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  • 2021-05-13 发布

2011-2018高考数学立体几何分类汇编理

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2011-2018 新课标(理科)立体几何分类汇编 一、选填题 【2012 新课标】(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗线 画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B ) 【解析】选 。该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 ,此几 何体的体积为 【2012 新课标】(11)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上, 是边长为 的正三角形, 为球 的直径,且 ;则此棱锥的体积为( A ) 【解析】 的外接圆的半径 ,点 到面 的距离 , 为球 的直径 点 到面 的距离为 此棱锥的体积为 另: 排除 【2013 新课标 1】6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容 器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰 好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( A ) A、500π 3 cm3 B、866π 3 cm312 C、1372π 3 cm3 D、2048π 3 cm3 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距离为 R-2,则 ,解得 R=5,∴球的体积为 =500π 3 ,故选 A. 【2013 新课标 1】8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体 积为( A ) A、16+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π 1 ( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18 B 3 1 1 6 3 3 93 2V = × × × × = S ABC− O ABC∆ 1 SC O 2SC = ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 ABC∆ 3 3r = O ABC 2 2 6 3d R r= − = SC O ⇒ S ABC 2 62 3d = 1 1 3 2 6 223 3 4 3 6ABCV S d∆= × = × × = 1 323 6ABCV S R∆< × = , ,B C D 2 2 2( 2) 4R R= − + 34 5 3 π × 3cm 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽 为 2 高为 2 长方体,故其体积为 = ,故选 . 【2013 新课标 2】4. 已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l α,l β,则( D  ). A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 【解析】因为 m⊥α,l⊥m,l α,所以 l∥α.同理可得 l∥β。又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D. 【2013 新课标 2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为(  A ). 【解析】如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像如 图: 【2014 新课标 1】12. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出 的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( B   ) A、6 B、6 C、4 D、4 【解析】几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD 的中点的距离为:4, ,AC= =6,AD=4 ,显然 AC 最长。 【2014 新课标 2】6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm), 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为( C  ) A.17 27 B.5 9 C.10 27 D.1 3 【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为 π×32×2+ π×22×4=34π(cm3),原毛坯的体积为 π×32×6=54π(cm3),切削掉部分的体积为 54π-34π= 20π(cm3),故所求的比值为20π 54π =10 27 。 21 2 4 4 2 22 π × × + × × 16 8π+ A 【2014 新课标 2】11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(  C ) A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 【解析】如图,E 为 BC 的中点.由于 M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,故 MN∥B1C1 且 MN=1 2 B1C1,故 MN 綊 BE,所以四边形 MNEB 为平行四边形,所以 EN 綊 BM, 所以直线 AN,NE 所成的角即为直线 BM,AN 所成的角.设 BC=1,则 B1M=1 2B1A1= 2 2 ,所以 MB= 1+1 2 = 6 2 =NE,AN=AE= 5 2 ,在△ANE 中,根据余弦定理得 cos ∠ANE= 30 10 。 【2015 新课标 1】6.《九章算术》是我国古代 内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆 底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为 多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆 放斛的米约有( B ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【2015 新课标 1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后 与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20π,则 r=( B ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 【2015 新课标 2】(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】由三视图得,在正方体 中,截去四面体 ,如图所示,,设正方 体棱长为 ,则 ,故剩余几何体体积为 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 8 1 7 1 6 1 5 1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1A A B D− a 1 1 1 3 31 1 1 3 2 6A A B DV a a− = × = 3 3 31 5 6 6a a a− = 5 1 C BA D D1 C1 B1 A1 【2015 新课标 2】(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为 该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面 积为( C ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 的直径端点时,三棱锥 的体积最大,设球 的半径为 ,此时 ,故 ,则球 的表面 积为 ,故选 C. 【2016 新课标 1】(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( A ) (A) (B) (C) (D) 【解析】该几何体为球体,从球心挖掉整个球的 (如右图所示),故 解得 , 。 【2016 新课标 1】(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为( A ) (A) (B) (C) (D) 【详细解答】令平面 a 与平面 CB1D1 重合,则 m = B1 D1,n= CD1 故直线 m、n 所成角为 ,正弦值为 【2016 新课标 2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视 图,则该几何体的表面积为( C ) (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π 【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为 ,周 长为 ,圆锥母线长为 ,圆柱高为 .由图得 , ,由 勾股定理得: 【2016 新课标 2】14. , 是两个平面,m,n 是两条线,有下列四个命题: ①如果 , , ,那么 。②如果 , ,那么 . ③如果 , ,那么 。 ④如果 , ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相 AOB O ABC− O R 2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R− −= = × × = = 6R = O 24 144S Rπ π= = r c l h 2r = 2π 4πc r= = ( )222 2 3 4l = + = 2 1π 2S r ch cl= + +表 4π 16π 8π= + + 28π= 28 3 π 17π 18π 20π 28π 1 8 34 7 28 3 8 3r ππ = 2r = 2 27 14 3 178 4S r rπ π π∴ = ⋅ + ⋅ = a ∩ a ∩ 3 2 2 2 3 3 1 3 60o 3 2 α β m n⊥ m α⊥ n β∥ α β⊥ m α⊥ n α∥ m n⊥ a β∥ m α⊂ m β∥ m n∥ α β∥ α β B O A C 等. 其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号) 【2016 新课标 3】9. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的的是某多面体的三视 图,则该多面体的表面积为( B ) (A)18+36 5 (B)54+18 5 (C)90 (D)81 【2016 新课标 3】10. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA13,则 V 的最大值是( B ) (A)4π (B)9π 2 (C)6π (D)32π 3 【2017 新课标 1】7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由 正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( B ) A.10 B.12 C.14 D.16 【2017 新课标 1】16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的 等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC, CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折 痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为____ ___。 【2017 新课标 2】4. 如图,网格纸上小正方形 的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视 图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何 体的体积为( B ) A. B. C. D. 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半。 【2017 新课标 2】10.已知直三棱柱 中, , , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为( C ) A. B. C. D. 【解析】 , , 分别为 , , 中点,则 , 夹角为 和 夹角或其补 角(异面线所成角为 ) 90π 63π 42π 36π 4 15 2 21 1π 3 10 π 3 6 63π2 2 = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =V V V总 上 1 1 1C CΑΒ − Α Β C 120∠ΑΒ =  2ΑΒ = 1C CC 1Β = = 1 ΑΒ 1CΒ 3 2 15 5 10 5 3 3 M N P AB 1BB 1 1B C 1AB 1BC MN NP π0 2     , 可知 , ,作 中点 ,则可知 为直角三角形. , , 中, , ,则 ,则 中, , 则 中, 又异面线所成角为 ,则余弦值为 。 【2017新课标3】8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( B ) A. B. C. D. 【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径 ,则圆柱体体积 ,故选B. 【2017新课标3】16. , 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 , 都垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线 与 成 角时, 与 成 角; ②当直线 与 成 角时, 与 成 角; ③直线 与 所成角的最小值为 ; ④直线 与 所成角的最大值为 .其中正确的是___②③_____(填写所有正确结论的编号) 【解析】由题意知, 三条直线两两相互垂直,画出图形如图. 不妨设图中所示正方体边长为1,故 , ,斜边 以直线 为旋转轴旋转,则 点保持不变, 点的运动轨迹是以 为圆心,1为半径的圆。以 为坐标原点,以 为 轴 正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立空间直角坐标 系. 则 , ,直线 的方向单位向量 , , 点起始坐标为 , 直线 的方向单位向量 , ,设 点在运动过程中的 坐标 , 其中 为 与 的夹角, 。 那么 在运动过程中的向量 , . 设 与 所成夹角为 ,则 . 1 1 5 2 2MN AB= = 1 1 2 2 2NP BC= = BC Q PQM△ 1=PQ 1 2MQ AC= ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ = 4 +1− 2× 2×1⋅ − 1 2     = 7 7=AC 7 2MQ = MQP△ 2 2 11 2MP MQ PQ= + = PMN△ 2 2 2 cos 2 MN NP PMPNM MH NP + −∠ = ⋅ ⋅ 2 2 2 5 2 11 2 2 2 10 55 22 2 2      + −               = = − ⋅ ⋅ π0 2     , 10 5 π 3π 4 π 2 π 4 2 2 1 31 2 2r  = − =   2 3ππ 4V r h= = a b ABC AC a b AB AC AB a 60° AB b 30° AB a 60° AB b 60° AB a 45° AB a 60° a b AC、 、 | | 1AC = 2AB = AB AC A B C C x y z (1,0,0)D (0,0,1)A a B (0,1,0) b B (cos ,sin ,0)B θ θ′ θ B C′ CD [0,2π)θ ∈ 'AB π[0, ]2 α ∈ 故 ,所以③正确,④错误.设 与 所成夹角为 , . 当 与 夹角为 时,即 , . ∵ ,∴ ,∴ . ∵ ,∴ ,此时 与 夹角为 ,∴②正确,①错误. 【2018 新课标 1】7.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如 右图所示,圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱表面上 的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的 路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【2018 新课标 1】12.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【2018 新课标 2】9.在长方体 中, , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【2018 新课标 2】16.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 所成角的余弦值为 , 与圆锥底 面所成角为 45°,若 的面积为 ,则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】 【2018 新课标 3】3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件 的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是 棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 【答案】A 【2018 新课标 3】10.设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, 为等边三角 形且其面积为 ,则三棱锥 体积的最大值为( ) π π[ , ]4 2 α ∈ π[0, ]2 β ∈ 60° π 3 α = 1 2sin 2 cos 2 cos 23 2 2 πθ α= = = = 2 2cos sin 1θ θ+ = 2| cos | 2 θ = 2 1cos | cos |2 2 β θ= = π[0, ]2 β ∈ π= 3 β AB′ b 60° M A N B M N 2 17 2 5 3 α α 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 S SA SB 7 8 SA SAB△ 5 15 40 2π A B C D, , , ABC∆ 9 3 D ABC− A. B. C. D. 【答案】B 二、解答题 【2011 新课标】 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 【答案】 (Ⅰ)因为 , 由余弦定理得 ,从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD 又 PD 底面 ABCD,可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 轴的正半轴建立空间直角坐标 系 D- ,则 , , , 。 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 即 因此可取 n= 设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m= (0,-1, ) 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 【2012 新课标】19. 如图,直三棱柱 中, , 是棱 的中点, (1)证明: (2)求二面角 的大小。 【答案】(1)在 中, 得: 同理: 得: 面 (2) 面 取 的中点 ,过点 作 于点 ,连接 ,面 面 面 得:点 与点 重合 且 是二面角 的平面角 12 3 18 3 24 3 54 3 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ x xyz ( )1,0,0A ( )0 3,0B , ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P 3 0 3 0 x y y z − + = − = ( 3,1, 3) 0 0 m PB m BC ⋅ = ⋅ =   3− 4 2 7cos , 72 7 m n −= = − 2 7 7 − 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1 BCDC ⊥1 11 CBDA −− Rt DAC∆ AD AC= 45ADC °∠ = 1 1 145 90A DC CDC° °∠ = ⇒ ∠ = 1 1 1,DC DC DC BD DC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1BCD DC BC⇒ ⊥ 1 1,DC BC CC BC BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1 1ACC A BC AC⇒ ⊥ 1 1A B O O OH BD⊥ H 1 1,C O C H 1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B= ⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1A BD 1C O⇒ ⊥ 1A BD 1OH BD C H BD⊥ ⇒ ⊥ H D 1C DO∠ 11 CBDA −− 设 ,则 , 既二面角 的大小为 【2013 新课标 1】18、(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BAA1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直 线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , ,∵AB= , = ,∴ 是正 三角形,∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 , ∴ AB⊥ ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ,面 ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,∴EA, EC, 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立 如图所示空间直角坐标系 ,由题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 = (1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ), 设 = 是平面 的法向 量, 则 ,即 , 可取 =( ,1,-1), ∴ = , ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . 【2013 新课标 2】18.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB, BB1 的中点,AA1=AC=CB= . (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 【答案】 (1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,连 结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. AC a= 1 2 2 aC O = 1 1 12 2 30C D a C O C DO °= = ⇒ ∠ = 11 CBDA −− 30° 1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1A E 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA x O xyz− 1A 3 3 3 3 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 10 5 10 5 2 2 AB (2)由 AC=CB= 得,AC⊥BC. 以 C 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), =(1,1,0), =(0,2,1), =(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, 则 即 可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 可取 m=(2,1,-2). 从而 cos〈n,m〉= ,故 sin〈n,m〉= .即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 . 【2014 新课标 1】19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ )证明:AC=AB1; (Ⅱ )若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值. 【答案】 (1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO,∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴BC1⊥B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点,又 ∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO, ∵AO⊂平面 ABO,∴B1C⊥AO, 又 B1O=CO, ∴AC=AB1, (2) ∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO, 又 ∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB, ∴OA,OB,OB1 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度, 的方向为 y 轴的正方向, 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系, ∵∠CBB1=60°,∴△CBB1 为正三角形,又 AB=BC, ∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0) ∴ =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0), 设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量, 2 2 AB 1 1 1 1 0, 2 2 0. x y x z + =  + = 3 | || | 3 =·n m n m 6 3 6 3 则 ,可取 =(1, , ), 同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ , ), ∴cos< , >= = , ∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 【2014 新课标 2】18.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= ,求 三棱锥 E-ACD 的体积. 【答案】 (1)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点,所以 EO∥PB EO 平面 AEC,PB 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC (2)因为 PA 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向, 为单位长,建立空间直角坐标系, 则 A—xyz,则 D(0, ,0),则 E(0, , ), =(0, , ) 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, ,0)设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量,则{ 即{ 可取 =( ,-1, )又 =(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 由题设 = ,即 = ,解得 m= 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的 高为 ,三棱锥 E-ACD 的体积为 V= = 3 ⊂ ⊄ ⊥ 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 0 1 02 3 2 3mx y y z + = + = 1n 3 m 3 1n 1 2cos( , )n n 1 2 2 3 3 4m+ 1 2 3 2 1 2 1 3 × 1 2 × 3 × 3 2 × 1 2 3 8 【2015 新课标 1】(18)如图,四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 【2015 新课标 2】如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 D D1 C1 A1 E F A B C B1 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。 【答案】 【2016 新课标 1】18. 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶 点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, , 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 . (I)证明平面 ABEF EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】(I) , , 又 ,所以平面 ABEF EFDC; (II)以 E 为坐标原点,EF,EB 分别为 x 轴和 y 轴建立空间直角坐标系(如图),设 , 则 ,因为二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ,即 , 易得 , , , , 设平面 与平面 的法向量分别为 和 ,则 90AFD∠ =  60 ⊥ ,AF FE AF FD⊥ ⊥ AF FECD⊥ 面 AF ABFE⊆ 面 ⊥ 2AF = 1FD = 60 60oEFD FEC∠ = ∠ = (0,2,0)B (2,2,0)A 1 3( ,0, )2 2C EBC ABCD 令 ,则 , 由 , 令 ,则 , ,二面角 E-BC-A 余弦值 . 【2016 新课标 2】19. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, , ,点 E, F 分别在 AD,CD 上, ,EF 交 BD 于点 H.将△ DEF 沿 EF 折到△ 的位置 . (I)证明: 平面 ABCD; (II)求二面角 的正弦值. 【答案】 ⑴证明:∵ ,∴ ,∴ . ∵四边形 为菱形,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵ ,∴ ; 又 , ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ , ∴ .又∵ , ∴ 面 . ⑵建立如图坐标系 . , , , , , , 设面 法向量 , 由 得 ,取 ∴ .同理可得面 的法向量 , , ∴ 5 4AE CF= = AE CF AD CD = EF AC∥ ABCD AC BD⊥ EF BD⊥ EF DH⊥ EF D H′⊥ 6AC = 3AO = 5AB = AO OB⊥ 4OB = 1AEOH ODAO = ⋅ = 3DH D H′= = 2 2 2'OD OH D H′ = + 'D H OH⊥ OH EF H= 'D H ⊥ ABCD H xyz− ( )5 0 0B , , ( )1 3 0C , , ( )' 0 0 3D , , ( )1 3 0A −, , 'ABD 4 3 0 3 3 0 x y x y z + = − + + = 3 4 5 x y z =  = −  = 'AD C 2 95sin 25 θ = 1 1x = 1 1 30, 3y z= = − 2 2z = 2 2 30, 2x y= = 2 19 19 − 5AB = 6AC = 5 4AE CF= = D EF′ 10OD′ = D H′ ⊥ B D A C′− − 【2016 新课标 3】(19)如图,四棱锥 P- ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB =AD=AC=3,PA=BC=4, M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点。 (1)证明:MN∥平面 PAB (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 【答案】 【2017 新课标 1】18. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【答案】 (1)由已知 ,得 AB⊥AP,CD⊥PD. 由于 AB∥CD,故 AB⊥PD,从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)在平面 内做 ,垂足为 ,由(1)可知, 平面 ,故 ,可得 平面 . 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 。由(1)及已知可得 , , , , 所以 , , , 设 是平面 的法向量,则 ,即 ,可取 . 设 是平面 的法向量,则 ,即 ,可取 ,则 , 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  90BAP CDP∠ = ∠ = ° ⊂ PAD PF AD⊥ F AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD F x F xyz− 2( ,0,0)2A 2(0,0, )2P 2( ,1,0)2B 2( ,1,0)2C − ( , , )x y z=n PCB 2 2 02 2 2 0 x y z x − + − =  = (0, 1, 2)= − −n ( , , )x y z=m PAB 2 2 02 2 0 x z y  − =  = (1,0,1)=n 3cos , | || | 3 ⋅= = −< > n mn m n m N M D B C A P z y x N M D C A P 所以二面角 的余弦值为 。 【2017 新课标 2】19. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD, E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 平面 PAB (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ,求二面角 M-AB-D 的余弦值 【答案】 (1)令 中点为 ,连结 , , . ∵ , 为 , 中点,∴ 为 的中位线,∴ .又∵ ,∴ ,又∵ ,∴ , ∴ .∴四边形 为平行四边形,∴ ,又∵ ,∴ (2)以 中点 为原点,如图建立空间直角坐标系.设 , 则 , , , , ,, . 在底面 上的投影为 ,∴ .∵ ,∴ 为等腰直角三角 形. ∵ 为直角三角形, ,∴ . 设 , , .∴ . . ∴ .∴ , , .设平面 的法向量 . ,∴ , , . 设平面 的法向量为 , ,∴ . ∴二面角 的余弦值为 . A PB C− − 3 3 − o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ = / /CE o45 PA F EF BF CE E F PD PA EF PAD△ 1 2EF AD∥ 90BAD ABC∠ = ∠ = ° BC AD∥ 1 2AB BC AD= = 1 2BC AD∥ EF BC∥ BCEF CE BF∥ BF PAB⊂ 面 CE PAB面∥ AD O 1AB BC= = (0 0 0)O , , (0 1 0)A −, , (1 1 0)B −, , (1 0 0)C , , (0 1 0)D , , (0 0 3)P , , M ABCD M ′ MM BM′ ′⊥ 45MBM ′∠ = ° MBM ′△ POC△ 3 3OC OP= 60PCO∠ = ° MM a′ = 3 3CM a′ = 31 3OM a′ = − 31 0 03M a  ′ −    , , 2 2 2 23 1 61 0 13 3 2BM a a a a  ′ = + + = + = ⇒ =    3 21 13 2OM a′ = − = − 21 0 02M  ′ −    , , 2 61 02 2M  −    , , ABM 1 1 6 02y z+ = ABD M AB D− − 10 5 z y x M' M O F P A B C D E 【2017新课标3】19. 如图,四面体 中, 是正三角形, 是直角三角 形. , . (1)证明:平面 平面 ; (2)过 的平面交 于点 ,若平面 把四面体 分成体积相等的两部分.求二面角 的余弦 值. 【解析】⑴取 中点为 ,连接 , ; 为等边三角形 ∴ ∴ . ∴ ,即 为等腰直角三角形, 为直角又 为底边 中点 ∴ 令 ,则 ,易得: , ∴ ,由勾股定理的逆定理可得 , 即 又∵ , 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由题意可知 ,即 , 到平面 的距离相等,即 为 中点,以 为原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向,设 ,建立空间直角坐标系, 则 , , , , 易得: , , 设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 , 则 ,解得 ,解得 若二面角 为 ,易知 为锐角,则 ABCD △ABC △ACD AB BD= ABC AC BD E AEC ABCD D AE C- - AC O BO DO ∵ ∆ABC BO AC⊥ AB BC= AB BC BD BD ABD DBC =  = ∠ = ∠ ABD CBD∴∆ ≅ ∆ AD CD= ACD∆ ADC∠ O AC DO AC⊥ AB a= AB AC BC BD a= = = = 2 2OD a= 3 2OB a= 2 2 2OD OB BD+ = 2DOB π∠ = OD OB⊥ OD ⊥ AC OD ⊥ OB AC ∩OB = O AC ⊂ ABC OB ⊂ ABC         OD ABC∴ ⊥ 平面 OD ADC⊂ 平面 ADC ABC⊥平面 平面 V VD ACE B ACE− −= B D ACE E BD O x y z AC a= ( )0,0,0O ,0,02 aA     0,0, 2 aD     30, ,02B a       30, ,4 4 aE a       AED AEC D AE C− − θ θ D A B C E O D A B C E y x O z 【2018 新课标 1】18. 如图,四边形 为正方形, , 分别为 , 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置,且 . (1)证明:平面 平面 ; (2)求 与平面 所成角的正弦值. 【解析】 (1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以 BF⊥平面 PEF. 又 平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD. (2)作 PH⊥EF,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向, 为单位 长,建立如图所示的空间直角坐标系 H−xyz. 由(1)可得,DE⊥PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= . 又 PF=1,EF=2,故 PE⊥PF.可得 . 则 为平面 ABFD 的法向 量. 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 . 【2018 新课标 2】20. 如图,在三棱锥 中, , , 为 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角的正弦值. 【解析】 (1)因为 , 为 的中点,所以 ,且 . 连结 ,因为 ,所以 为等腰直角三角形, 且 , . 由 知 .由 知 平面 . (2)如图,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,建立 ABCD E F AD BC DF DFC△ C P PF BF⊥ PEF ⊥ ABFD DP ABFD BF ⊂ 3 3 3,2 2PH EH= = θ 3 4 P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC M PA C− − 30° PC PAM 4AP CP AC= = = O AC OP AC⊥ 2 3OP = OB 2 2AB BC AC= = ABC△ OB AC⊥ 1 22OB AC= = 2 2 2OP OB PB+ = PO OB⊥ ,OP OB OP AC⊥ ⊥ PO ⊥ ABC O x P A O C B M 空间直角坐标系 . 由已知得: 取平面 的法向量 . 设 ,则 . 设平面 的法向量为 . 由 得 ,可取 , 所以 .由已知得 . 所以 .解得 (舍去), . 所以 .又 ,所以 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 【2018 新课标 3】19. 如图,边长为 2 的正方形 所在平面与 半圆弧 所在平面垂直, 是 上异于 , 的点. (1)证明:平面 平面 ; (2)当三棱锥 体积最大时,求面 与面 所成二 面角的正弦值. 【解析】 (1)由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以 BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM. 因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DM⊥CM. 又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC. (2)以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz. 当三棱锥 M−ABC 体积最大时,M 为 的中点. 由题设得: , 设 是平面 MAB 的法向量,则 即 可取 . ⊂ CD  ⊂ CD (0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,1,1)D A B C M ( , , )x y z=n 2 0, 2 0. x y z y − + + =  = (1,0,2)=n O xyz− O(0,0,0),B(2,0,0), A(0,−2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3) PAC ( ,2 ,0)(0 2)M a a a− < ≤ PAM ( , , )x y z=n 2 2 3 0 (4 ) 0 y z ax a y  + = + − = ( 3( 4), 3 , )a a a= − −n 2 2 2 2 3 | 4| 3= 22 3( 4) 3 a a a a − − + + 4a = − 4 3a = 8 3 4 3 4( , , )3 3 3 = − −n PC PAM 3 4 ABCD CD M CD C D AMD⊥ BMC M ABC− MAB MCD 是平面 MCD 的法向量,因此 , , 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5