高中数学高考总复习椭圆习题及详解 15页

高中数学高考总复习椭圆习题及详解 一、选择题 ‎1．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)‎ A.∪ B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　化为＋＝1，‎ ‎∴－>>0，故选C.‎ ‎2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0‎ C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知双曲线C的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，‎ ‎∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.‎ ‎(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D．x2＋＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，‎ ‎∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x ‎[答案]　A ‎[解析]　∵由椭圆的离心率e＝＝，‎ ‎∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.‎ ‎6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，‎ 又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，‎ 故，∴，∴e＝＝.‎ ‎(理)(2010·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝(c，b)，＝(－a，b)，·＝0，‎ ‎∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，‎ ‎∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，‎ ‎∵e>0，∴e＝.‎ ‎7．(2010·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D．3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：‎ ‎|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，‎ 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，‎ ‎∴＋＝＋＝＝2.‎ ‎8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为(　　)‎ A．3　　　　 B．2　　　　‎ C．1　　　　 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确；‎ ‎∵F2(，0)，∴l：y＝x－，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；‎ 将y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，‎ ‎∴|AB|＝＝，故③正确．‎ ‎9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎[答案]　B ‎[解析]　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，‎ ‎∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．‎ ‎(理)F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，‎ ‎∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，‎ ‎∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，‎ ‎∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．‎ ‎10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.‎ ‎(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c，∴b2>c2，即a2>2c2，‎ ‎∴<.‎ ‎12．(2010·南充市)已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，‎ ＝＝.‎ ‎13．(文)若右顶点为A的椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P(x，y)，使得·＝0，则椭圆离心率的范围是________．‎ ‎[答案]　，∵00，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎[解析]　平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示，‎ 依题意及几何概型，可得＝，‎ 即ab＝2.‎ 因为0b>0)的长轴长为4.‎ ‎(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；‎ ‎(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．‎ ‎[解析]　(1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，‎ ‎∴b＝，得b＝.‎ 又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，‎ c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．‎ ‎(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，‎ 不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，‎ 由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，‎ 即有＋＝1，＋＝1.‎ 两式相减得：＝－.‎ 由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则 kPM＝，kPN＝，‎ kPM·kPN＝·＝＝－，‎ 则－＝－，由a＝2得b＝1，‎ 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)‎ 由题意，‎ 解得a2＝16，b2＝12.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.‎ 因为＝(x－m，y)，‎ 所以||2＝(x－m)2＋y2‎ ‎＝(x－m)2＋12×.‎ ‎＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.‎ 因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，‎ 即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，‎ 故有4m≥4，解得m≥1.‎ 又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.‎ 故实数m的取值范围是m∈[1,4]．‎ ‎16．(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆C的焦距；‎ ‎(2)如果＝2，求椭圆C的方程．‎ ‎[解析]　(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)‎ ‎∵kl＝tan60°＝ ‎∴l的方程为y＝(x－c)‎ 即：x－y－c＝0‎ ‎∵F1到直线l的距离为2 ‎∴＝c＝2 ‎∴c＝2‎ ‎∴椭圆C的焦距为4‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0‎ 直线l的方程为y＝(x－2)‎ 由消去x得，‎ ‎(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0‎ 由韦达定理可得 ‎∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得 得＝· ‎＝　　　　　　⑤‎ 又a2＝b2＋4　　　　　　　 　　⑥‎ 由⑤⑥解得a2＝9　b2＝5‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎17．(文)(2010·安徽文)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．‎ ‎[解析]　(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)‎ ‎∵e＝，即＝，∴a＝2c 又b2＝a2－c2＝3c2‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A(2,3)‎ ‎∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ ‎∴直线AF1的方程y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，‎ 直线AF2的方程为x＝2.‎ 设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．‎ 即＝|x－2|‎ ‎∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x)‎ 即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.‎ 由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.‎ 法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．‎ 由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.‎ 则直线AM方程y－3＝k(x－2)．‎ 由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ ‎∴直线AF1方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0‎ 设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)，‎ 则 解之得F2′(，)．‎ ‎∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，‎ ‎∴点F2′在直线AF1上．‎ 即3×－4×＋6＝0.‎ 解得k＝－或k＝2.‎ 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，‎ ‎∴k＝－(舍去)．‎ 故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.‎ 法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ ‎∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)，‎ ‎∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)‎ ‎＝－(1,2)，‎ ‎∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.‎ ‎[点评]　因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．‎ ‎(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.‎ ‎(1)求椭圆的两焦点坐标；‎ ‎(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；‎ ‎(3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由椭圆定义知：2a＝4，‎ ‎∴a＝2，∴＋＝1‎ 把(1,1)代入得＋＝1‎ ‎∴b2＝，则椭圆方程为＋＝1‎ ‎∴c2＝a2－b2＝4－＝，∴c＝ 故两焦点坐标为，.‎ ‎(2)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝2，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝ ‎∴|AM|>|AB|.‎ 从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．‎ ‎(3)设AC方程为：y＝k(x－1)＋1‎ 联立消去y得 ‎(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0‎ ‎∵点A(1,1)在椭圆上 ‎∴xC＝ ‎∵直线AC、AD倾斜角互补 ‎∴AD的方程为y＝－k(x－1)＋1‎ 同理xD＝ 又yC＝k(xC－1)＋1，yD＝－k(xD－1)＋1‎ yC－yD＝k(xC＋xD)－2k 所以kCD＝＝ 即直线CD的斜率为定值.‎