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- 2021-05-13 发布
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数列的综合问题
【2019年高考考纲解读】
1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.
2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.
3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力.
【重点、难点剖析】
一、利用Sn,an的关系式求an
1.数列{an}中,an与Sn的关系
an=
2.求数列通项的常用方法
(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.
(2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an.
(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).
二、数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题.
三、数列的实际应用
用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果.
【高考题型示例】
题型一、 利用Sn,an的关系式求an
例1、已知等差数列{an}中,a2=2,a3+a5=8,数列{bn}中,b1=2,其前n项和Sn满足:bn+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)∵a2=2,a3+a5=8,
∴2+d+2+3d=8,∴d=1,∴an=n(n∈N*).
∵bn+1=Sn+2(n∈N*),①
∴bn=Sn-1+2(n∈N*,n≥2).②
由①-②,得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn(n∈N*,n≥2),
∴bn+1=2bn(n∈N*,n≥2).
∵b1=2,b2=2b1,
∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴bn=2n(n∈N*).
【感悟提升】给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足:a1an=S1+Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若an>0,数列的前n项和为Tn,试问当n为何值时,Tn最小?并求出最小值.
解 (1)由已知a1an=S1+Sn,①
可得当n=1时,a=a1+a1,解得a1=0或a1=2,
当n≥2时,由已知可得a1an-1=S1+Sn-1,②
①-②得a1=an.
若a1=0,则an=0,此时数列{an}的通项公式为an=0.
若a1=2,则2=an,化简得an=2an-1,
即此时数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
故an=2n(n∈N*).
综上所述,数列{an}的通项公式为an=0或an=2n.
(2)因为an>0,故an=2n.
设bn=log2 ,则bn=n-5,显然{bn}是等差数列,
由n-5≥0,解得n≥5,所以当n=4或n=5时,Tn最小,
最小值为T4=T5==-10.
题型二 数列与函数、不等式的综合问题
例2、已知函数f(x)=ln(1+x)-.
(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;
(2)设数列{an}的通项an=1+++…+,证明:a2n-an+>ln 2.
③若λ≥,
则当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x≥0时,f(x)≤f(0)=0,符合题意.
综上,λ≥.
∴实数λ的最小值为.
(2)证明 由于a2n-an+=+++…+++,
若λ=,由(1)知,f(x)=ln(1+x)-,
且当x>0时,f(x)<0,
即>ln(1+x),
令x=,则>ln ,
∴+>ln ,
+>ln ,
+>ln ,
…,
+>ln .
以上各式两边分别相加可得
++++++…++
>ln +ln +ln +…+ln ,
即+++…+++
>ln ···…·=ln =ln 2,
∴a2n-an+>ln 2.
【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点
(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视.
(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.
(3)不等关系证明中进行适当的放缩.
【变式探究】已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),满足S4=2a4-1,S3=2a3-1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=log2(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:++…+<2.
(1)解 设{an}的公比为q,
由S4-S3=a4,S4=2a4-1得,
2a4-2a3=a4,
所以=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1,
所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1,
所以an=2n-1(n∈N*).
(2)证明 由(1)知bn=log2(an+1·an)
=log2(2n×2n-1)=2n-1,
所以Tn=n=n2,
所以++…+=++…+<1+++…+
=1+1-+-+…+-
=2-<2.
题型三 数列的实际应用
例3、科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m>0).
(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示);
(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.
解 设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2,…,
(1)由已知,a1=400×0.9+m,
a2=0.9×+m
=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m.
(2)a3=0.9×+m
=400×0.93+0.92m+0.9m+m,
…,
an=400×0.9n+0.9n-1m+0.9n-2m+…+0.9m+m
=400×0.9n+m =400×0.9n+10m
=×0.9n+10m.
由已知∀n∈N*,an≤550,
(1)当400-10m=0,即m=40时,显然满足题意;
(2)当400-10m>0,即m<40时,
由指数函数的性质可得×0.9+10m≤550,解得m≤190.
综合得m<40;
(3)当400-10m<0,即m>40时,
由指数函数的性质可得10m≤550,
解得m≤55,综合得400,
故当n≥4时,f(n)递增.
又f(1)=-<0,
f(7)=7-21≈17-21=-4<0,
f(8)=8-23≈25-23=2>0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利.
答:该项目将从2023年开始并持续赢利.
方法二 设f(x)=x-2x-7(x≥1),
则f′(x)=xln -2,令f′(x)=0,
得x==≈=5,
∴x≈4.
从而当x∈[1,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(4,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
又f(1)=-<0,
f(7)=7-21≈17-21=-4<0,
f(8)=8-23≈25-23=2>0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利.
答:该项目将从2023年开始并持续赢利.
题型四 与数列相关的综合问题
例4、设f(x)=x2+2x,f′(x)是y=f(x)的导函数,若数列{an}满足an+1=f′(an),且首项a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前n项和为Tn,请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.
解 (1)由f(x)=x2+2x,得f′(x)=x+2.
∵an+1=f′(an),且a1=1.
∴an+1=an+2则an+1-an=2,
因此数列{an}是公差为2,首项为1的等差数列.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)数列{an}的前n项和Sn==n2,
等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,∴q=3.
∴bn=3n-1.
∴数列{bn}的前n项和Tn===.
Tn≤Sn可化为≤n2.
又n∈N*,∴n=1,或n=2
故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1和2.
【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点:(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集),在求数列最值或不等关系时要特别重视;(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.
2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.
【变式探究】设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
解 (1)由已知Sn=2an-a1,
有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
故an=2n.