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  • 2021-05-13 发布

高考真题——理科数学安徽卷

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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(理科)‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )‎ ‎(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)设:,:,则是成立的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) (A)若垂直于同一平面,则与平行 (B)若平行于同一平面,则与平行 ‎(C)若不平行,则在内不存在与平行的直线 ‎(D)若不平行,则与不可能垂直于同一平面 ‎(6)若样本数据的标准差为8,则数据的标准差为( ) (A)8 (B)15 (C)16 (D)32‎ ‎(7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) (A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(8)是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )‎ ‎(A),, (B),,‎ ‎(C),, (D),,‎ ‎(10)已知函数(均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( ) (A) (B) (C) (D)‎ ‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎ (11)的展开式中的系数是 (用数字填写答案)。‎ ‎ (12)在极坐标系中,圆上的点到直线距离的最大值是_______。‎ ‎ (13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为________。‎ ‎ (14)已知数列是递增的等比数列,,,则数列的前项和等于___________。‎ ‎(15)设,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_________(写出所有正确命题的编号)。①;②;‎ ‎③;④;⑤。‎ 三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。‎ ‎ (16)(本小题满分12分)在中,在中,,,,点在边上,,求的长。‎ ‎ (17)(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果。⑴求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;⑵已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和均值(数学期望)。‎ ‎ (18)(本小题满分12分)设,是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标。⑴求数列的通项公式;⑵记,证明:。‎ ‎(19)(本小题满分13分)如图所示,在多面体中,四边形,,均为正方形,为的中点,过的平面交于。⑴证明:;⑵求二面角余弦值。‎ ‎ (20)(本小题满分13分)椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为。⑴求的离心率;⑵设点的坐标为,为线段的中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求的方程。‎ ‎ (21)(本小题满分13分)设函数。⑴讨论函数在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;⑵记,求函数在上的最大值;⑶在⑵中,取,求满足时的最大值。‎ ‎2015年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答 一.BAACD CBDCA 二.11.35;12.6;13.3;4.;15.①③④⑤‎ ‎16.解:设的内角所对边的长分别是,由余弦定理得 ‎,故。又由正弦定理可得。又,故。所以在中由正弦定理可得。 ‎ ‎ 17.解:⑴记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件,则;‎ ⑵的可能取值为,,‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎,。故的分布列如右表,且。‎ ‎18.解:⑴由题,故曲线在点处的切线斜率为,从而切线方程为。令,得切线与轴交点的横坐标;‎ ⑵由⑴知,故。当时,因为,所以。综上得证。‎ ‎19.解:⑴由正方形的性质可知,且,所以四边形是平行四边形,从而。又平面,平面,于是平面。又平面,平面平面,所以;‎ ⑵因四边形均为正方形,故,‎ 且。以为原点,分别以为轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系。可得点的坐标,‎ ‎,,,,。因为为的中点,所以。设为平面的法向量,则。因,,故。取得。设为平面的法向量,则。因,,故。取得。结合图形知二面角余弦值为。‎ ‎20.解:⑴由题知,又,故,即,故,;‎ ⑵由⑴可知:,。设点关于直线的对称点为,则线段的中点。因在直线上,且,故,解得。所以,从而:。‎ ‎21.证明:⑴由题,故 ‎。因,故,。①当时,单调递增,无极值;②当时,单调递减,无极值;③当时,在内存在唯一的,使得。时,函数单调递 减;时,函数单调递增。因此,当,时,函数在处有极小值;‎ ⑵时,。当时,取,等号成立;当时,取,等号成立。因此在的最大值为;‎ ⑶即为。此时,,从而。取,,则,并且。所以满足条件的最大值为1。‎