高考数学圆锥曲线习题版 17页

高中数学圆锥曲线经典题型 椭圆 一、选择题： 1.已知椭圆方程 2 2 14 3 x y  ,双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点, 则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 2．双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1，F2，渐近线分别为 1 2,l l ，点 P 在第 一象 限内且在 1l 上，若 2l ⊥PF1， 2l //PF2，则双曲线的离心率是 （ ） A． 5 B．2 C． 3 D． 2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点 1( ,0)F c ，右焦点 2 ( ,0)F c ，渐近线 1 : bl y xa  ， 2 : bl y xa   ，因为点 P 在第 一象限内且在 1l 上，所以设 0 0 0( , ), 0P x y x  ，因为 2l ⊥PF1，2l //PF2，所以 1 2PF PF ，即 1 2 1 2OP F F c  ， 即 2 2 2 0 0x y c  ，又 0 0 by xa  ，代入得 2 2 2 0 0( )bx x ca   ，解得 0 0,x a y b  ，即 ( , )P a b 。所以 1PF bk a c   ， 2l 的 斜 率 为 b a  ， 因 为 2l ⊥ PF1 ， 所 以 ( ) 1b b a c a     ， 即 2 2 2 2( )b a a c a ac c a      ，所以 2 22 0c ac a   ，所以 2 2 0e e   ，解得 2e  ，所以双曲线 的离心率 2e  ，所以选 B. 3．已知双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 的一条渐近线的斜率为 2 ，且右焦点与抛物线 xy 342  的焦 点重合，则该双曲线的离心率等于 A． 2 B． 3 C．2 D．2 3 4.抛物线 24y x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 A. 7 8 B. 15 16 C. 3 4 D.0 5.抛物线 2 12y x  的准线与双曲线 2 2 19 3 x y  的两渐近线围成的三角形的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 2 D.3 3 【答案】D 【解析】抛物线 2 12y x  的准线为 3x  ，双曲线 2 2 19 3 x y  的两渐近线为 3 3y x 和 3 3y x  ， 令 3x  ，分别解得 1 23, 3y y   ，所以三角形的低为 3 ( 3) 2 3   ，高为 3，所以三角形的 面积为 1 2 3 3 3 32    ，选 D. 6.过抛物线 xy 42  的焦点作一条直线与抛物线相交于 BA, 两点,它们到直线 2x 的距离之和等于 5, 则这样的直线 A．有且仅有一条 B．有 且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 7.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线均与 2 2: 6 5 0C x y x    相切，则该双曲线离心 率等于 A． 3 5 5 B． 6 2 C． 3 2 D． 5 5 8.已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点分别为 )0,(),0, 21 cFcF （ ，若椭圆上存在点 P 使 1221 sinsin FPF c FPF a  ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.（0， ）12  B.（ 12 2 ，） C.（0， 2 2 ） D.（ 12  ，1） 9. 过 椭 圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  ) 的 左 焦 点 1F 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P ， 2F 为 右 焦 点 ， 若 1 2 60F PF   ，则椭圆的离心率为 （ ） A． 2 2 B． 3 3 C． 1 2 D． 1 3 二、填空题： 10.若圆 C 以抛物线 2 4y x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为 6，则该圆的标准方程 是 ； 11.设 F 是抛物线 C1： 2 4y x 的焦点，点 A 是抛物线与双曲线 C2： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b   ＞ ＞ 的一条渐近线 的一个公共点，且 AF x 轴，则双曲线的离心率为 【答案】 5 【解析】抛物线的焦点为 (1,0)F .双曲线的渐近线为 by xa   ，不妨取 by xa  ，因为 AF x ，所以 1Ax  ，所以 2Ay   ，不妨取 (1,2)A ，又因为点 (1,2)A 也在 by xa  上，所以 2b a  ，即 2b a ，所以 2 2 2 24b a c a   ，即 2 25c a ，所以 2 5e  ，即 5e  ，所以双曲线的离心率为 5 。 12.已知双曲线的方程为 2 2 116 9 x y  ，则双曲线的离心率是 . 13.若焦点在 x 轴上的椭圆 12 22  m yx 的离心率为 2 1 ，则 m = . 【答案】 2 3 【解析】因为焦点在 x 轴上。所以 0 2m  ，所以 2 2 2 2 22, , 2a b m c a b m      。椭圆的离心率为 1 2e  ，所以 2 2 2 1 2 4 2 c me a    ，解得 3 2m  。 14.已知点 P 是抛物线 2 4y x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是（4，a），则当| | 4a  时， | | | |PA PM 的最小值是 。 三、解答题： 15. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     过点  0,1 ,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与 x 轴 正 半 轴 和 y 轴 分 别 交 于 点 Q 、 P ， 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M 、 N , 各 点 均 不 重 合 且 满 足 1 2,PM MQ PN NQ      （1）求椭圆的标准方程； （2）若 1 2 3    ，试证明：直线l 过定点并求此定点. (2) 由题意设 ),(),,(),0,(),,0( 22110 yxNyxMxQmP ，设 l 方程为 )( mytx  ， 由 MQPM 1 知 ),(),( 110111 yxxmyx   ∴ 111 ymy  ，由题意 01  ，∴ 1 1 1  y m -----------------7 分 同理由 2PN NQ  知 2 2 1m y    ∵ 321   ，∴ 0)( 2121  yymyy （*） ------8 分 联立      )( 33 22 mytx yx 得 032)3( 22222  mtymtyt ∴需 0)3)(3(44 22242  mtttm （**） 且有 3 3, 3 2 2 22 212 2 21     t mtyy t mtyy （***）-------10 分 （***）代入（*）得 023 222  mtmmt ，∴ 1)( 2 mt ， 由题意 0mt ，∴ 1mt (满足（**）)， ----12 分 得 l 方程为 1 tyx ,过定点(1,0),即 P 为定点. ---------------13 分 16.（本大题满分 13 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 6 0x y   相切，过点 P（4，0）且不垂直于 x 轴直线l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求 OBOA 的取值范围； （3）若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点。 (2)解：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 4)y k x  由 22 ( 4) 14 3 y k x yx     得： 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     4 分 由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0k k k       得： 2 1 4k  设 A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 2 2 1 2 1 22 2 32 64 12 4 3 4 3 k kx x x x k k      ， ① 6 分 ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k       17． 若椭圆 1E : 2 2 2 2 1 1 1x y a b   和椭圆 2E : 2 2 2 2 2 2 1x y a b   满足 2 2 1 1 ( 0)a b m ma b    ,则称这两个椭圆相似， m 是相似比. (Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆 2 2 14 2 x y  相似的椭圆的方程； (Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于 A 、 B 点（点 A 在线段OB 上）. ①若 P 是线段 AB 上的一点，若 OA ， OP ， OB 成等比数列，求 P 点的轨迹方程; ②求 OA OB 的最大值和最小值. (Ⅱ) ① 当射 线l 的斜率不存在时 (0, 2), (0, 2 2)A B  , 设点 P 坐标 P(0, 0 )y ,则 2 0 4y  , 0 2y   .即 P(0, 2 ). ………………5 分 当射线l 的斜率存在时，设其方程 y kx ,P( , )x y 由 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 则 1 1 2 2 1 1 14 2 y kx x y    得 2 1 2 2 2 1 2 4 1 2 4 1 2 x k ky k       2 2 2 1| | 1 2 kOA k    同理 2 2 4 1| | 1 2 kOB k   ………………………7 分 又点 P 在l 上，则 yk x  ，且由 2 2 2 222 2 22 2 2 2 8(1 )8(1 ) 8( ) 1 2 21 2 y k x yxx y yk x y x       , 即所求方程是 2 2 18 4 x y  . 又 (0, 2 )适合方程, 故所求椭圆的方程是 2 2 18 4 x y  . ………………9 分 ② 由 ① 可 知 , 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， | | | | 2 2 2 4OA OB    , 当 l 的 斜 率 存 在 时, 2 2 2 8(1 ) 4| | | | 41 2 1 2 kOA OB k k     , 4 | | | | 8OA OB   , ………………11 分 综上,| | | |OA OB 的最大值是 8,最小值是 4. ………………12 分 18.（本小题满分 12 分）已知长方形 ABCD， 22AB ，BC=1。以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平 面直角坐标系 xoy. （Ⅰ）求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点 P（0，2）的直线l 交（Ⅰ）中椭圆于 M，N 两点，是否存在直线l ，使得弦 MN 为直径的圆恰好 过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 （Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线 l 的方程为 )0(2  kkxy . 设 M，N 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxyx . 联立方程：      42 2 22 yx kxy 消去 y 整理得， 048)21( 22  kxxk 有 221221 21 4, 21 8 k xx k kxx     ………………7 分 若以 MN 为直径的圆恰好过原点，则 ONOM  ，所以 02121  yyxx ，…………8 分 所以， 0)2)(2( 2121  kxkxxx ， 即 04)(2)1 2121 2  xxkxxk（ 所以， 04 21 16 21 )1(4 2 2 2 2      k k k k 即 0 21 48 2 2    k k ， ……………………9 分 得 2,22  kk . ……………………10 分 所以直线 l 的方程为 22  xy ，或 22  xy .………………11 分 所在存在过 P（0，2）的直线l ： 22  xy 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。 …12 分 19.（本小题满分 12 分） 如图，直线 l ：y=x+b 与抛物线 C ：x2=4y 相切于点 A。 （1） 求实数 b 的值； （11） 求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【解析】（I）由 2 4 y x b x y     得 2 4 4 0x x b   ( ) 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 2( 4) 4 ( 4 ) 0b       ,解得 1b   ………………4 分 双曲线 题组一 双曲线的定义及标准方程 1.(2010·汕头一模)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的 距离为 2，则双曲线方程为 ( ) A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C．x2－y2＝ 2 D．x2－y2＝1 2 解析：由题意，设双曲线方程为x2 a2 －y2 a2 ＝1(a>0)， 则 c＝ 2a，渐近线 y＝x，∴| 2a| 2 ＝ 2，∴a2＝2. ∴双曲线方程为 x2－y2＝2. 答案：B 2．已知双曲线的两个焦点为 F1(－ 10，0)、F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且 满足 1MF  · 2MF  ＝0，| 1MF  |·| 2MF  |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x2 9 －y2＝1 B．x2－y2 9 ＝1 C.x2 3 －y2 7 ＝1 D.x2 7 －y2 3 ＝1 解析：∵ 1MF  · 2MF  ＝0，∴ 1MF  ⊥ 2MF  ，∴MF1⊥MF2， ∴|MF1|2＋|MF2|2＝40， ∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3， 又 c＝ 10，∴b2＝c2－a2＝1， ∴双曲线方程为x2 9 －y2＝1. 答案：A 题组二 双曲线的几何性质 3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A．2 3 B．2 C. 3 D．1 解析：双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为 y＝ 3x 或 y＝－ 3x.由双曲线的对 称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝|4 3＋0| 3＋1 ＝2 3. 答案：A 4．(2010·普宁模拟)已知离心率为 e 的曲线x2 a2 －y2 7 ＝1，其右焦点与抛物线 y2＝16x 的焦点重合，则 e 的 值为 ( ) A.3 4 B.4 23 23 C.4 3 D. 23 4 解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则 a2＋7＝16， ∴a2＝9，∴e＝c a ＝4 3. 答案：C 5．(2009·江西高考)设 F1 和 F2 为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若 F1，F2，P(0,2b)是正三 角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( ) A.3 2 B．2 C.5 2 D．3 解析： |PO| |F1O| ＝tan60°， 2b c ＝ 3⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒c2 a2 ＝4⇒e＝2. 答案：B 6．(2010·广州模拟)已知点 F 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋ 2) D．(2,1＋ 2) 解析：如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE 为等腰三 角形，从而只需满足∠AEF<45°. 又当 x＝－c 时，y＝b2 a ， ∴tan∠AEF＝|AF| |EF| ＝ b2 a(a＋c) <1， ∴e2－e－2<0， 又 e>1，∴10，b>0)． 由已知得 a＝ 3，c＝2. 又 a2＋b2＝c2，得 b2＝1. 故双曲线 C 的方程为x2 3 －y2＝1. (2)联立 y＝kx＋m x2 3 －y2＝1 整理得 (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴ 1－3k2≠0 Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0 ， 可得 m2>3k2－1 且 k2≠1 3. ① 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 B(x0，y0)． 则 x1＋x2＝ 6km 1－3k2 ，x0＝x1＋x2 2 ＝ 3km 1－3k2 ， y 0＝kx0＋m＝ m 1－3k2 . 由题意，AB⊥MN， ∵kAB＝ m 1－3k2 ＋1 3km 1－3k2 ＝－1 k(k≠0，m≠0)． 整理得 3k2＝4m＋1. ② 将②代入①，得 m2－4m>0，∴m<0 或 m>4. 又 3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即 m>－1 4. ∴m 的取值范围是(－1 4 ，0)∪(4，＋∞)．