高考数学理数学思想在解题目中的应用2二轮提高练习题目 5页

数学思想在解题中的应用(二)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2013·咸阳模拟)函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是 ‎(　　)．‎ A．(0,2) B．(0,1) C．(0,1] D．[0,2]‎ ‎2．某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在‎10月1日，丁不排在‎10月7日，则不同的安排方案共有 ‎(　　)．‎ A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 108种 ‎3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 ‎(　　)．‎ A. B. C.或 D.或 ‎4．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于 ‎(　　)．‎ A．an＋1－a B．n(a＋1)‎ C．na D．(a＋1)n－1‎ ‎5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为 ‎(　　)．‎ A．3＜a＜4 B．3＜a≤‎4 C．3≤a≤4 D．3≤a＜4‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．‎ ‎7．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9 成等比数列，则的值是________．‎ ‎8．椭圆＋＝1 (a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}是首项为1，公比为b的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎10．(12分)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A、B、C、D四点，点A1、A2分别为C2的左、右顶点．‎ ‎(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；‎ ‎(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．‎ ‎11．(12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．‎ 参考答案 ‎ ‎1．B　[转化为f′(x)＝3x2－3b在(0,1)内与x轴有两交点，只需f′(0)＜0且f′(1)＞0.即得0＜b＜1.]‎ ‎2．C　[①当丙在‎10月7日值班时共AA＝240种；‎ ‎②当丙不在‎10月7日值班时，若甲、乙有1人在‎10月7日值班时，共CCA＝192种排法，若甲、乙不在‎10月7日值班时，共有C(CA＋CAA)＝576种．‎ 综上知，共240＋192＋576＝1 008种．]‎ ‎3．D　[当双曲线焦点在x轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；‎ 当双曲线焦点在y轴上时，＝，‎ ‎∴＝＝e2－1＝，‎ ‎∴e2＝，∴e＝.]‎ ‎4．C　[利用常数列判断a，a，a，…，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，q＝1，Sn＝na.]‎ ‎5．C　[f(x)＝－sin2x＋sin x＋a＝－2＋a＋.‎ 令t＝sin x，t∈[－1,1]，‎ ‎∴f (x)变为g(t)＝－2＋a＋，t∈[－1,1]，‎ g(t)max＝a＋， g(t)min＝a－2,1≤f(x)≤对x∈R恒成立，即g(t)max≤且g(t)min≥1恒成立，即3≤a≤4.]‎ ‎6．解析　当a＞1时，y＝ax在[1,2]上递增，故a2－a＝，得a＝；当0＜a＜1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝.故a＝或a＝.‎ 答案　或 ‎7．解析　由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则＝＝.‎ 答案　 ‎8．解析　依题意得|F‎1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即‎4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得‎5c2＝‎ a2，得e＝＝.‎ 答案　 ‎9．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1.‎ 所以an＝ ‎(2)当b＝1时， anbn＝ 此时Tn＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2＋1；‎ 当b≠1时，anbn＝ 此时Tn＝2＋3b＋5b2＋…＋(2n－1)bn－1，①‎ 两端同时乘以b得，bTn＝2b＋3b2＋5b3＋…＋(2n－1)bn.②‎ ‎①－②得，‎ ‎(1－b)Tn＝2＋b＋2b2＋2b3＋…＋2bn－1－(2n－1)bn ‎＝2(1＋b＋b2＋b3＋…＋bn－1)－(2n－1)bn－b ‎＝－(2n－1)bn－b，‎ 所以Tn＝－－.‎ 所以Tn＝ ‎10．解　(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.‎ 由＋y＝1得y＝1－，‎ 从而xy＝x＝－2＋.‎ 当x＝，y＝时，Smax＝6.从而t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.‎ ‎(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①‎ 直线A2B的方程为y＝(x－3)．②‎ 由①②得y2＝－(x2－9)．③‎ 又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④‎ 将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．‎ 因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．‎ ‎11．解　(1)f′(x)＝－.‎ 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故 即解得a＝1，b＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＋，所以 f(x)－＝.‎ 考虑函数h(x)＝2ln x＋(x＞0)，则 h′(x)＝.‎ ‎(ⅰ)设k≤0，由h′(x)＝知，当x≠1时，h′(x)＜0.而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0.‎ 从而当x＞0，且x≠1时，f(x)－＞0，‎ 即f(x)＞＋.‎ ‎(ⅱ)设0＜k＜1，由于当x∈时，(k－1)(x2＋1)＋2x＞0，‎ 故h′(x)＞0.而h(1)＝0，故当x∈时，h(x)＞0，可得h(x)＜0.与题设矛盾．‎ ‎(ⅲ)设k≥1.此时h′(x)＞0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，可得h(x)＜0.与题设矛盾．综合得k的取值范围为(－∞，0]．‎