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- 2021-05-13 发布
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数列
一、分析:
作为倒数几题,多会结合求解通项公式,求和,以及与函数,不等式结合证明不等式
作为最后的压轴题,那么必然是结合着新的知识(序列问题,群环域的问题,函数问题),必然是阅读类的,时间问题,以及转化问题,放弃或者作出前1、2问
考试要求:裂项求和,错位求和,等差等比求和,分组求和的问题,根据递推关系求解前几项以及求解通项公式,以及证明数列是等差和等比,要求是必须正确、迅速的做出来。
二、重点知识
1.使用等比数列的求和公式,要考虑公比与两种情况,切忌直接用
2.利用与的关系:求解,注意对首项的验证。
3.数列求解通项公式的方法:
A.等差等比(求解连续项的差或商,比例出现字母的注意讨论)
B. 利用与的关系:
C.归纳-猜想-证明法
D.可以转化为等差和等比的数列(一般大多题有提示,会变成证明题)
(1);令;
(2); “”(两边除以)或“.
(3);
(4). 令
E. 应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①;②
F.对于分式,取倒数,数列的倒数有可能构成等差数列(对于分式形式的递推关系)
G.给定的,形式的,可以结合,写成关于的关系式,也可以写成关于的关系式,关键就是那个关系式比较容易的求解出结果来
4.数列求和
公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.
或转化为等差数列和等比数列利用公式求解;求解参数的式子中有结构的,注意对n是偶数与奇数的讨论,往往分开奇数与偶数,式子将会变的简单
5.不等式证明:
(1)证明数列,可以利用函数的单调性,或是放缩
(2)证明连续和,若是有,,形式的,每一项放缩成可以裂项相削形式()或者()或者是()(注意证明式子与对应项的大小关系);或者是变形成等差或是等比数列求和
(3)证明连续积,若有,的形式,每一项适当的放缩,变形成迭乘相削形式,或者错位相乘()或者()
(4)利用函数的单调性,函数赋值的方法构造
(5)最后就是:若是上述形式失败,用数学归纳法
(6)比较法
(7)放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式
(8)对于证明存在问题、唯一问题、大小问题等有时可以尝试反证法
三、例题讲解
第一类求解通项、和的题目(注意利用题目中的条件)全力以赴,全部拿分。
例题1. 在数列中,
(1)求的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(3)求数列。
练习1.已知数列满足:,,其中是常数,.
⑴若,求、;
⑵对,求数列的前项和;
例题2.已知数列的前项和为,且,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,求数列的前项和.
练习2.已知数列的相邻两项是关于的方程
的两实根,且
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设是数列的前项和,求;
例题3.已知数列中,,对于任意的,有
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:
……,
求数列的通项公式;
练习3.已知数列中,,且,其前项和为,且当时,.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
练习4.已知数列满足:,,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,试求数列的通项公式;
第二类证明不等式(合理猜想,举例验证)
例题4.已知正项数列的首项其中,函数.
(1)若数列满足且证明是等差数列,
并求出数列的通项公式;
(2)若数列满足,
试证明.
练习5. 已知数列中,,,其前项和满足,
令.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求证:().
例题5.已知数列的前项和为,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明: ;
② 求证:.
练习6.已知数列满足,点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(II)若数列满足
求的值;
(III)对于(II)中的数列,求证:
例题6.已知数列和满足,且对任意,都有,
.
(1) 求数列和的通项公式;
(2) 证明:.(特殊形式)
第三类阅读类问题
这是考试出题的方向,一定要仔细看清题目中的说明,严格按照给定的定义计算求解证明,同时结合所学的知识,合理的迁移,转化,正确的推理,证明中可以适当利用分析法,反证法,等等方法,按照一般情形,能做出两问,就是很不错的了
例题7.设集合W由满足下列两个条件的数列构成:
①
②存在实数M,使(n为正整数)
(I)在只有5项的有限数列
;试判断数列是否为集合W的元素;
(II)设是各项为正的等比数列,是其前n项和,
证明数列;并写出M的取值范围;
练习8.若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列。已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(1)求证:数列是等比数列;
(2)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角
形数表,当 时,求第行各数的和;
课后检测
1.在数列中,
(I)设,求数列的通项公式(2分钟)
(II)求数列的前项和(4分钟)
2.设数列的前项和为 已知
(I)设,证明数列是等比数列(3分钟)
(II)求数列的通项公式。(5分钟)
3.等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的,点,
均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求r的值; (2分钟)
(11)当b=2时,记 .
证明:对任意的 ,不等式成立(5分钟)
4.设数列的通项公式为. 数列定义如下:对于正整数m,是使得不等式成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若,求;(3分钟)
(Ⅱ)若,求数列的前2m项和公式(6分钟)
5.数列满足,(),是常数.
(Ⅰ)当时,求及的值;(1分钟)
(Ⅱ)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;(5分钟)