一轮特效提高2014高考总复习理数题库54平面向量的应用 10页

‎5.4 平面向量的应用 一、选择题 ‎1. 如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是(　　)．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ A. B.2 C. D.3‎ 答案　A ‎2．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)．‎ A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析　△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.‎ 答案　C ‎3. 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是(　　)‎ A．－2‎ B．－1‎ C．2‎ D．无法确定，与C点位置有关 解析 (＋)·＝2·＝－2.‎ 答案　A ‎4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)．‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)‎ ‎＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.‎ 即y2＝x＋6.‎ 答案　D ‎5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)．[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ ‎ A．3 B. C．2 D. 解析　(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.‎ 答案　B ‎【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以f(xy,x＋y)的值不随M、N的位置变化而变化.‎ ‎6．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的 (　　)．[来源:学§科§网]‎ A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 解析　因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·得，·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．‎ 答案　C ‎7.已知平面上三点A、B、C满足||＝6，||＝8，||＝10，则·＋·＋·的值等于(　　)[来源:Z。xx。k.Com]‎ A．100 B．96‎ C．－100 D．－96‎ 解析：∵||＝6，||＝8，||＝10，‎ ‎62＋82＝102.‎ ‎∴△ABC为Rt△.‎ 即·＝0.‎ ‎·＋·＋·‎ ‎＝ (＋)＝·＝－||2＝－100.‎ 答案：C 二、填空题 ‎8.如图,在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .‎ 答案 18‎ ‎9. △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．‎ 解析 ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，‎ ‎∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.‎ ‎∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.‎ 答案 3‎ ‎10．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．‎ 解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝‎4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，‎ ‎∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－‎2a·b＝3，∴|a－b|＝.‎ 答案　 ‎11．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．‎ 解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.‎ 答案：4‎ ‎12．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.‎ 解析　(构造法)∵等边三角形的边长为2，‎ ‎∴如图建立直角坐标系，‎ ‎∴＝(，－3)，‎ ＝(－，－3)，‎ ‎∴＝＋＝.‎ ‎∴＝＋ ‎＝(0,3)＋＝.‎ ‎∴·＝·＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．‎ 三、解答题 ‎13．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点 ‎(1) ·＝－，求sin 2θ的值．‎ ‎(2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．‎ 解析：(1) ＝(cos θ，sin θ)－(2,0)‎ ‎＝(cos θ－2，sin θ)‎ ‎＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)．‎ ‎·＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)‎ ‎＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ ‎＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－.‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－1＝－.‎ ‎(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∴|＋|＝＝.‎ 即4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7.‎ ‎∴4cos θ＝2，即cos θ＝.‎ ‎∵－π<θ<0，∴θ＝－.‎ 又∵＝(0,2)，＝，‎ ‎∴cos 〈，〉＝＝＝－.‎ ‎∴〈，〉＝.‎ ‎14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝k(k∈R)．‎ ‎(1)判断△ABC的形状；‎ ‎(2)若c＝，求k的值．‎ 解析　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，‎ 又·＝·，∴bccos A＝accos B，‎ ‎∴sin Bcos A＝sin Acos B，‎ 即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，‎ ‎∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，‎ ‎∵c＝，∴k＝1.‎ ‎15．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．‎ ‎(1)若x＝，求向量a与c的夹角；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)＝‎2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．‎ 解析　(1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，‎ cos θ＝＝ ‎＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎(2)f(x)＝‎2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，‎ 故sin∈，∴当2x－＝，‎ 即x＝时，f(x)max＝1.‎ ‎16．已知向量m＝，n＝.‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(‎2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．[来源:学科网ZXXK]‎ 解析　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin ＋，‎ ‎∵m·n＝1，∴sin＝.‎ cos＝1－2sin2＝，‎ cos＝－cos＝－.‎ ‎(2)∵(‎2a－c)cos B＝bcos C，‎ 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.‎ ‎∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.‎ ‎∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，sin∈.‎ 又∵f(x)＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.‎ 故函数f(A)的取值范围是.‎