高考真题——理科数学安徽卷 6页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（理科）‎ ‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设：，：，则是成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若垂直于同一平面，则与平行 （B）若平行于同一平面，则与平行 ‎（C）若不平行，则在内不存在与平行的直线 ‎（D）若不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎（6）若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32‎ ‎（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ ‎（A），， （B），，‎ ‎（C），， （D），，‎ ‎（10）已知函数（均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎ （11）的展开式中的系数是 （用数字填写答案）。‎ ‎ （12）在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是_______。‎ ‎ （13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为________。‎ ‎ （14）已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于___________。‎ ‎（15）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_________（写出所有正确命题的编号）。①；②；‎ ‎③；④；⑤。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。‎ ‎ （16）（本小题满分12分）在中，在中，，，，点在边上，，求的长。‎ ‎ （17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果。⑴求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；⑵已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）。‎ ‎ （18）（本小题满分12分）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标。⑴求数列的通项公式；⑵记，证明：。‎ ‎（19）（本小题满分13分）如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于。⑴证明：；⑵求二面角余弦值。‎ ‎ （20）（本小题满分13分）椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为。⑴求的离心率；⑵设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程。‎ ‎ （21）（本小题满分13分）设函数。⑴讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；⑵记，求函数在上的最大值；⑶在⑵中，取，求满足时的最大值。‎ ‎2015年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答 一．BAACD CBDCA 二．11．35；12．6；13．3；4．；15．①③④⑤‎ ‎16．解：设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ‎，故。又由正弦定理可得。又，故。所以在中由正弦定理可得。 ‎ ‎ 17．解：⑴记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；‎ ⑵的可能取值为，，‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎，。故的分布列如右表，且。‎ ‎18．解：⑴由题，故曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为。令，得切线与轴交点的横坐标；‎ ⑵由⑴知，故。当时，因为，所以。综上得证。‎ ‎19．解：⑴由正方形的性质可知，且，所以四边形是平行四边形，从而。又平面，平面，于是平面。又平面，平面平面，所以；‎ ⑵因四边形均为正方形，故，‎ 且。以为原点，分别以为轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系。可得点的坐标，‎ ‎，，，，。因为为的中点，所以。设为平面的法向量，则。因，，故。取得。设为平面的法向量，则。因，，故。取得。结合图形知二面角余弦值为。‎ ‎20．解：⑴由题知，又，故，即，故，；‎ ⑵由⑴可知：，。设点关于直线的对称点为，则线段的中点。因在直线上，且，故，解得。所以，从而：。‎ ‎21．证明：⑴由题，故 ‎。因，故，。①当时，单调递增，无极值；②当时，单调递减，无极值；③当时，在内存在唯一的，使得。时，函数单调递 减；时，函数单调递增。因此，当，时，函数在处有极小值；‎ ⑵时，。当时，取，等号成立；当时，取，等号成立。因此在的最大值为；‎ ⑶即为。此时，，从而。取，，则，并且。所以满足条件的最大值为1。‎