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- 2021-05-13 发布
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1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10
【答案】A
2.【2017课标II,理9】若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】由几何关系可得,双曲线的渐近线方程为,圆心到渐近线距离为,则点到直线的距离为,
即,整理可得,双曲线的离心率.故选A.
3.【2017浙江,2】椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,选B.
4.【2017天津,理5】已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(A) (B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由题意得 ,选B.
5.【2017北京,理9】若双曲线的离心率为,则实数m=_________.
【答案】2
【解析】 ,所以 ,解得 .
6.【2017课标1,理】已知双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.
【答案】
【解析】如图所示,作,因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则为双曲线的渐近线上的点,且, ,
而,所以,
点到直线的距离,
在中, ,代入计算得,即,
由得,
所以.
7.【2017课标II,理16】已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点。若为的中点,则 。
【答案】6
【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.
8.【2017课标3,理5】已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线C: (a>0,b>0)的渐近线方程为 ,
椭圆中: ,椭圆,即双曲线的焦点为 ,
据此可得双曲线中的方程组: ,解得: ,
则双曲线 的方程为 .
故选B.
9.【2017山东,理14】在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】 ,
因为 ,所以渐近线方程为.
10.【2017课标1,理20】已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l
过定点.
【答案】(1).(2)见解析。
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t, ),(t, ).
则,得,不符合题设.
从而可设l: ().将代入得
由题设可知.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
而
.
由题设,故.
即.
解得.
当且仅当时, ,欲使l: ,即,
所以l过定点(2, )
易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程
例1、(1)△ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC周长为18,则C点轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
(2)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)∵△ABC的两顶点A(-4,0),B(4,0),周长为18,∴|AB|=8,|BC|+|AC|=10.∵10>8,∴点C到两个定点的距离之和等于定值,满足椭圆的定义,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,∴2a=10,2c=8,∴b=3.∴椭圆的标准方程是+=1(y≠0).故选D.
(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标,由椭圆定义知|BA|+|BC|=2a=10,在△ABC中,由正弦定理可知,===.
【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)抛物线y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为8,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
答案 (1)B (2)3
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义及题意知,x1+1+x2+1=8,∴x1+x2=6.
∴线段AB的中点到y轴的距离为3.
【名师点睛】
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.
2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
易错起源2、圆锥曲线的几何性质
例2 (1)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±2x
C.y=±(+1)x D.y=±(-1)x
答案 (1)-1 (2)C
解析 (1)直线y=(x+c)过点F1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,
所以该椭圆的离心率e===-1.
(2)由题意作出示意图,
易得直线BC的斜率为,cos∠CF1F2=,
又由双曲线的定义及|BC|=|CF2|可得
|CF1|-|CF2|=|BF1|=2a,
|BF2|-|BF1|=2a⇒|BF2|=4a,
故cos∠CF1F2==⇒b2-2ab-2a2=0⇒()2-2()-2=0⇒=1+,
故双曲线的渐近线方程为y=±(+1)x.
【变式探究】(1)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-,0)∪(0,) D.(-∞,-)∪ (,+∞)
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
所以|PF2|=2c·tan30°=c,|PF1|=c.
又|PF1|+|PF2|=c=2a,所以==,
即椭圆C的离心率为.
(2)由题作出图象如图所示.
由-=1可知A(a,0),F(c,0).
易得B,C.
∵kAB==,
∴kCD=.
∵kAC==,
∴kBD=-.
∴lBD:y-=-(x-c),
即y=-x++,
lCD:y+=(x-c),
即y=x--.
∴xD=c+.
∴点D到BC的距离为.
∴b2,∴0<<1.∴0<<1.
【名师点睛】
(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.
(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系
(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==;
(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.
易错起源3、直线与圆锥曲线
例3、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到直线l:x=-的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.
解 (1)由题意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,|AB|=,又|CP|=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入椭圆方程,
得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
则x1,2=,
C的坐标为,且
|AB|===.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与直线l平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为
y+=-,
则P点的坐标为,
从而|PC|=.
因为|PC|=2|AB|,
所以=,
解得k=±1.
此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.
【变式探究】(1)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )
A.[-,] B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
(2)设椭圆C:+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,若点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是________.
答案 (1)C (2)[,]
解析 (1)由题意知抛物线的准线为x=-2,∴Q(-2,0),显然,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时,x=0,此时交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,
即[4(k2-2)]2-16k4≥0,解得-1≤k<0或0
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