高考数学一轮复习精品学案73空间向量 35页

‎2013版高考数学一轮复习精品学案：第七章 立体几何 ‎7.3空间向量 ‎【高考新动向】‎ 一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示 ‎1、考纲点击 ‎（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；‎ ‎（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；‎ ‎（3）能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理）‎ ‎2、热点提示 ‎（1）用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点；‎ ‎（2）多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想。‎ 二、空间直角坐标系 ‎1、考纲点击 ‎（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；‎ ‎（2）会推导空间两点间的距离公式。‎ ‎2、热点提示 ‎（1）通过求点的坐标考查空间想象能力；‎ ‎（2）通过求两点距离考查计算能力；‎ ‎（3）渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查；‎ ‎（4）多以选择、填空的形式考查。‎ 三、空间向量用其运算 ‎1、考纲点击 ‎（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；‎ ‎（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。‎ ‎2、热点提示 ‎1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直等；‎ ‎2、数量积的运算及应用是考查热点；‎ ‎3、多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中。‎ 四、立体几何中的向量方法 ‎1、考纲点击 ‎（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；‎ ‎（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；‎ ‎（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；‎ ‎（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。‎ ‎2、热点提示 ‎（1）考查向量法判定线面位置关系；‎ ‎（2）利用向量法求空间角与距离；‎ ‎（3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。‎ ‎【考纲全景透析】‎ 一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示 ‎1、直线的方向向量与直线的参数方程 ‎2、用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 ‎3、用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设直线和所成的角为θ，方向向量分别为，则有⊥，。‎ ‎4、平面的法向量与平面的向量表示 ‎（1）平面的法向量 已知平面α，如果向量的基线与平面α垂直，则向量叫做平面α的法向量或说向量与平面α正交。‎ ‎（2）平面的向量表示 设A是空间任一点，为空间内任一非零向量，任取两点，且，，则适合条件的点M都在平面内。①式通常称为一个平面的向量表示式。‎ ‎（3）平面的平行或垂直 设分别是平面α，β的法向量，‎ α∥β或α与β重合，‎ α⊥β。‎ ‎（4）三垂线定理与逆定理 ‎①三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。‎ ‎②三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。‎ 方法提示：‎ 平面的法向量的求法 设出平面的一个法向量，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标。注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一。‎ 二、空间直角坐标系 ‎1、空间直角坐标系及有关概念 ‎（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点。X轴，y轴，z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；‎ ‎（2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；‎ ‎（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。‎ ‎2、空间两点间的距离公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=‎ 注：在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。‎ 三、空间向量及其运算 ‎1、空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。‎ ‎2、空间向量的有关定理 ‎（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，∥的充要条件是存在实数λ，使得=λ；‎ ‎（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.‎ 注：若与确定平面为α，则表示的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。‎ ‎（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得=。其中，叫做空间的一个基底。‎ ‎3、空间向量的数量积及运算律 ‎（1）数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作<,>,其范围是0≤<,>≤π,若<,>=π/2,则称与互相垂直,记为⊥.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量，，则叫做，的数量积,记作·,即·=‎ ‎（2）数量积的运算律 四、立体几何中的向量方法 ‎1、直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎（1）直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；‎ ‎（2）平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。‎ 注：所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。）‎ ‎2、空间向量与空间角的关系 ‎（1）设异面直线的方向向量分别为则所成的角θ满足cosθ=|cos<>|;‎ ‎（2）设直线的方向向量和平面α的法向量分别为，，则直线与平面α所成角θ满足sinθ=|cos<,>|;‎ ‎（3）求二面角的大小 ‎①如图①，AB，CD是二面角α--β的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小θ=<，>‎ ‎②如图②，，分别是二面角α--β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ ‎=cos<,>或-cos<,>‎ ‎3、点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则B到平面α的距离 ‎【热点难点全析】‎ 一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示 ‎（一）用向量法证明平行、垂直 ‎※相关链接※‎ ‎1.用向量证明线面平行的方法有：‎ ‎(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；‎ ‎(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；‎ ‎(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.‎ ‎2.用向量法证垂直问题 ‎(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;‎ ‎(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;‎ ‎(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.‎ ‎3．利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直.‎ ‎（1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则 ‎（2）设直线l的方向向量为平面α的法向量为则 ‎（3）设平面α的法向量为平面β的法向量则 ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.‎ ‎(1)求证:CM∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.‎ 思路解析：题目中存在从点C出发的三条两两垂直的直线,故可建立空间直角坐标系,用向量的坐标运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.‎ 解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.‎ ‎∵PC⊥平面ABCD,‎ ‎∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，‎ ‎∴∠PBC=30°.‎ ‎∵PC=2,∴BC=,PB=4.‎ ‎∴D(0,1,0),B(,0,0),‎ A(,4,0),P(0,0,2),M(),‎ ‎∴=(0,-1,2),=(,3,0),=(),‎ ‎（1）令为平面PAD的一个法向量，则 即 令y=2,得 ‎（2）取AP的中点E，则 ‎（二）异面直线所成的角 ‎※相关链接※‎ 高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:‎ ‎(1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.‎ ‎(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.‎ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.‎ ‎(4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.‎ 若用向量法，则转化为求两向量的夹角.‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.‎ ‎(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；‎ ‎(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°．‎ 解析：（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，‎ ‎∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分 由已知条件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，‎ 又DC与EC相交于C，……………………………………5分 ‎∴EF⊥平面DCE……………………6分 ‎（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．……………………7分 设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）．‎ 从而………………9分 设平面AEF的法向量为，由得，‎ ‎，取x=1，则，‎ 即，…………………………11分 不妨设平面EFCB的法向量为，‎ ‎ 由条件，得 ‎ 解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．‎ ‎（三）利用向量法解决开放性问题 ‎※相关链接※‎ ‎1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.‎ ‎2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗如图，已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，点E、F分别为CD、OA的中点.‎ ‎(1)求证：DF∥平面AEB；‎ ‎(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 思路解析：第(1)问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第(2)问用向量法解答比较容易入手.‎ 解答：(1)如图，取AB中点G，连结FG，EG；‎ ‎∵FG∥OB，‎ ‎∴FG∥DE，‎ 又FG=OB，DE=OB，‎ ‎∴FG=DE，‎ ‎∴四边形EDFG为平行四边形，‎ ‎∴DF∥EG，‎ 又EG平面AEB，DF平面AEB，‎ ‎∴DF∥平面AEB.‎ ‎(2)依题意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD，‎ ‎∴OB⊥平面AOD，得OB⊥OA，‎ 又AO⊥OD，OB⊥OD.‎ 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，‎ ‎∵AO=OD=4，可得A(0，4，0)、E(4，0，2)、B(0，0，4)，‎ ‎∴=(4，-4，2)，=(0，-4，4).‎ 设平面AEB的一个法向量为=(1，b，c)，‎ 解得b=2，c=2，‎ ‎∴=(1，2，2).‎ 设线段AD上存在一点M(t，4-t，0)，‎ 其中0≤t≤4，则=(t,4-t,-4).‎ 可得t2+2t-8=0，解得t=2或t=-4(舍去).‎ 所以AD上存在一点M(2，2，0)，它是AD的中点，‎ 所以 二、空间直角坐标系 ‎（一）求空间中点的坐标 ‎※相关链接※‎ ‎1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。‎ 注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。‎ ‎2、求空间点P坐标的方法 方法一：（1）过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标；‎ ‎（2）过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；‎ ‎（3）过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，它在z轴上的坐标为z,这个数z叫做点P的竖坐标。显然x轴上点的坐标形如(x,0,0),xOy平面上点的坐标形如(x,y,0).‎ 方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标。‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为2，M为A‎1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标。‎ 思路解析：利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系，然后用求空间中点的坐标的方法来求。‎ 解答：如图，‎ 以A为原点，AB，AD，AA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系。从M点分别向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂线。∵正方体的棱长为2，∴M点的坐标为(1,1,2).同理，N点坐标为(1,0,1).‎ ‎（二）空间中点的对称问题 ‎※相关链接※‎ ‎1、常见对称点的坐标规律 在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),则点P ‎（1）关于原点的对称点是(-x,-y,-z);‎ ‎（2）关于x轴的对称点是(x,-y,-z);‎ ‎（3）关于y轴的对称点是(-x,y,-z);‎ ‎（4）关于z轴的对称点是(-x,-y,z);‎ ‎（5）关于xOy坐标面的对称点是(x,y,-z);‎ ‎（6）关于yOz坐标面的对称点是(-x,y,z);‎ ‎（7）关于zOx坐标面的对称点是(x,-y,z).‎ ‎2、中点坐标公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点P的坐标为 ‎3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗已知矩形ABCD中，A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），求顶点D的坐标 思路解析：AC的中点即为BD中点，利用中点坐标公式可求 解答：∵矩形的对角线互相平分，∴AC的中点即为BD的中点。由已知，AC中点M为(，4，-1)。设D(x,y,z),则∴x=5,y=13,z=-3.∴D(5,13,-3).‎ ‎（三）空间两点间距离公式的应用 ‎〖例〗已知直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠BAC=900，AB=AC=AA1=2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|‎ 思路解析：建立空间直角坐标系确定点M、N的坐标求|MN|。‎ 解答：如图，‎ 以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），B1（2，0，2），∴N（1，0，2），M（1，1，1）。∴‎ ‎|MN|=。‎ 注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决。‎ 三、空间向量及其运算 ‎（一）空间向量的线性运算 ‎※相关链接※‎ 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。‎ ‎（1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；‎ ‎（2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系。‎ ‎（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。‎ ‎（4）注意应用以下结论，‎ ‎①A为BC中点，O为空间任一点，则 ‎②A、B、C三点共线，O为空间任一点，则λ+（1-λ）等。‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗如图所示，在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，设=，，，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用，，表示以下各向量：‎ ‎（1）；（2）；（3）‎ 思路解析：结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可。‎ 解答：（1）∵P是C1D1的中点，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵N是BC的中点，∴，‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎（二）共线向量定理、共面向量定理的应用 ‎※相关链接※‎ 应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。‎ ‎1、证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：‎ ‎（1）‎ ‎（2）对空间任一点O，‎ ‎（3）对空间任一点O，‎ ‎2、证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ‎（1）‎ ‎（2）对空间任一点O，‎ ‎（3）对空间任一点O，；‎ ‎（4）‎ 注：在（3）中，若，则点P即为ΔMAB的重心。‎ 若则若P为ΔMAB的重心，则，此即为三角形重心坐标公式。‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面。‎ 思路解析：‎ 解答：由题意得，，又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴，‎ ‎∴‎ ‎（三）空间向量的数量积运算 ‎〖例〗如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A‎1C，求证：AB1=A‎1C。‎ 思路解析：利用直棱柱的性质，可证明AB=AC，则AB1=A‎1C。‎ 解答：。‎ 同理：，‎ 注：（1）利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。当题目条件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。‎ ‎（2）利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的基本思路是先根据已知条件选择基向量，并求出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。‎ ‎（四）空间向量的坐标运算 ‎※相关链接※‎ 空间向量的有关运算 设 ‎（1）坐标运算 ‎（2）共线与垂直的坐标表示 ‎（均为非零向量）。‎ ‎（3）模和距离公式 若则 ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗设向量计算以及所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使与z轴垂直。‎ 思路解析：代入向量坐标运算的公式求，利用数量积求的夹角余弦值，利用确定λ，μ的关系。‎ 解答：=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）。‎ ‎=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）。‎ ‎=(3,5,-4)·(2,1,8)=6+5-32=-21.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,即λ=2μ,‎ ‎∴当λ,μ满足λ=2μ时,可使与z轴垂直 四、立体几何中的向量方法 ‎（一）利用空间向量证明平行和垂直 ‎※相关链接※‎ 利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。‎ ‎（1）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则∥‎ ‎（2）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则∥α ‎（3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中点。‎ ‎（1）证明AE⊥CD；‎ ‎（2）证明：PD⊥平面ABE。‎ 思路解析：①建立空间直角坐标系确定的坐标计算AE⊥CD；‎ ‎②求面ABE的法向量判断满足PD⊥平面ABE或确定坐标计算PD⊥平面ABE 解答：（1）∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设PA=AB=BC=1，则P（0，0，1）。‎ ‎（二）利用空间向量求点面距 ‎※相关链接※‎ 利用向量法求点面距，其步骤如下：‎ ‎（1）求出该平面的一个法向量；‎ ‎（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；‎ ‎（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：‎ 点P到平面α的距离 由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段所对应向量的数量积的绝对值，即。‎ ‎※例题解析※‎ ‎〖例〗（北京卷16）如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ 思路解析：题中（I）利用证明；题中（II）（III）可利用题中（I）的结论：PC，AC，BC两两垂直，建立空间直角坐标系求解。‎ 解法一：‎ A C B D P ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，‎ A C B E P ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 又，即，且，‎ 平面．‎ 取中点．连结．‎ ‎，．‎ 是在平面内的射影，‎ ‎．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ ‎．‎ A C B D P H 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，‎ 平面平面．‎ 过作，垂足为．‎ 平面平面，‎ 平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ ‎． ‎ 点到平面的距离为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ），，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ A C B P z x y H E 则．‎ 设．‎ ‎，‎ ‎，．‎ 取中点，连结．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ），‎ 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．‎ ‎，‎ 点的坐标为．‎ ‎．‎ 点到平面的距离为．‎ ‎（三）利用空间向量求空间角 ‎〖例〗湖北卷18.（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，平面侧面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.‎ 思路解析：（I）利用面面垂直的性质转化为线面垂直，再证线面垂直，进而得到线线垂直；‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，求出与的某个三角函数值，然后比较两角的大小。‎ 解答：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.‎ ‎（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，‎ 所以AD⊥BC.‎ 因为三棱柱ABC—A1B‎1C1是直三棱柱，‎ 则AA1⊥底面ABC，‎ 所以AA1⊥BC.‎ 又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，‎ 又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.‎ ‎（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，‎ 是二面角A1—BC—A的平面角，即 于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，‎ 由AB＜AC，得又所以 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,‎ AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则 由得 可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.‎ 所以 于是由c＜b，得 即又所以 注：求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。‎ ‎【高考零距离】‎ ‎（1）（2011·辽宁高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．‎ ‎【思路点拨】建立空间坐标系，利用坐标向量来解题（I） ；（II）先求法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，最后确定二面角Q-BP-C的余弦值．‎ ‎【精讲精析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系. ‎ ‎(Ⅰ)依题意有，，，‎ 则，，，所以，，‎ 即 ⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面. ……6分 ‎（II）依题意有，=，=.‎ 设是平面的法向量，则 即 因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以且由图形可知二面角为钝角 故二面角的余弦值为……12分 ‎ ‎（2）（2011·江苏高考·Ｔ22）（本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）当时，求的长。‎ ‎【思路点拨】本题考察的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力，解决本题的关键是正确的建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标，然后利用空间向量的运算求解。‎ ‎【精讲精析】‎ 解析：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),‎ 面MDN的法向量， 设面A1DN的法向量为，则 取即 ‎(1)由题意：取 ‎（2）由题意：即取 ‎（3）（2010北京理数）（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ 证明：（I） 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG，‎ ‎ 因为平面BDE，AF平面BDE，‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直，且CEAC，‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.‎ ‎ 所以，，.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则，.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎【考点提升训练】‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )‎ ‎(A)y轴上 (B)xOy平面上 ‎(C)xOz平面上 (D)yOz平面上 ‎2.在空间直角坐标系中，点过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )‎ ‎(A)(0,,0) (B)(0,,)‎ ‎(C)(1,0,) (D)(1,,0)‎ ‎3.有以下命题：‎ ‎①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a,b的关系是不共线；‎ ‎②O，A，B，C为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；‎ ‎③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )‎ ‎(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③‎ ‎4.设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·=0,·=0，·=0，则△BCD的形状是( )‎ ‎(A)钝角三角形 (B)直角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)无法确定 ‎5.(2012·厦门模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1‎ 中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A‎1M=AN=,‎ 则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是( )‎ ‎(A)相交 (B)平行 ‎(C)垂直 (D)不能确定 ‎6.（易错题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对 角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O 落在BC边上，若二面角C－AB－D的大小为θ，则sinθ 的值等于( )‎ ‎(A) (B)(C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.（易错题）给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为________.‎ ‎8.已知O是空间中任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=_________．‎ ‎9.正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是_______．‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.(2012·莆田模拟)如图ABCD-A1B‎1C1D1是正方体,M、N分别是线段AD1和BD的中点.‎ ‎(1)证明:直线MN∥平面B1CD1；‎ ‎(2)设正方体ABCD-A1B‎1C1D1棱长为a,若以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B‎1M的长.‎ ‎11.(2012·襄阳模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，‎ ‎∠BCA=90°，棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A‎1A的中点.‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos<>的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C‎1M.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，△PAD为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；‎ ‎(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．‎ 答案解析 ‎1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.‎ ‎2.【解析】选D.由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同．从而点Q的坐标为(1,,0).‎ ‎3.【解析】选C．对于①，“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a,b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确．‎ ‎4.【解题指南】通过的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．‎ ‎【解析】选C． ,‎ 同理．故△BCD为锐角三角形．‎ ‎5.【解题指南】建立坐标系，判断与平面BB‎1C1C的法向量的关系.‎ ‎【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C‎1C所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎∵A‎1M=AN=,‎ ‎∴M(),N().∴.‎ 又C1(0，0，0)，D1(0,a,0),∴=(0,a,0).‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵是平面BB‎1C1C的一个法向量，‎ 且MN平面BB‎1C1C，‎ ‎∴MN∥平面BB‎1C1C.‎ ‎6.【解析】选A.由题意可求得BO=，OC=，AO=，‎ 建立空间直角坐标系如图，则 C(,0,0)，B(,0,0)，A(0,0,)，D(,3,0)，‎ =(4,3,0)，=()‎ 设=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量．‎ 则，取z=，x=7,y=.‎ 则.‎ 又=(0,3,0)是平面ABC的一个法向量．‎ ‎∴.‎ sinθ.‎ ‎7.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),‎ 由题意得，|P0P|=,‎ 即,∴(x-4)2=25.‎ 解得x=9或x=-1.‎ ‎∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).‎ 答案：(9,0,0)或(-1,0,0)‎ ‎8.【解析】∵A,B,C,D四点共面，‎ ‎∴，且m+n+p=1．‎ 由条件知,‎ ‎∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.‎ ‎∴2x+3y+4z=-1.‎ 答案:-1‎ ‎9.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，‎ P(0,,)，‎ 则=(‎2a,0,0)，=(-a,,)，‎ =(a，a,0)，‎ 设平面PAC的一个法向量为，可取=(0,1,1)，‎ 则，‎ ‎∴=60°，‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°=30°.‎ 答案：30°‎ ‎10.【解析】(1)连接CD1、AC，则N是AC的中点,‎ 在△ACD1中,又M是AD1的中点,‎ ‎∴MN∥CD1.‎ 又MN平面B1CD1,CD1⊂平面B1CD1,‎ ‎∴MN∥平面B1CD1.‎ ‎(2)由条件知B1(a,a,a),M(,0,),‎ ‎∴|B‎1M|=,‎ 即线段B‎1M的长为.‎ ‎11.【解析】如图，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，‎ ‎∴.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，‎ ‎∴=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,,‎ ‎∴.‎ ‎(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，=(-1,1,-2),=(,,0).‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴A1B⊥C‎1M.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】(1)取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系，‎ 则P(0,0,),D(,0,0)．‎ 设Q(t，2，0)，‎ 则．‎ ‎∵PQ⊥QD，∴．‎ ‎∴a=2(t+)，∵a>0,∴t>0,∴2(t+)≥8,等号成立当且仅当t=2．‎ 故a的取值范围为［8,+∞)． ‎ ‎(2)由(1)知，当t=2,a=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．‎ 此时Q(2，2，0)，D(4，0，0),P(0,0,4)．‎ 设=(x,y,z)是平面PQD的法向量，‎ =(2,2,)，=(-2,2,0).‎ 由 得 令x=y=3，则=(3,3,)是平面PQD的一个法向量．‎ 而=(0,2,0)是平面PAD的一个法向量，‎ 设二面角A－PD－Q为θ，‎ 由．‎ ‎∴二面角A－PD－Q的余弦值为．‎