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- 2021-05-13 发布
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2012年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试题(文史类)
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1、计算: (为虚数单位)
2、若集合,,则=
3、函数的最小正周期是
4、若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)
5、一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为
6、方程的解是
7、有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则
8、在的二项式展开式中,常数项等于
9、已知是奇函数,若且,则
10、满足约束条件的目标函数的最小值是
11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示)
12、在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是
13、已知函数的图像是折线段,其中、、,函数()的图像与轴围成的图形的面积为
14、已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15、若是关于的实系数方程的一个复数根,则( )
A、 B、 C、 D、
16、对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
17、在△中,若,则△的形状是( )
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
18、若(),则在中,正数的个数是( )
A、16 B、72 C、86 D、100
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2
小题满分6分
如图,在三棱锥中,⊥底面,是的中点,已知∠=,,,,求:
(1)三棱锥的体积
(2)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
P
A D
B C
20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知
(1)若,求的取值范围
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,,求函数()的反函数
21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
y
P
O x
A
22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分
在平面直角坐标系中,已知双曲线
(1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;
(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:⊥
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
对于项数为的有穷数列,记(),即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的
(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:()
(3)设,常数,若,是的控制数列,求