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  • 2021-05-13 发布

平面向量数量积与平面向量应用举例练习题高考总复习

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第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(  )‎ A.a∥bB.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 解析 由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,‎ ‎∴a·b=0,故a⊥b.‎ 答案 B ‎2.(2013·湖北卷)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为(  )‎ A.B. C.-D.- 解析 =(2,1),=(5,5),在方向上的投影为==.‎ 答案 A ‎3.(2013·全国大纲卷)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(  )‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ 解析 (m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0即m2-n2=0,(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0,解得λ=-3.故选B.‎ 答案 B ‎4.(2013·福建卷)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(  )‎ A.B.2 C.5 D.10‎ 解析 因为·=1×(-4)+2×2=0,所以⊥,所以四边形ABCD的面积是||·||=××=5.‎ 答案 C ‎5.如图所示,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,则·的值等于(  )‎ A.0 B.4‎ C.8 D.-4‎ 解析 BD=ABcos30°=2,所以=.‎ 故=-=-.‎ 又=-,所以·=·(-)=2-·+2,2=2=16,·=4×4×cos30°=8,代入上式得·=8-×8+16=4.‎ 答案 B ‎6.已知三个向量a,b,c两两所夹的角都为120°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b与向量c的夹角θ的值为(  )‎ A.30° B.60°‎ C.120° D.150°‎ 解析 ∵(a+b)·c=a·c+b·c=1×3×cos120°+2×3×cos120°=-,‎ ‎|a+b|== ‎==,‎ ‎∴cosθ===-.‎ ‎∵0°≤θ≤180°,∴θ=150°.‎ 答案 D 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)‎ ‎7.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.‎ 解析 a,b均为单位向量,夹角为60°,所以a·b=,又b·c ‎=0,即:b·[ta+(1-t)b]=0得+(1-t)=0,解得t=2.‎ 答案 2‎ ‎8.(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.‎ 解析 ·=(+)·(-)=2+·-2=2+||·||cos60°-2=1,把||2=1代入得||=.‎ 答案  ‎9.‎ ‎(2014·大庆高三质检)向量,在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=-λ,若a⊥,则实数λ=________.‎ 解析 以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,2),a=-λ=(3,2)-λ(2,0)=(3-2λ,2),=(2,0),∵a⊥,∴a·=2(3-2λ)+0=0,λ=.‎ 答案  三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)‎ ‎10.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量a+2b与a-b的夹角的余弦值.‎ 解 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1,‎ ‎|a+2b|2=a2+4b2+‎4a·b=12,‎ ‎|a-b|2=a2+b2-‎2a·b=3,‎ ‎(a+2b)·(a-b)=a2-2b2+a·b=3.‎ ‎∴向量a+2b与a-b的夹角的余弦值 cosθ===.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).‎ ‎(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.‎ 解 (1)=(3,5),=(-1,1),‎ 求两条对角线的长,即求|+|与|-|的大小.‎ 由+=(2,6),得|+|=2.‎ 由-=(4,4),得|-|=4.‎ ‎(2)=(-2,-1),‎ ‎∵(-t)·=·-t2,‎ 易求·=-11,2=5,‎ ‎∴由(-t)·=0,得t=-.‎ ‎12.(2013·四川卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.‎ ‎(Ⅰ)求cosA的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.‎ 解 (Ⅰ)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,‎ 得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,‎ 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.‎ 则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.‎ ‎(Ⅱ)由cosA=-,0b,则A>B,故B=.‎ 根据余弦定理,有 ‎(4)2=52+c2-2×‎5c×(-),‎ 解得c=1或c=-7(舍去).‎ 故向量在方向上的投影为||cosB=.‎