单调递增,‎ ‎ ①, ‎ ‎ 同理 ②…………………………..10分 两式相加得 ‎ ……………………………………12分 ‎8.【河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测(一)22.】(本题满分12分)【文科】已知椭圆,双曲线C与已知椭圆有相同的焦点,其两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切。‎ ‎ (I)求双曲线C的方程;‎ ‎ (II)设直线与双曲线C的左支交于两点A、B,另一直线l经过点及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围。‎ ‎【解析】:(本小题满分12分)(I)设双曲线C的焦点为: ‎ 由已知,‎ ‎,         ……………2分 设双曲线的渐近线方程为, ‎ 依题意,,解得.‎ ‎∴双曲线的两条渐近线方程为. ‎ 故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等,设为,则,得,‎ ‎∴双曲线C的方程为             ……………6分.‎ ‎(II)由,‎ 直线与双曲线左支交于两点,‎ 因此 ………………..9分 又中点为 ‎∴直线的方程为, ‎ 令x=0,得, ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∴故的取值范围是. ………………12分.‎ ‎12.【安徽省示范高中皖北协作区2010年高三联考(理)22】(本小题14分)设函数 ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)证明:当m>n>0时,。‎ ‎【解析】:22、(Ⅰ)‎ ‎①时, ∴在(—1,+)上市增函数 ‎②当时,在上递增,在单调递减 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减 又 ∴‎ ‎∴当时,方程有两解 ‎(Ⅲ)要证:只需证 只需证 设, 则 由(Ⅰ)知在单调递减 ‎∴,即是减函数,而m>n ‎∴,故原不等式成立。‎ ‎13.【安徽省合肥七中2010届高三第五次月考(理)22.】 (本小题满分14分)‎ 椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.‎ ‎ (1)如果点A在圆(c为椭圆的半焦距)上,且|F‎1A|=c,求椭圆的离心率;‎ ‎ (2)若函数的图象,无论m为何值时恒过定点(b,a),‎ 求的取值范围。‎ ‎【解析】:(1)∵点A在圆,‎ ‎ ‎ ‎ 由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=‎2a,‎ ‎ ‎ ‎ (2)∵函数 ‎∴ ‎ ‎ 点F1(-1,0),F2(1,0), ‎ ‎ ①若,‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则AB的方程为y=k(x+1)‎ ‎ 由…………(*)‎ ‎ 方程(*)有两个不同的实根.‎ ‎ 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由①②知 ‎ ‎14.【2010年天津市高三年级能力测试(河东卷.理)22. 】(本小题满分14分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点,平行于的直线在轴上的截距为,交椭圆于两个不同点 ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求的取值范围;‎ ‎(3)求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。‎ ‎【解析】:(1)设椭圆方程为 则解得所以椭圆方程 ‎(2)因为直线平行于OM,且在轴上的截距为 又,所以的方程为:‎ 由 因为直线与椭圆交于两个不同点,‎ 所以的取值范围是。‎ ‎(3)设直线的斜率分别为,只要证明即可 设,则 由 可得 而 故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。‎ ‎20.【2010届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】(本小题满分13分) 已知函数 ‎ 上恒成立.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若 ‎ (3)是否存在实数m,使函数上有最小值-5?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】:(1)‎ ‎ ‎ ‎ 恒成立 ‎ 即恒成立 ‎ 显然时,上式不能恒成立 ‎ 是二次函数 ‎ 由于对一切于是由二次函数的性质可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ .‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 当,当.‎ ‎ (3)‎ ‎ ‎ ‎ 该函数图象开口向上,且对称轴为 ‎ 假设存在实数m使函数区间 上有 ‎ 最小值-5.‎ ‎ ①当上是递增的.‎ ‎ ‎ ‎ 解得舍去 ‎ ②当上是递减的,而在 ‎ 区间上是递增的, ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ‎ ‎ ③当时,上递减的 ‎ 即 ‎ 解得应舍去.‎ ‎ 综上可得,当时,‎ ‎ 函数 ‎22.【2010年3月四县(市)高三调研考试.(理)21.】本小题满分13分)‎ 已知函数 ‎(1)为定义域上的单调函数,求实数的取值范围 ‎(2)当时,求函数的最大值 ‎(3)当时,且,证明:‎ ‎【解析】:(1), ∴‎ 因为对,有 ‎∴不存在实数使,对恒成立 2分 由恒成立,∴,‎ 而,所以 经检验,当时,对恒成立。‎ ‎∴当时,为定义域上的单调增函数 4分 ‎(2)当时,由,得 ‎ 当时,,当时,‎ ‎∴在时取得最大值,∴此时函数的最大值为 7分 ‎(3)由(2)得,对恒成立,当且仅当时取等号 ‎ 当时,,∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 同理可得,,,‎ ‎∴‎ 法二:当时(由待证命题的结构进行猜想,辅助函数,求差得之),在上递增 令 在上总有,即在上递增 当时,‎ 即 令由(2)它在上递减 ∴‎ 即 ‎ ∵ ‎ ‎∴,综上成立,其中。‎ ‎26.【江门市2010年高考模拟考试(理)21.】(本小题满分12分)已知函数,是常数,.‎ ‎⑴若是曲线的一条切线,求的值;‎ ‎⑵,试证明,使.‎ ‎【解析】:⑴-------1分,解得,或-------2分 当时,,,所以不成立-------3分 当时,由,即,得-----5分 ‎⑵作函数-------6分 ‎,函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分,‎ ‎------8分 ①若,,,使,‎ 即-------10分 ‎②若,,,‎ ‎,当时有最小值,且当时-------11分,‎ 所以存在(或)从而,使,即-------12分 ‎30.【上 海 市2010年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】(本题20分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题6分,第4小题4分)‎ ‎ 我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。‎ ‎ (1)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2,试求d1·d2的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系。‎ ‎ (2)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线 (m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2,且直线L与椭圆M相切,试求d1·d2的值。‎ ‎ (3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。‎ ‎ (4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。‎ ‎【解析】:21.(本题20分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题6分,第4小题4分)‎ ‎ (1); ………………2分 ‎ 联立方程; …………3分 ‎ 与椭圆M相交。 …………4分 ‎ (2)联立方程组 ‎ 消去 ‎ ‎ ‎ (3)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2,且F1、F2‎ 在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为:;直线L与椭圆M相切的充要条件为:;直线L与椭圆M相离的充要条件为: ……14分 ‎ 证明:由(2)得,直线L与椭圆M相交 ‎ ‎ ‎ 命题得证。‎ ‎ (写出其他的充要条件仅得2分,未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分)‎ ‎ ‎ ‎(4)可以类比到双曲线:设F1、F2是双曲线的两个焦点,点F1、F2到直线距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为:;直线L与双曲线M相切的充要条件为:;直线L与双曲线M相离的充要条件为:………………20分 ‎ (写出其他的充要条件仅得2分,未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分)。‎ ‎‎