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- 2021-05-13 发布
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高考数学恒成立问题的一般解法
高考数学复习中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。
一、 一次函数型:
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成
同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有
n
m
o
x
y
n
m
o
x
y
例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将p视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:
即解得:
∴x<-1或x>3.
二、 二次函数型
若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例1、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时,都有f(x)a恒成立,求a的取值范围。
分析:题目中要证明f(x)a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。
解:设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)当=4(a-1)(a+2)<0时,即-20.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
即
解得a-8.
解法2(利用根与系数的分布知识):
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10.=0,即(4+a)2-16=0,∴a=0或a=-8.
a=0时,f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0,不合题意;
a=-8时,f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。∴a=-8.
4
o
x
y
20. >0,即a<-8或a>0时,
∵f(0)=4>0,故只需对称轴,即a<-4.
∴a<-8
综合可得a-8.
变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1、 已知当xR时,不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立,求实数a的取值范围。
分析:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(xR),另一变量a的范围即为所求,故可考虑将a及x分离。
解:原不等式即:4sinx+cos2x<-a+5
要使上式恒成立,只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值,故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,
∴-a+5>3即>a+2
上式等价于或
解得a<8.
注:注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解:a+cos2x<5-4sinx+即
a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],
整理得2t2-4t+4-a+>0,( t[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[-1,1]内单调递减。
只需f(1)>0,即>a-2.(下同)
一、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
例1、 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数,求的值。
分析:告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题。
解:由题得:f(-x)=f(x)对一切xR恒成立,
sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)
即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)
2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0
对一切xR恒成立,只需也必须sin+cos=0。
=k.(kZ)
二、 直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例6、当x(1,2)时,不等式(x-1)21,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
x
y
l1
l2
l
-20
o
解:令y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示,y1的图象为一个定抛物线,y2的图象是一条斜率为定值8,而截距不定的直线,要使y1和y2在x轴上有唯一交点,则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)
当直线为l1时,直线过点(-20,0)此时纵截距为-6a-3=160,a=;
当直线为l2时,直线过点(0,0),纵截距为-6a-3=0,a=∴a的范围为[,)。