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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(理)(正态分布)一轮复习学案

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学案69 正态分布 导学目标: 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 自主梳理 ‎1.正态分布密度曲线及性质 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ,σ(x)=__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线.‎ ‎(2)正态分布密度曲线的特点 ‎①曲线位于x轴________,与x轴不相交;‎ ‎②曲线是单峰的,它关于直线________对称;‎ ‎③曲线在________处达到峰值____________;‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为____;‎ ‎⑤当σ一定时,曲线随着____的变化而沿x轴移动;‎ ‎⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ________,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ________,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.‎ ‎2.正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b (a0)和N(μ2,σ) (σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(  )‎ A.μ1<μ2,σ1<σ2‎ B.μ1<μ2,σ1>σ2‎ C.μ1>μ2,σ1<σ2‎ D.μ1>μ2,σ1>σ2‎ 探究点一 正态曲线的性质 例1 ‎ 如图所示,是一个正态曲线,试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式,并求出正态总体随机变量的均值和方差.‎ 变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.‎ ‎(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;‎ ‎(2)求正态总体在(-4,4]的概率.‎ 探究点二 服从正态分布的概率计算 例2 设X~N(5,1),求P(61>σ2>σ3>0‎ B.0<σ1<σ2<1<σ3‎ C.σ1>σ2>1>σ3>0‎ D.0<σ1<σ2=1<σ3‎ ‎2.(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ4)等于(  )‎ A.0.158 8 B.0.158 ‎7 ‎ C.0.158 6 D.0.158 5‎ ‎5.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52‎ ‎),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内?(  )‎ A.(90,110] B.(95,125]‎ C.(100,120] D.(105,115]‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.‎ 设三个正态分布N(μ1,σ) (σ1>0),N(μ2,σ) (σ2>0),N(μ3,σ) (σ3>0)的密度函数图象如图所示,则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________;σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________.‎ ‎7.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________.‎ ‎8.(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)设X~N(10,1).‎ ‎(1)证明:P(13)=.]‎ ‎3.C [‎ ‎∵P(ξ<4)=0.8,‎ ‎∴P(ξ>4)=0.2,‎ 由题意知图象的对称轴为直线x=2,‎ P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,‎ ‎∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6.‎ ‎∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.]‎ ‎4.D [由φ(x)==对照得σ=2,μ=0,∴E(ξ)=μ=0,σ==2.]‎ ‎5.A [由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴,故μ1<μ2;又σ越小,图象越高瘦,故σ1<σ2.]‎ 课堂活动区 例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数μ,σ的值,其中μ决定曲线的对称轴的位置,σ则与曲线的形状和最大值有关.‎ 解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值为,所以μ=20.‎ 由=,解得σ=.‎ 于是正态分布密度曲线的解析式是 φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞).‎ 均值和方差分别是20和2.‎ 变式迁移1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由=,‎ 得σ=4,‎ 故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是 φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞).‎ ‎(2)P(-41.]‎ ‎2.B [∵ξ~N(2,9),∴P(ξ>c+1)=P(ξ<3-c).‎ 又P(ξ>c+1)=P(ξ110)=P(X>μ+3σ),‎ P(X<50)=P(X<μ-3σ),‎ ‎∴P(X>110)=P(X<50),故C正确. ]‎ ‎4.B [由于X服从正态分布N(3,1),‎ 故正态分布曲线的对称轴为X=3.‎ 所以P(X>4)=P(X<2),‎ 故P(X>4)==0.158 7.]‎ ‎5.C [由于X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.‎ 因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.‎ 由于一共有60人参加考试,‎ ‎∴成绩位于上述三个区间的人数分别是:‎ ‎60×0.682 6≈41(人),60×0.954 4≈57(人),‎ ‎60×0.997 4≈60(人),‎ 故大约应有57人的分数在(100,120]区间内.]‎ ‎6.μ2<μ1<μ3 σ1<σ3<σ2‎ ‎7.0.8‎ 解析 ∵ξ服从正态分布(1,σ2),‎ ‎∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.‎ ‎∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.‎ ‎8.0.16‎ 解析 ∵μ=2,∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)‎ ‎=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16.‎ ‎9.(1)证明 因为X~N(10,1),所以,正态曲线φμ,σ(x)关于直线x=10对称,而区间[1,2]和[18,19]关于直线x=10对称,所以ʃφμ,σ(x)dx=ʃφμ,σ(x)dx,‎ 即P(160,所以P(X≥x0)=P(X-60≥x0-60)‎ ‎==0.022 8,(12分)‎ 所以P(|X-60|