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2011-2018 新课标(理科)立体几何分类汇编
一、选填题
【2012 新课标】(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗线
画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B )
【解析】选 。该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 ,此几
何体的体积为
【2012 新课标】(11)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上, 是边长为
的正三角形, 为球 的直径,且 ;则此棱锥的体积为( A )
【解析】 的外接圆的半径 ,点 到面 的距离 , 为球
的直径 点 到面 的距离为 此棱锥的体积为
另: 排除
【2013 新课标 1】6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容
器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰
好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
( A )
A、500π
3 cm3 B、866π
3 cm312 C、1372π
3 cm3 D、2048π
3 cm3
【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距离为
R-2,则 ,解得 R=5,∴球的体积为 =500π
3
,故选 A.
【2013 新课标 1】8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体
积为( A )
A、16+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π
1
( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18
B 3
1 1 6 3 3 93 2V = × × × × =
S ABC− O ABC∆ 1
SC O 2SC =
( )A 2
6 ( )B 3
6 ( )C 2
3 ( )D 2
2
ABC∆ 3
3r = O ABC 2 2 6
3d R r= − = SC
O ⇒ S ABC 2 62 3d =
1 1 3 2 6 223 3 4 3 6ABCV S d∆= × = × × =
1 323 6ABCV S R∆< × = , ,B C D
2 2 2( 2) 4R R= − +
34 5
3
π ×
3cm
【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽
为 2 高为 2 长方体,故其体积为 = ,故选 .
【2013 新课标 2】4. 已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l
α,l β,则( D ).
A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β
C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l
【解析】因为 m⊥α,l⊥m,l α,所以 l∥α.同理可得 l∥β。又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与
β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D.
【2013 新课标 2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),
(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx
平面为投影面,则得到的正视图可以为( A ).
【解析】如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像如
图:
【2014 新课标 1】12. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出
的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为
( B )
A、6 B、6 C、4 D、4
【解析】几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD
的中点的距离为:4, ,AC=
=6,AD=4 ,显然 AC 最长。
【2014 新课标 2】6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),
图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为
6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
值为( C )
A.17
27 B.5
9 C.10
27 D.1
3
【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为 π×32×2+
π×22×4=34π(cm3),原毛坯的体积为 π×32×6=54π(cm3),切削掉部分的体积为 54π-34π=
20π(cm3),故所求的比值为20π
54π
=10
27
。
21 2 4 4 2 22
π × × + × × 16 8π+ A
【2014 新课标 2】11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,
BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( C )
A. 1
10 B.2
5 C. 30
10 D. 2
2
【解析】如图,E 为 BC 的中点.由于 M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,故 MN∥B1C1 且 MN=1
2
B1C1,故 MN 綊 BE,所以四边形 MNEB 为平行四边形,所以 EN 綊 BM,
所以直线 AN,NE 所成的角即为直线 BM,AN 所成的角.设 BC=1,则
B1M=1
2B1A1= 2
2
,所以 MB= 1+1
2
= 6
2
=NE,AN=AE= 5
2
,在△ANE
中,根据余弦定理得 cos ∠ANE= 30
10
。
【2015 新课标 1】6.《九章算术》是我国古代
内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周
八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如
图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆
底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为
多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆
放斛的米约有( B )
A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
【2015 新课标 1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后
与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为
16 + 20π,则 r=( B )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
【2015 新课标 2】(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截
去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】由三视图得,在正方体
中,截去四面体 ,如图所示,,设正方
体棱长为 ,则 ,故剩余几何体体积为
,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 .
8
1
7
1
6
1
5
1
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1 1A A B D−
a 1 1 1
3 31 1 1
3 2 6A A B DV a a− = × =
3 3 31 5
6 6a a a− =
5
1
C
BA
D
D1 C1
B1
A1
【2015 新课标 2】(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为
该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面
积为( C )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 的直径端点时,三棱锥
的体积最大,设球 的半径为 ,此时
,故 ,则球 的表面
积为 ,故选 C.
【2016 新课标 1】(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( A )
(A) (B) (C) (D)
【解析】该几何体为球体,从球心挖掉整个球的 (如右图所示),故
解得 , 。
【2016 新课标 1】(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, 平面
ABCD=m, 平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为( A )
(A) (B) (C) (D)
【详细解答】令平面 a 与平面 CB1D1 重合,则 m = B1 D1,n= CD1
故直线 m、n 所成角为 ,正弦值为
【2016 新课标 2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视
图,则该几何体的表面积为( C )
(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π
【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为 ,周
长为 ,圆锥母线长为 ,圆柱高为 .由图得 , ,由
勾股定理得:
【2016 新课标 2】14. , 是两个平面,m,n 是两条线,有下列四个命题:
①如果 , , ,那么 。②如果 , ,那么 .
③如果 , ,那么 。 ④如果 , ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相
AOB
O ABC− O R
2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R− −= = × × = = 6R = O
24 144S Rπ π= =
r
c l h 2r = 2π 4πc r= =
( )222 2 3 4l = + = 2 1π 2S r ch cl= + +表
4π 16π 8π= + +
28π=
28
3
π
17π 18π 20π 28π
1
8
34 7 28
3 8 3r
ππ = 2r = 2 27 14 3 178 4S r rπ π π∴ = ⋅ + ⋅ =
a ∩
a ∩
3
2
2
2
3
3
1
3
60o 3
2
α β
m n⊥ m α⊥ n β∥ α β⊥ m α⊥ n α∥ m n⊥
a β∥ m α⊂ m β∥ m n∥ α β∥ α β
B
O
A
C
等.
其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号)
【2016 新课标 3】9. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的的是某多面体的三视
图,则该多面体的表面积为( B )
(A)18+36 5 (B)54+18 5
(C)90 (D)81
【2016 新课标 3】10. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为
V 的球,若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA13,则 V 的最大值是( B )
(A)4π (B)9π
2 (C)6π (D)32π
3
【2017 新课标 1】7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由
正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.
该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( B )
A.10 B.12 C.14 D.16
【2017 新课标 1】16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的
等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,
CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折
痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC
的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为____
___。
【2017 新课标 2】4. 如图,网格纸上小正方形
的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视
图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何
体的体积为( B )
A. B. C. D.
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为
6 的圆柱的一半。
【2017 新课标 2】10.已知直三棱柱 中, , ,
,则异面直线 与 所成角的余弦值为( C )
A. B. C. D.
【解析】 , , 分别为 , , 中点,则 , 夹角为 和 夹角或其补
角(异面线所成角为 )
90π 63π 42π 36π
4 15
2 21 1π 3 10 π 3 6 63π2 2
= − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =V V V总 上
1 1 1C CΑΒ − Α Β C 120∠ΑΒ = 2ΑΒ =
1C CC 1Β = = 1
ΑΒ 1CΒ
3
2
15
5
10
5
3
3
M N P AB 1BB 1 1B C 1AB 1BC MN NP
π0 2
,
可知 , ,作 中点 ,则可知 为直角三角形.
, , 中,
, ,则 ,则 中, ,
则 中,
又异面线所成角为 ,则余弦值为 。
【2017新课标3】8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2
的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( B )
A. B. C. D.
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径
,则圆柱体体积 ,故选B.
【2017新课标3】16. , 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边
所在直线与
, 都垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线 与 成 角时, 与 成 角;
②当直线 与 成 角时, 与 成 角;
③直线 与 所成角的最小值为 ;
④直线 与 所成角的最大值为 .其中正确的是___②③_____(填写所有正确结论的编号)
【解析】由题意知, 三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1,故 , ,斜边 以直线 为旋转轴旋转,则
点保持不变, 点的运动轨迹是以 为圆心,1为半径的圆。以 为坐标原点,以 为 轴
正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立空间直角坐标
系.
则 , ,直线 的方向单位向量 , ,
点起始坐标为 ,
直线 的方向单位向量 , ,设 点在运动过程中的
坐标 ,
其中 为 与 的夹角, 。
那么 在运动过程中的向量 , .
设 与 所成夹角为 ,则 .
1
1 5
2 2MN AB= = 1
1 2
2 2NP BC= = BC Q PQM△
1=PQ 1
2MQ AC= ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠
= 4 +1− 2× 2×1⋅ − 1
2
= 7 7=AC 7
2MQ = MQP△ 2 2 11
2MP MQ PQ= + =
PMN△
2 2 2
cos 2
MN NP PMPNM MH NP
+ −∠ = ⋅ ⋅
2 2 2
5 2 11
2 2 2 10
55 22 2 2
+ − = = −
⋅ ⋅
π0 2
, 10
5
π 3π
4
π
2
π
4
2
2 1 31 2 2r = − =
2 3ππ 4V r h= =
a b ABC AC
a b AB AC
AB a 60° AB b 30°
AB a 60° AB b 60°
AB a 45°
AB a 60°
a b AC、 、
| | 1AC = 2AB = AB AC
A B C C x
y z
(1,0,0)D (0,0,1)A a
B (0,1,0)
b B
(cos ,sin ,0)B θ θ′
θ B C′ CD [0,2π)θ ∈
'AB
π[0, ]2
α ∈
故 ,所以③正确,④错误.设 与 所成夹角为 ,
.
当 与 夹角为 时,即 , .
∵ ,∴ ,∴ .
∵ ,∴ ,此时 与 夹角为 ,∴②正确,①错误.
【2018 新课标 1】7.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如
右图所示,圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱表面上
的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的
路径中,最短路径的长度为( )
A. B. C. D.2
【答案】B
【2018 新课标 1】12.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则
截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【2018 新课标 2】9.在长方体 中, , ,则异面直线 与
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【2018 新课标 2】16.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 所成角的余弦值为 , 与圆锥底
面所成角为 45°,若 的面积为 ,则该圆锥的侧面积为__________.
【答案】
【2018 新课标 3】3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件
的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是
棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
【答案】A
【2018 新课标 3】10.设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, 为等边三角
形且其面积为 ,则三棱锥 体积的最大值为( )
π π[ , ]4 2
α ∈ π[0, ]2
β ∈
60° π
3
α = 1 2sin 2 cos 2 cos 23 2 2
πθ α= = = =
2 2cos sin 1θ θ+ = 2| cos | 2
θ = 2 1cos | cos |2 2
β θ= =
π[0, ]2
β ∈ π= 3
β AB′ b 60°
M A
N B M N
2 17 2 5 3
α α
3 3
4
2 3
3
3 2
4
3
2
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD
1DB
1
5
5
6
5
5
2
2
S SA SB 7
8 SA
SAB△ 5 15
40 2π
A B C D, , , ABC∆
9 3 D ABC−
A. B. C. D.
【答案】B
二、解答题
【2011 新课标】 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD
为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。
【答案】
(Ⅰ)因为 , 由余弦定理得
,从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD 又 PD 底面 ABCD,可得 BD PD 所以 BD
平面 PAD. 故 PA BD
(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 轴的正半轴建立空间直角坐标
系 D- ,则
, , , 。
设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则
即 因此可取 n=
设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=
(0,-1, ) 故二面角 A-PB-C 的余弦值为
【2012 新课标】19. 如图,直三棱柱 中,
, 是棱 的中点,
(1)证明:
(2)求二面角 的大小。
【答案】(1)在 中, 得:
同理:
得: 面
(2) 面
取 的中点 ,过点 作 于点 ,连接
,面 面 面
得:点 与点 重合 且 是二面角 的平面角
12 3 18 3 24 3 54 3
60 , 2DAB AB AD∠ = ° =
3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
x
xyz
( )1,0,0A ( )0 3,0B , ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P
3 0
3 0
x y
y z
− + =
− = ( 3,1, 3)
0
0
m PB
m BC
⋅ =
⋅ =
3− 4 2 7cos , 72 7
m n
−= = − 2 7
7
−
1 1 1ABC A B C−
1
1
2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1
BCDC ⊥1
11 CBDA −−
Rt DAC∆ AD AC= 45ADC °∠ =
1 1 145 90A DC CDC° °∠ = ⇒ ∠ =
1 1 1,DC DC DC BD DC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1BCD DC BC⇒ ⊥
1 1,DC BC CC BC BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1 1ACC A BC AC⇒ ⊥
1 1A B O O OH BD⊥ H 1 1,C O C H
1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B= ⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1A BD 1C O⇒ ⊥ 1A BD
1OH BD C H BD⊥ ⇒ ⊥ H D 1C DO∠ 11 CBDA −−
设 ,则 ,
既二面角 的大小为
【2013 新课标 1】18、(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,
∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明 AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直
线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。
【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , ,∵AB= , = ,∴ 是正
三角形,∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 , ∴
AB⊥ ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, ⊥AB,
又∵面 ABC⊥面 ,面 ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,∴EA,
EC, 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立
如图所示空间直角坐标系 ,由题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 =
(1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ), 设 = 是平面 的法向
量,
则 ,即 ,
可取 =( ,1,-1),
∴ = ,
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .
【2013 新课标 2】18.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,
BB1 的中点,AA1=AC=CB= .
(1)证明:BC1∥平面 A1CD;
(2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.
【答案】
(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,连
结 DF,则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.
AC a= 1
2
2
aC O = 1 1 12 2 30C D a C O C DO °= = ⇒ ∠ =
11 CBDA −− 30°
1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆
1A E 1CE A E∩ 1CEA
1AC
1EA
1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA
1EA x
O xyz− 1A 3 3
3 3 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C
3 0
3 0
x z
x y
+ =
+ =
n 3
10
5
10
5
2
2 AB
(2)由 AC=CB= 得,AC⊥BC.
以 C 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.
设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), =(1,1,0), =(0,2,1), =(2,0,2).
设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,
则 即 可取 n=(1,-1,-1).
同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 可取 m=(2,1,-2).
从而 cos〈n,m〉= ,故 sin〈n,m〉= .即二面角 D-A1C-E 的正弦值为
.
【2014 新课标 1】19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,
侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ )证明:AC=AB1;
(Ⅱ )若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角
A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.
【答案】
(1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO,∵侧面 BB1C1C
为菱形, ∴BC1⊥B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点,又 ∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO,
∵AO⊂平面 ABO,∴B1C⊥AO, 又 B1O=CO, ∴AC=AB1,
(2) ∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO,
又 ∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,
∴OA,OB,OB1 两两垂直,
以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,
的方向为 y 轴的正方向, 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1 为正三角形,又 AB=BC,
∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)
∴ =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),
设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,
2
2 AB
1 1
1 1
0,
2 2 0.
x y
x z
+ =
+ =
3
| || | 3
=·n m
n m
6
3
6
3
则 ,可取 =(1, , ),
同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ , ),
∴cos< , >= = , ∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为
【2014 新课标 2】18.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面
ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC;
(Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= ,求
三棱锥 E-ACD 的体积.
【答案】
(1)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO
因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点
又 E 为的 PD 的中点,所以 EO∥PB
EO 平面 AEC,PB 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC
(2)因为 PA 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直
如图,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向, 为单位长,建立空间直角坐标系,
则 A—xyz,则 D(0, ,0),则 E(0, , ), =(0, , )
设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, ,0)设 n(x,y,z)为平面 ACE
的法向量,则{ 即{
可取 =( ,-1, )又 =(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,
由题设 = ,即 = ,解得 m= 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的
高为 ,三棱锥 E-ACD 的体积为 V= =
3
⊂ ⊄
⊥
3 3
2
1
2
3
2
1
2
3
0
1 02
3
2
3mx y
y z
+ =
+ =
1n 3
m 3 1n
1 2cos( , )n n 1
2 2
3
3 4m+
1
2
3
2
1
2
1
3
× 1
2
× 3 × 3
2
× 1
2
3
8
【2015 新课标 1】(18)如图,四边形 ABCD 为菱形,
∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,
BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC
(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
【2015 新课标 2】如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC
= 10,AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点
E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。
D
D1 C1
A1
E
F
A B
C
B1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。
【答案】
【2016 新课标 1】18. 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶
点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ,
且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 .
(I)证明平面 ABEF EFDC;
(II)求二面角 E-BC-A 的余弦值.
【答案】(I) , ,
又 ,所以平面 ABEF EFDC;
(II)以 E 为坐标原点,EF,EB 分别为 x 轴和 y 轴建立空间直角坐标系(如图),设 ,
则 ,因为二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ,即 ,
易得 , , , ,
设平面 与平面 的法向量分别为 和 ,则
90AFD∠ =
60
⊥
,AF FE AF FD⊥ ⊥ AF FECD⊥ 面
AF ABFE⊆ 面 ⊥
2AF =
1FD = 60 60oEFD FEC∠ = ∠ =
(0,2,0)B (2,2,0)A 1 3( ,0, )2 2C
EBC ABCD
令 ,则 ,
由 ,
令 ,则 ,
,二面角 E-BC-A 余弦值 .
【2016 新课标 2】19. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, , ,点 E,
F 分别在 AD,CD 上, ,EF 交 BD 于点 H.将△
DEF 沿 EF 折到△ 的位置 .
(I)证明: 平面 ABCD;
(II)求二面角 的正弦值.
【答案】
⑴证明:∵ ,∴ ,∴ .
∵四边形 为菱形,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵ ,∴
;
又 , ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
∴ .又∵ , ∴ 面 .
⑵建立如图坐标系 . ,
, , ,
, ,
设面 法向量 ,
由 得 ,取
∴ .同理可得面 的法向量 ,
, ∴
5
4AE CF= = AE CF
AD CD
= EF AC∥
ABCD AC BD⊥ EF BD⊥ EF DH⊥ EF D H′⊥ 6AC =
3AO =
5AB = AO OB⊥ 4OB = 1AEOH ODAO
= ⋅ = 3DH D H′= = 2 2 2'OD OH D H′ = +
'D H OH⊥ OH EF H= 'D H ⊥ ABCD
H xyz− ( )5 0 0B , ,
( )1 3 0C , , ( )' 0 0 3D , , ( )1 3 0A −, ,
'ABD
4 3 0
3 3 0
x y
x y z
+ =
− + + =
3
4
5
x
y
z
=
= −
=
'AD C
2 95sin 25
θ =
1 1x = 1 1
30, 3y z= = −
2 2z = 2 2
30, 2x y= =
2 19
19
−
5AB = 6AC =
5
4AE CF= =
D EF′ 10OD′ =
D H′ ⊥
B D A C′− −
【2016 新课标 3】(19)如图,四棱锥 P-
ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB
=AD=AC=3,PA=BC=4,
M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为
PC 的中点。
(1)证明:MN∥平面 PAB
(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
【答案】
【2017 新课标 1】18. 如图,在四棱锥
P-ABCD 中,AB//CD,且 .
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC, ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
【答案】
(1)由已知 ,得 AB⊥AP,CD⊥PD.
由于 AB∥CD,故 AB⊥PD,从而 AB⊥平面 PAD.
又 AB 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)在平面 内做 ,垂足为 ,由(1)可知,
平面 ,故 ,可得 平面 .
以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,
建立如图所示的空间直角坐标系 。由(1)及已知可得
, , , ,
所以 , , ,
设 是平面 的法向量,则
,即 ,可取 .
设 是平面 的法向量,则
,即 ,可取 ,则 ,
90BAP CDP∠ = ∠ =
90APD∠ =
90BAP CDP∠ = ∠ = °
⊂
PAD PF AD⊥ F
AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD
F x
F xyz−
2( ,0,0)2A 2(0,0, )2P 2( ,1,0)2B 2( ,1,0)2C −
( , , )x y z=n PCB
2 2 02 2
2 0
x y z
x
− + − =
=
(0, 1, 2)= − −n
( , , )x y z=m PAB
2 2 02 2
0
x z
y
− =
=
(1,0,1)=n 3cos , | || | 3
⋅= = −< > n mn m n m
N
M D
B C
A
P z
y
x
N
M D
C
A
P
所以二面角 的余弦值为 。
【2017 新课标 2】19. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD,
E 是 PD 的中点.
(1)证明:直线 平面 PAB
(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为
,求二面角 M-AB-D 的余弦值
【答案】
(1)令 中点为 ,连结 , , .
∵ , 为 , 中点,∴ 为 的中位线,∴
.又∵ ,∴ ,又∵ ,∴ ,
∴ .∴四边形 为平行四边形,∴ ,又∵ ,∴
(2)以 中点 为原点,如图建立空间直角坐标系.设 ,
则 , , , , ,, .
在底面 上的投影为 ,∴ .∵ ,∴ 为等腰直角三角
形.
∵ 为直角三角形, ,∴ .
设 , ,
.∴ .
.
∴ .∴ ,
, .设平面 的法向量 .
,∴ , , .
设平面 的法向量为 , ,∴ .
∴二面角 的余弦值为 .
A PB C− − 3
3
−
o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ =
/ /CE
o45
PA F EF BF CE
E F PD PA EF PAD△
1
2EF AD∥ 90BAD ABC∠ = ∠ = ° BC AD∥ 1
2AB BC AD= = 1
2BC AD∥
EF BC∥ BCEF CE BF∥ BF PAB⊂ 面 CE PAB面∥
AD O 1AB BC= =
(0 0 0)O , , (0 1 0)A −, , (1 1 0)B −, , (1 0 0)C , , (0 1 0)D , , (0 0 3)P , ,
M ABCD M ′ MM BM′ ′⊥ 45MBM ′∠ = ° MBM ′△
POC△ 3
3OC OP= 60PCO∠ = °
MM a′ = 3
3CM a′ =
31 3OM a′ = − 31 0 03M a
′ −
, ,
2
2 2 23 1 61 0 13 3 2BM a a a a
′ = + + = + = ⇒ =
3 21 13 2OM a′ = − = − 21 0 02M
′ −
, , 2 61 02 2M
−
, ,
ABM
1 1
6 02y z+ =
ABD
M AB D− − 10
5
z
y
x
M'
M
O
F
P
A
B C
D
E
【2017新课标3】19. 如图,四面体 中, 是正三角形, 是直角三角
形. , .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)过 的平面交 于点 ,若平面 把四面体
分成体积相等的两部分.求二面角 的余弦
值.
【解析】⑴取 中点为 ,连接 , ;
为等边三角形 ∴ ∴
.
∴ ,即 为等腰直角三角形, 为直角又 为底边 中点 ∴
令 ,则 ,易得: ,
∴ ,由勾股定理的逆定理可得 ,
即
又∵ ,
由面面垂直的判定定理可得
⑵由题意可知 ,即 , 到平面 的距离相等,即 为 中点,以 为原点,
为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向,设 ,建立空间直角坐标系,
则 , , , ,
易得: , ,
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,
则 ,解得 ,解得
若二面角 为 ,易知 为锐角,则
ABCD △ABC △ACD
AB BD=
ABC
AC BD E AEC
ABCD D AE C- -
AC O BO DO
∵ ∆ABC BO AC⊥ AB BC=
AB BC
BD BD
ABD DBC
=
=
∠ = ∠
ABD CBD∴∆ ≅ ∆
AD CD= ACD∆ ADC∠ O AC DO AC⊥
AB a= AB AC BC BD a= = = = 2
2OD a= 3
2OB a=
2 2 2OD OB BD+ =
2DOB
π∠ =
OD OB⊥
OD ⊥ AC
OD ⊥ OB
AC ∩OB = O
AC ⊂ ABC
OB ⊂ ABC
OD ABC∴ ⊥ 平面 OD ADC⊂ 平面
ADC ABC⊥平面 平面
V VD ACE B ACE− −= B D ACE E BD O
x y z AC a=
( )0,0,0O ,0,02
aA
0,0, 2
aD
30, ,02B a
30, ,4 4
aE a
AED AEC
D AE C− − θ θ
D
A
B
C E
O
D
A
B
C E
y
x
O
z
【2018 新课标 1】18. 如图,四边形 为正方形,
, 分别为 , 的中点,以 为折痕把
折起,使点 到达点 的位置,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以 BF⊥平面 PEF.
又 平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
(2)作 PH⊥EF,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面
ABFD.
以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向, 为单位
长,建立如图所示的空间直角坐标系 H−xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= .
又 PF=1,EF=2,故 PE⊥PF.可得 .
则 为平面 ABFD 的法向
量.
设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 .
所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .
【2018 新课标 2】20. 如图,在三棱锥 中,
, , 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求
与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1)因为 , 为 的中点,所以
,且 .
连结 ,因为 ,所以 为等腰直角三角形,
且 , . 由
知 .由 知 平面 .
(2)如图,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立
ABCD
E F AD BC DF
DFC△ C P PF BF⊥
PEF ⊥ ABFD
DP ABFD
BF ⊂
3
3 3,2 2PH EH= =
θ
3
4
P ABC−
2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC
PO ⊥ ABC
M BC M PA C− − 30°
PC PAM
4AP CP AC= = = O AC
OP AC⊥ 2 3OP =
OB 2
2AB BC AC= = ABC△
OB AC⊥ 1 22OB AC= = 2 2 2OP OB PB+ =
PO OB⊥ ,OP OB OP AC⊥ ⊥ PO ⊥ ABC
O x
P
A O C
B M
空间直角坐标系 .
由已知得:
取平面 的法向量 .
设 ,则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ,可取 ,
所以 .由已知得 .
所以 .解得 (舍去), .
所以 .又 ,所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
【2018 新课标 3】19. 如图,边长为 2 的正方形 所在平面与
半圆弧 所在平面垂直, 是 上异于 , 的点.
(1)证明:平面 平面 ;
(2)当三棱锥 体积最大时,求面 与面 所成二
面角的正弦值.
【解析】
(1)由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以
BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM.
因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC.
而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz.
当三棱锥 M−ABC 体积最大时,M 为 的中点.
由题设得:
,
设 是平面 MAB 的法向量,则
即 可取 .
⊂
CD
⊂
CD
(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,1,1)D A B C M
( , , )x y z=n
2 0,
2 0.
x y z
y
− + + =
= (1,0,2)=n
O xyz−
O(0,0,0),B(2,0,0), A(0,−2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3)
PAC
( ,2 ,0)(0 2)M a a a− < ≤
PAM ( , , )x y z=n
2 2 3 0
(4 ) 0
y z
ax a y
+ = + − =
( 3( 4), 3 , )a a a= − −n
2 2 2
2 3 | 4| 3= 22 3( 4) 3
a
a a a
−
− + + 4a = − 4
3a =
8 3 4 3 4( , , )3 3 3
= − −n
PC PAM 3
4
ABCD
CD M CD C D
AMD⊥ BMC
M ABC− MAB MCD
是平面 MCD 的法向量,因此 , ,
所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5
5