• 873.50 KB
  • 2021-05-13 发布

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

  • 15页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
高中数学高考总复习椭圆习题及详解 一、选择题 ‎1.设0≤α<2π,若方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是(  )‎ A.∪ B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 化为+=1,‎ ‎∴->>0,故选C.‎ ‎2.(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆+=1的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.4x±3y=0 B.3x±4y=0‎ C.4x±5y=0 D.5x±4y=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由题意知双曲线C的焦点(±5,0),顶点(±3,0),∴a=3,c=5,∴b==4,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.‎ ‎(理)(2010·广东中山)若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1,有相同的焦点,则该椭圆的方程是(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.x2+=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=,‎ ‎∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=1.‎ ‎3.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2,它们的交点在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 依题意,结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部,∴c2c2,即e2=<,又∵e>0,∴0b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±x ‎[答案] A ‎[解析] ∵由椭圆的离心率e==,‎ ‎∴==,∴=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,选A.‎ ‎6.(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为a、b、c,则由条件知,b=6,a+c=9或a-c=9,‎ 又b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36,‎ 故,∴,∴e==.‎ ‎(理)(2010·北京崇文区)已知点F,A分别是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,B(0,b)满足·=0,则椭圆的离心率等于(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] ∵=(c,b),=(-a,b),·=0,‎ ‎∴-ac+b2=0,∵b2=a2-c2,‎ ‎∴a2-ac-c2=0,∴e2+e-1=0,‎ ‎∵e>0,∴e=.‎ ‎7.(2010·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1、F2分别是它们的左、右焦点.设椭圆离心率为e1,双曲线离心率为e2,若·=0,则+=(  )‎ A.2 B. ‎ C. D.3‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a′,焦距为2c,则由条件知||PF1|-|PF2||=2a′,|PF1|+|PF2|=2a,将两式两边平方相加得:‎ ‎|PF1|2+|PF2|2=2(a2+a′2),‎ 又|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴a2+a′2=2c2,‎ ‎∴+=+==2.‎ ‎8.(2010·重庆南开中学)已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点,以下结论中:①△ABF1的周长为8;②原点到l的距离为1;③|AB|=;正确结论的个数为(  )‎ A.3     B.2    ‎ C.1     D.0‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵a=2,∴△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,故①正确;‎ ‎∵F2(,0),∴l:y=x-,原点到l的距离d==1,故②正确;‎ 将y=x-代入+=1中得3x2-4x=0,∴x1=0,x2=,‎ ‎∴|AB|==,故③正确.‎ ‎9.(文)(2010·北京西城区)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎[答案] B ‎[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,‎ ‎∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.‎ ‎(理)F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎[答案] A ‎[解析] ∵PQ平分∠F1PA,且PQ⊥AF1,‎ ‎∴Q为AF1的中点,且|PF1|=|PA|,‎ ‎∴|OQ|=|AF2|=(|PA|+|PF2|)=a,‎ ‎∴Q点轨迹是以O为圆心,a为半径的圆.‎ ‎10.(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若b>0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°(O为坐标原点),则椭圆C的离心率为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 因为∠AOB=90°,所以∠AOF=45°,所以=,所以e2===1-=,即e=.‎ ‎(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆+=1(a>b>0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部,故b>c,∴b2>c2,即a2>2c2,‎ ‎∴<.‎ ‎12.(2010·南充市)已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 易知A,C为椭圆的焦点,故|BA|+|BC|=2×5=10,又AC=8,由正弦定理知,‎ ==.‎ ‎13.(文)若右顶点为A的椭圆+=1(a>b>0)上存在点P(x,y),使得·=0,则椭圆离心率的范围是________.‎ ‎[答案] ,∵00,b>0)的面积为πab,M包含于平面区域Ω:内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为,则椭圆M的方程为________.‎ ‎[答案] +=1‎ ‎[解析] 平面区域Ω:是一个矩形区域,如图所示,‎ 依题意及几何概型,可得=,‎ 即ab=2.‎ 因为0b>0)的长轴长为4.‎ ‎(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;‎ ‎(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过焦点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM、kPN,当kPM·kPN=-时,求椭圆的方程.‎ ‎[解析] (1)∵圆x2+y2=b2与直线y=x+2相切,‎ ‎∴b=,得b=.‎ 又2a=4,∴a=2,a2=4,b2=2,‎ c2=a2-b2=2,∴两个焦点坐标为(,0),(-,0).‎ ‎(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,‎ 不妨设:M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),‎ 由于M,N,P在椭圆上,则它们满足椭圆方程,‎ 即有+=1,+=1.‎ 两式相减得:=-.‎ 由题意可知直线PM、PN的斜率存在,则 kPM=,kPN=,‎ kPM·kPN=·==-,‎ 则-=-,由a=2得b=1,‎ 故所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.‎ ‎[解析] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)‎ 由题意,‎ 解得a2=16,b2=12.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.‎ 因为=(x-m,y),‎ 所以||2=(x-m)2+y2‎ ‎=(x-m)2+12×.‎ ‎=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.‎ 因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,‎ 即当x=4时,||2取得最小值.而x∈[-4,4],‎ 故有4m≥4,解得m≥1.‎ 又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.‎ 故实数m的取值范围是m∈[1,4].‎ ‎16.(2010·辽宁文,20)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆C的焦距;‎ ‎(2)如果=2,求椭圆C的方程.‎ ‎[解析] (1)设焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0)‎ ‎∵kl=tan60°= ‎∴l的方程为y=(x-c)‎ 即:x-y-c=0‎ ‎∵F1到直线l的距离为2 ‎∴=c=2 ‎∴c=2‎ ‎∴椭圆C的焦距为4‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由题可知y1<0,y2>0‎ 直线l的方程为y=(x-2)‎ 由消去x得,‎ ‎(3a2+b2)y2+4b2y-3b2(a2-4)=0‎ 由韦达定理可得 ‎∵=2,∴-y1=2y2,代入①②得 得=· ‎=      ⑤‎ 又a2=b2+4          ⑥‎ 由⑤⑥解得a2=9 b2=5‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎17.(文)(2010·安徽文)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.‎ ‎[解析] (1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0)‎ ‎∵e=,即=,∴a=2c 又b2=a2-c2=3c2‎ ‎∴椭圆方程为+=1.又∵椭圆过点A(2,3)‎ ‎∴+=1,解得c2=4,∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)法一:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴直线AF1的方程y=(x+2),即3x-4y+6=0,‎ 直线AF2的方程为x=2.‎ 设P(x,y)为角平分线上任意一点,则点P到两直线的距离相等.‎ 即=|x-2|‎ ‎∴3x-4y+6=5(x-2)或3x-4y+6=5(2-x)‎ 即x+2y-8=0或2x-y-1=0.‎ 由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x-y-1=0.‎ 法二:设AM平分∠F1AF2,则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称.‎ 由题意知直线AM的斜率存在且不为0,设为k.‎ 则直线AM方程y-3=k(x-2).‎ 由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴直线AF1方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0‎ 设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0,y0),‎ 则 解之得F2′(,).‎ ‎∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称,‎ ‎∴点F2′在直线AF1上.‎ 即3×-4×+6=0.‎ 解得k=-或k=2.‎ 由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正,‎ ‎∴k=-(舍去).‎ 故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x-y-1=0.‎ 法三:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴=(-4,-3),=(0,-3),‎ ‎∴+=(-4,-3)+(0,-3)‎ ‎=-(1,2),‎ ‎∴kl=2,∴l:y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.‎ ‎[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线,∴与的单位向量的和与l共线.从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量,进而求出其斜率.‎ ‎(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.‎ ‎(1)求椭圆的两焦点坐标;‎ ‎(2)设点B是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证A、B两点关于原点O不对称;‎ ‎(3)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由.‎ ‎[解析] (1)由椭圆定义知:2a=4,‎ ‎∴a=2,∴+=1‎ 把(1,1)代入得+=1‎ ‎∴b2=,则椭圆方程为+=1‎ ‎∴c2=a2-b2=4-=,∴c= 故两焦点坐标为,.‎ ‎(2)用反证法:假设A、B两点关于原点O对称,则B点坐标为(-1,-1),此时|AB|=2,取椭圆上一点M(-2,0),则|AM|= ‎∴|AM|>|AB|.‎ 从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立.‎ ‎(3)设AC方程为:y=k(x-1)+1‎ 联立消去y得 ‎(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0‎ ‎∵点A(1,1)在椭圆上 ‎∴xC= ‎∵直线AC、AD倾斜角互补 ‎∴AD的方程为y=-k(x-1)+1‎ 同理xD= 又yC=k(xC-1)+1,yD=-k(xD-1)+1‎ yC-yD=k(xC+xD)-2k 所以kCD== 即直线CD的斜率为定值.‎