高三年高考三年模拟文科概率汇编 31页

1.． 是指大气中直径小于或等于 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 日均值在 克 /立方米以下空气质量为一级;在 微克/立方米 微克/立方米之间空气质量为二级;在 微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区 年全年每天的 监测数据中随机的抽取 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(Ⅰ) 若 从这 天的数据中随机抽出 天, 求至多有一天空气质量超标的概率;(Ⅱ)根据这 天的 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或 二级? 2.．一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩如下表: 学生 数学 89 91 93 95 97 物理 87 89 89 92 93 (Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;(Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有 一个物理成绩高于 90 分的概率. 3.．在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获 二等奖,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖.(Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率;(Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 4.．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米( 5. 米 不 含 8 米 ) 的 为 及 格 , 成 绩 在 8 米 至 12 米 ( 含 8 米 和 12 米 , 假 定 该 市 初 二 学 生 掷 实 心 球 均 不 超 过 12 米 ) 为 优 秀 . 把 获 得 的 所 有 数 据 , 分 成 五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 值及参加“掷实心球”项目测试的人数;(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀概率;(Ⅲ) 若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的 2 名学生来自不同组的概率. 5.．某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 人,回答问题统计结果如图表所示. a n 日均值(微克/立方米) 3 3 4 8 1 7 9 3 9 7 PM2.5 2.5 PM2.5 PM2.5 35 35  75 75 2012 PM2.5 6 6 2 6 PM2.5 365 1A 2A 3A 4A 5A [2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 组距 频率 米 0.025 0.075 2 4 6 8 10 0.150 0.200 12 a PM2.5 (Ⅰ)分别求出 的值;(Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决 定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. 6.在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的 两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少 一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 7．某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元,超过 小时的部分每小时收费 元(不足 小时的部分按 小时计算). 现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 小时.(Ⅰ)若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ,停车付费多于 元的概率为 ,求甲停 车付费恰为 元的概率;(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率. 8．用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人) (Ⅰ)求 , ;(Ⅱ)若从高二、高三年级抽取的人中选 人,求这二人都来自高二年级的概率 9．为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级 的男、女学生人数如下表: 优秀 良好 合格 男生人数 380 373 女生人数 370 377 (Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若 , ,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率. yxba ,,, 0.375 等级 0.250 频率 0.200 0.075 科目：数学与逻辑 0.025 频率 等级 0.150 0.375 科目：阅读与表达 年级 相关人数 抽取人数 高一 99 高二 27 高三 18 2 1 6 1 8 1 1 4 1 2 3 1 14 12 5 6 36 x y 2 x y 245x ≥ 245y ≥ x y 10.PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方 米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标: (Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率: (III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率. 11.．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字 ,一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字 .将这个正方体和正四面体同时抛 掷一次,正方体正面向上的数字为 ,正四面体的三个侧面上的数字之 和为 .(Ⅰ)求事件 的概率;[来源:学。科。网] (Ⅱ)求事件“点 满足 ”的概率. 12．某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了 2 男 1 女三名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率. 13.高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图). (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位 同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.: 14. 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生, 将他们的期中考试数学成绩( 满分 100 分, 成绩均为 不 低 于 40 分 的 整 数) 分成六段: ,得到如图所示的频率分布直方图. (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分的人数;(II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名学生中成立“二帮一”小组,即 从成绩 中选两位同学,共同帮助 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 15.．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 l00 分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直 方图.(I)求成绩在[80,90)的学生人数;(Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 [90,100]的概率. 16．以下茎叶图记录了 甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以 x 表示. [ ) [ ) [ ]40,50 , 50,60 , , 90,100⋅⋅⋅ [ ]90,100 [ )40,50 A B 0,1,2,3,4,5 1,2,3,4 a b 3b a= ( , )a b 2 2( 5) 9a b+ − ≤ 15 16 17 18 9 8 8 5 5 1 1 0 2 1 9 6 9 2 3 4 7 2 3 5 第一组 第二组 17 ．某普通高中共有 教师 人,分为三个批次参加研修培训,在三个批次中男、女教师人数如下表所示: 已知在全体教师中随机抽取 1 名,抽到第二、三批次中女教师的概率分别是 、 .(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)为了调查研修效果,现从三个批次中按 的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被选取的人数分别是多少? (Ⅲ)若从(Ⅱ)中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率. 18．从某学校的 名男生中随机抽取 名测量身高,被测学生身高全部介于 cm 和 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ , ), 第二组[ , ),,第八组[ , ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 人. (Ⅰ)求第七组的频率;(Ⅱ)估计该校的 名男生的身高的中位数以及身高在 cm 以上(含 cm)的人数 ; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 ,事件 { },事件 { },求 . 19． 为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分 100 分)整理得到的频率分布直方图如下 图.若图中第一组(成绩为[40,50))对应矩形高是第六组(成绩为[90,100])对应矩形高的一半. (1)试求第一组、第六组分别有学生多少人? (2)若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出 2 名学生,共 3 名学生召开座谈会,求第一组中学生 A1 和第六组中学生 B1 同时被选中的概率. 20．有编号为 A1,A2,A3,,A6 的 6 位同学,进行 100 米赛跑,得到下面的成绩: 800 50 155 195 155 160 160 165 190 195 4 800 180 180 ,x y =E 5x y− ≤ F = 15− >x y ( )P E F 第一批次 第二批次 第三批次 女教师 男教师 甲组 0 1 x 8 2 9 21 9 乙组 第 18 题图 360 0.15 0.1 , ,x y z 1:60 身高 (cm) 频率/组距 195190185180175170165160 0.06 0.04 0.016 0.008 O 155 身高(cm) 频率/组距 86 x y 94 66 z 1 2 其中成绩在 13 秒内的同学 记为优秀. (l)从上述 6 名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取 2 名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这 2 名同学 的成绩都在 12.3 秒内的概率. 21．某班 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 秒与 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ,第二组 ,,第五组 ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 秒且小于 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 的概率. 22．有一个不透明的袋子,装有 3 个完全相同的小球,球上分别编有数字 l,2,3. (1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率;(2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0 与圆 x2+ y2= 有公共点的 概率. 23．某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同学参加笔试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分为 4 组:第 1 组[60,70),第 2 组[70,80),第 3 组[80,90),第 4 组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在 85 分(含 85 分)以上的同学有面 试资格.(Ⅰ)估计所有参加笔试的 1000 名同学中,有面试资格的人数; (Ⅱ)已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲的笔试比乙的高;面试时,要求每人回答两个问题,假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为 ; 若甲答对题的个数不少于乙,则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率. 24．若人们具有较强的节约意识,到饭店就餐时吃光盘子里的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区 [25,55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查得到如下统计表: 50 13 18 [13,14) [14,15) [ ]17,18 14 16 1 1 9 频率/组距 0.08 0.24 0.28 0.36 0.04 秒13 14 15 16 17 18 得分 10090807060o 0.036 0.03 0.014 频率/组距 (I)求 a、b 的值并估计本社区[ 25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (Ⅱ)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动,并从这 8 人中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)与 [ 40,45)两个年龄段的概率. 25．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率 颁直方图如下: (1 求出表中 M,p 及图中 a 的值;2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30]内的概率. 26．某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: (1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件 下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件 日用品中任取两件(假定每件日用 品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 26 解答:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 (2)从日用品 , , , , 中任取两件,所有可能结果 ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )共 10 种, 设事件 A:“从日用品 , , , , 中任取两件,其等级 系数相等”,则 A 包的基本事件( , ),( , ),( , ),( , )共 4 个, 故所求的概率 P(A)= =0.4 27．某学校组织 500 名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第 1 组[155,160),第 2 组[160,165),第 3 组[165,170),第 4 组[170,175),第 5 组[175,180],得到的频率分布 直方图如图所示.(1)下表是身高的频数分布表,求正整数 m,n 的值; (2)现在要从第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,第 1,2,3 组应抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人,求至少有 1 人在第 3 组的概率. 3 20 2 20 1X 2X 3X 1Y 2Y 1X 2X 1X 3X 1X 1Y 1X 2Y 2X 3X 2X 1Y 2X 2Y 3X 1Y 3X 2Y 1Y 2Y 1X 2X 3X 1Y 2Y 1X 2X 1X 3X 1X 2X 1Y 2Y 4 10 X 1 2 3 4 5 频率 a 0.2 0.45 b c 28.有六张纸牌,上面分别写有 1,2,3,4,5,6 六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数.如果两个点数的和为偶数就 算甲胜,否则算乙胜.(1)求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?说明理由. 28 解 :(1) 设 “ 甲 胜 且 点 数 的 和 为 6” 为 事 件 A, 甲 的 点 数 为 x, 乙 的 点 数 为 y, 则 (x,y) 表 示 一 个 基 本 事 件 两 人 取 牌 结 果 包 括 (1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,1),(6,6)共 36 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3)(4,2),(5,1)共 5 个, 所以 所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为 (2)这种游戏公平.设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶数 所包含基本事件为以下 18 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3)(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) 所以甲胜的概率为 29.．甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 、 、 、 四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一 所做志愿,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率;(Ⅱ)院校 、 至少有一所被选择的概率. 29 30． M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到 36 5=）（AP 36 5 2 1 36 18;2 1 36 18)( ==== ）（乙胜的概率为 CPBP )()( CPBP =∴ .这种游戏规则是公平的∴ A B C D A B “甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作. (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? 31．为了 解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长 委员会分别有 54 人、1 8 人、36 人.(I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;(Ⅱ)若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行训查结果的对比,求这 2 人中至 少有一人是高三学生家长的慨率. 31 解:(Ⅰ)家长委员会人员总数为 54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为 ,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为 3,1,2 人 (Ⅱ)设 为从高一抽得的 3 个家长, 为从高二抽得的 1 个家长, 为从高三抽得的 2 个家长. 则 抽 取 的 全 部 结 果 有:( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( )共 15 种, 令 “至少有一人是高三学生家长”,结果有( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )共 9 种 所以这 2 人中至少有 1 人是高三学生家长的概率是 32.某校高一年级开设研究性学习课程，（ ）班和（ ）班报名参加的人数分别是 和 ．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组， 已知从（ ）班抽取了 名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数； （Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排 次交流活动，每次随机抽取小组中 名同学发言．求 次发言的学生恰好来自不同班级的概率． 32 解：设从（ ）班抽取的人数为 ，依题意得 ，所以 ，研究性学习小组的人数为 ． （Ⅱ）设研究性学习小组中（ ）班的 人为 ，（ ）班的 人为 ． 次交流活动中，每次随机抽取 名同学发言的基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 6 1 108 18 = 1 2 3, ,A A A 1B 1 2,C C 1 2,A A 1 3,A A 1 1,A B 1 1,A C 1 2,A C 2 3,A A 2 1,A B 2 1,A C 2 2,A C 3 1,A B 3 1,A C 3 2,A C 1 1,B C 1 2,B C 1 2,C C X = 1 1,A C 1 2,A C 2 1,A C 2 2,A C 3 1,A C 3 2,A C 1 1,B C 1 2,B C 1 2,C C 9 3( ) .15 5P X = = 1 2 18 27 2 3 1 1 2 1 m 27 3 18 =m 2m = 3 5m + = 1 2 1 2,a a 2 3 1 2 3, ,b b b 2 1 1 1( , )a a ),( 21 aa ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 12 aa 2 2( , )a a ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 11 ab ),( 21 ab 1 1( , )b b ),( 21 bb ),( 31 bb ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种． 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种． 所以 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 ． 33.甲、乙两名考生在填报志愿的时候都选中了 A、B、C、D 四所需要面试的院校，但是它们的面试安排在同一时间了。因此甲、乙只能在这四所院校中选择一个做 志愿，假设每个院校被选择的机率相等，试求：（I）甲乙选择同一所院校的概率；（II）院校 A、B 至少有一所被选择的概率；（III）院校 A 没有被选择的概率． 解：由题意，该实验的基本事件有（甲 A，乙 A），（甲 A，乙 B），（甲 A，乙 C），（甲 A，乙 D），（甲 B，乙 A），（甲 B，乙 B），（甲 B，乙 C），（甲 B，乙 D）， （甲 C，乙 A），（甲 C，乙 B），（甲 C，乙 C），（甲 C，乙 D），（甲 D，乙 A），（甲 D，乙 B），（甲 D，乙 C），（甲 D，乙 D） 共 16 种 （I）设“甲乙选择同一所院校”为事件 E，则事件 E 包含 4 个基本事件，概率 P(E)= （II）设“院校 A、B 至少有一所被选择”为事件 F，则事件 F 包含 12 个基本事件，概率 P(F)= （III）设“院校 A 没有被选择”为事件 G，则事件 G 包含 9 个基本事件，概率 P(G)= 34.某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第 1 组[25，30)，第 2 组[30，35)，第 3 组[35，40)，第 4 组[40，45)，第 5 组[45，50]，得到的频率分 布直方图如右图示 (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数 的值； (Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率． 34 解：(Ⅰ)由题设可知， ， . (Ⅱ) 因为第 1，2，3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为：第 1 组的人数为 ，第 2 组的人数为 ， 第 3 组的人数为 ， 所以第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人． ( Ⅲ ) 设 第 1 组 的 1 位 同 学 为 ， 第 2 组 的 1 位 同 学 为 ， 第 3 组 的 4 位 同 学 为 ， 则 从 六 位 同 学 中 抽 两 位 同 学 有 共 种可能． 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有： 共 1 种可能， …所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 ． 35.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是 ，样本数 据分组为 ， ， ， ， .（Ⅰ）求直方图中 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学 ,a b 15 ),( 12 ab ),( 22 ab 2 1( , )b b 2 2( , )b b ),( 32 bb ),( 13 ab ),( 23 ab 3 1( , )b b ),( 23 bb 3 3( , )b b 25 2 ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 11 ab ),( 21 ab ),( 12 ab ),( 22 ab ),( 13 ab ),( 23 ab 12 2 12 25P = 4 1 16 4 = 4 3 16 12 = 16 9 0.08 5 500 200a = × × = 0.02 5 500 50b = × × = 6 506 1300 × = 506 1300 × = 2006 4300 × = A B 1 2 3 4, , ,C C C C 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A B AC AC AC AC 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),BC BC BC BC 1 2( , ),C C 1 3( , ),C C 1 4 2 3 2 4( , ),( , ),( , ),C C C C C C 3 4( , ),C C ( , ),A B 1 141 15 15 − = [0,100] [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] x 校住宿，请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿. 35 解：（Ⅰ）由直方图可得 . 所以 . （Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为： . 因为 .所以 600 名新生中有 72 名学生可 以申请住宿. 36.某中学高三（1）班有男同学 30 名，女同学 10 名，老师按照分层抽样的方法组建了一个 人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数； （Ⅱ）从这个小组中先后选出 2 名同学进行测试，求选出的 2 名同学中恰有一名女同学的概率. 36 解：（Ⅰ）设小组中有 名男同学，则 ， .所以小组中男、女同学的人数分别为 3,1. … （Ⅱ）把 名男同学和 名女同学分别记为 ，则选取两名同学的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，其中有一名女同学的基本事件有 种,所以选出的两名同学中恰有一 名女同学的概率为 37 某区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下（Ⅰ）求出表中 、 、 、 ，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图 ； （Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有 600 人，试估计这次测试中我区成绩在 分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分 析，求被选中 2 人分数不超过 30 分的概率．：（I）由频率分布表得 , 所以 ， ， ． Ⅱ）由题意知，全区 90 分以上学生估计 人．（3）设考试成绩在 内的 3 人分别为 A、B、C；考试成绩在 内的 3 人分 别为 a、b、c， 从不超过 60 分的 6 人中，任意抽取 2 人的结果有： (A，B)，(A，C)，(A ，a)，(A，b)，(A，c)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C， a)， (C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有 15 个. …设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D． 则事件 D 含有 3 个结果 (A，B)，(A，C) ，(B，C) ∴ ． 38.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”， 20 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1x× + × + × + × × = 600 0.12 72× = 4 x 45 60 4 x= 3x∴ = 3 1 1 2 3, , ,a a a b 12 6 分组 频数 频率 合计 0.0125x = 0.003 2 20=0.12´ ´ ( )21,aa ( )31,aa ( )ba ,1 ( )12 ,aa ( )32 ,aa ( )ba ,2 ( )13 ,aa ( )23 ,aa ( )ba ,3 ( )1,ab ( )2,ab ( )3,ab 2 1 12 6 ==P m n M N 90 3 1000.03M = = 100 (3 3 37 15) 42m = − + + + = 42 0.42100n = = 0.03 0.03 0.37 0.42 0.15 1N = + + + + = 42 15 600 342100 + × = ( ]0,30 ( ]30,60 3 1( ) 15 5P D = = (0,30] 3 0.03 (30,60] 3 0.03 (60,90] 37 0.37 (90,120] m n (120,150] 15 0.15 M N 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 分数 频率/组距 30 60 90 120 150 否则称为“非低碳族”．若小区内有至少 的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的 5 个居民小区中有三个非低 碳小区，两个低碳小区.（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区 ，调查显示其“低碳族”的比例为 ， 数据如图 1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区 是否达到“低碳小区”的标准？ 38 解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为 ，两个“低碳小区”为 用 表示选定的两个小区， ， 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个，它们是 ， ， ， , , , , , ， . 用 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则 中的 结果有 6 个，它们是： ， , , ， , . 故所求概率为 . （II）由图 1 可知月 碳排放量不超过 千克的成为“低碳族”. 由图 2 可知，三个月后的低碳族的比例为 ，所以三个月后小区 达到 了“低碳小区”标准. 39.今对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下： （I）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄 10 年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人，其中恰有一人教龄 在 5 年以下的概率是多少？ 40.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进 17 枝 玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式. （Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： O 月排放量 （百千克/户 户） 频率 组距 0.46 0.23 0.10 0.07 1 2 3 4 5 图 2 O 月排放量 （百千克/户 户） 频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 1 2 3 4 5 图 1 6 0.14 %75 A 2 1 A CBA ,, , ,m n ),( yx { }, , , , ,x y A B C m n∈ ( , )A B ( , )A C ( , )A m ( , )A n ( , )B C ( , )B m ( , )B n ( , )C m ( , )C n ( , )m n D D ( , )A m ( , )A n ( , )B m ( , )B n ( , )C m ( , )C n 6 3( ) 10 5P D = = 300 0.07 0.23 0.46 0.76 0.75+ + = > A 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率.【答案】 41. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和系统 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 。 （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 的值；（Ⅱ）求系统 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概 率。 命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力. 42.近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投 放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 其中 a＞0， =600。当数据 的方差 最大时， 写出 的值（结论不要求证明），并求此时 的值。 （注： ，其中 为数据 的平均数） 42 x A B A B 1 10 p 49 50 p A cba ,, cba ++ cba ,, 2s cba ,, 2s ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n −++−+−=  nxxx ,,, 21  43.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％（Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率） 43.（Ⅰ）由已知得 ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购 物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: (分钟). （Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算 时间为 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率，得 . 是互斥事件， . 44,袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 45.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球 3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概 率为 ，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率。 独立事件同时发生的概率计算公式知 x y 25 10 55, 35, 15, 20y x y x y+ + = + = ∴ = = 1 1 5 1 .5 3 0 2 2 5 2 .5 2 0 3 1 0 1 .91 0 0 × + × + × + × + × = 1 2 3, ,A A A 1.5 1 2 3 15 3 30 3 25 1( ) , ( ) , ( )100 20 100 10 100 4P A P A P A= = = = = = 1 2 3 1 2 3, , ,A A A A A A A=   且 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A P A P A∴ = = + +  3 3 1 7 20 10 4 10 = + + = 1 3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )p D p A B A B p A B A B A= + 1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A p B P A P B p A p B P A P B p A= + 2 2 2 22 1 2 1 1 4( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 27 = + = 46 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下： （Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率。 47 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个 向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋. (1) 写出数量积 X 的所有可能取值(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2 的只有 一种 数量积为-1 的有 , 六种 数量积为 0 的有 四种 数量积为 1 的有 四 种 故 所 有 可 能 的 情 况 共 有 15 种 . 所 以 小 波 去 下 棋 的 概 率 为 因 为 去 唱 歌 的 概 率 为 , 所 以 小 波 不 去 唱 歌 的 概 率 48．有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了 6 人. 请将其余各 组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽 取 人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人. (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支 2 5OA OA• 1 5OA OA• 1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • • 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • 1 7 15p = 2 4 15p = 2 4 111 1 15 15p p= − = − = 持支持 1 号歌手的概率为 · B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为 · 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支 持 1 号歌手的概率为 . 49 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求:(I)所取的 2 道题都是甲 类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为 样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. 50．某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一 株该种作物的年收货量 (单位:kg)与它的“相近”作物株数 之间的关系如下表所示: 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米.(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; (Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率.【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有 15 个格点, 3 2 6 2 9 2 6 2 3 2 =⋅=P 9 2 Y X 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示: Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 平均年收获量 . (Ⅱ)在 15 株中,年收获量至少为 48kg 的作物共有 2+4=6 个. 所以,15 株中任选一个,它的年收获量至少为 48k 的概率 P= . 51 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分 布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售 季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率. 6.．从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率; (2 用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 和 中各有 1 个的概率. 【答案】(1)重量在 的频率 ; (2)若采用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取 4 个,则重量在 的个数 ; 4615 342645448251 =⋅+⋅+⋅+⋅=u 4.015 6 = /频率 组距 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 100 110 120 130 140 150 需求量 /x t [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) [90,95) [80,85) [95,100) [80,85) [80,85) [95,100) [ )90,95 20 0.450 = = [ )80,85 [ )95,100 [ )80,85 5 4 15 15 = × =+ (3) 设 在 中 抽 取 的 一 个 苹 果 为 , 在 中 抽 取 的 三 个 苹 果 分 别 为 , 从 抽 出 的 个 苹 果 中 , 任 取 个 共 有 种情况,其中符合“重量在 和 中各有一个”的情况共有 种; 设“抽出的 个苹果中,任取 个,求重量在 和 中各有一个”为事件 ,则事件 的概率 ; 51．某小组共有 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 2)如下表所示: A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 【答案】 52．下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日 至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天. (Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 【答案】解:(I)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日.2 日.3 日.7 日.12 日.13 日共 6 天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 . (II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”.所以此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率为 . (III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 53 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 药, 药)的疗效,随机地选取 位患者服用 药, 位患者服用 药,这 位患者服用一段时间后,记录他们 日平均增加的睡眠时间(单位: ),试验的观测结果如下:服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间: 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 A B C D E、 、 、 、 [ )80,85 x [ )95,100 , ,a b c 4 2 ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x a x b x c a b a c b c 6 [ )80,85 [ )95,100 ( , ),( , ),( , )x a x b x c 4 2 [ )80,85 [ )95,100 A A 3 1( ) 6 2P A = = 6 13 4 13 A B 20 A 20 B 40 h A 20 服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间: 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? (1) 设 A 药 观 测 数 据 的 平 均 数 为 ,B 药 观 测 数 据 的 平 均 数 为 , 又 观 测 结 果 可 得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3 由以上计算结果可得 > ,可看出 A 药的疗效更好 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A 药 B 药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3. 2 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 1 解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标 记未超标的 4 天为 ,超标的两天为 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为: , 基 本 事 件 总 数 为 15 (Ⅰ) 记 “ 至 多 有 一 天 空 气 质 量 超 标 ” 为 事 件 , 则 “ 两 天 都 超 标 ” 为 事 件 , 易 得 , 所 以 (Ⅱ) 天中空气质量达到一级或二级的频率为 , 估计一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级 (说明:答 243 天,244 天不扣分) 2 解:5 名学生数学成绩的平均分为: 5 名学生数学成绩的方差为: 5 名学生物理成绩的平均分为: 5 名学生物理成绩的方差为: 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有: B 20 1 20x = 1 (0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.120 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.6 y = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = x y 7 10 1 2 3 4, , ,w w w w 1 2,c c 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2, , , , , , , , , , , , , ,w w w w w w w c w c w w w w w c w c w w w c w c w c w c c c A A 1( ) 15P A = 1 14( ) 1 ( ) 1 15 15P A P A= − = − = 6 4 2 6 3 = 2 1365 2433 3 × = 12433 93)9795939189(5 1 =++++ 8])9397()9395()9393()9391()9389[(5 1 22222 =−+−+−+−+− 90)9392898987(5 1 =++++ 5 24])9093()9092()9089()9089()9087[(5 1 22222 =−+−+−+−+− ,21 AA ,31 AA ,41 AA ,51 AA ,32 AA ,42 AA ,52 AA 共 10 个. 事件 A 包含基本事件有: 共 7 个. 所 以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率 . 3.【答案】在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 解:(Ⅰ)设“a 能获一等奖”为事件 A, 事件 A 等价于事件“从 6 人中随机取抽两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、 e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15 个, 包含 a 的有 5 个,所以,P(A)= , 答: a 能 获一等奖的概率为 (Ⅱ)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、 (f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16 个, 其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)= , 答: 若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为 4 解:(Ⅰ)由题意可知 ,解得 . 所以此次测试总人数为 . 答: 此 次 参 加 “ 掷 实 心 球 ” 的 项 目 测 试 的 人 数 为 40 人 (Ⅱ) 由 图 可 知 , 参 加 此 次 “ 掷 实 心 球 ” 的 项 目 测 试 的 初 二 男 生 , 成 绩 优 秀 的 频 率 为 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为 (Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男 生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在 有 2 人,记为 ;在 有 6 人,记为 . 从这 8 人中随机抽取 2 人有 , 共 28 种情况. 事件 A 包括 共 12 种情况. 【5 答案】解:(Ⅰ)第 1 组人数 , 所以 , 第 2 组人数 ,所以 , 第 3 组人数 ,所以 , 第 4 组人数 ,所以 第 5 组人数 ,所以 (Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 人, 人,人 (Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 ,第 3 组的记为 ,第 4 组的记为 ,则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们 是: , , , , , , , , , , , , , , 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,它们是: , , , , , , , , 故所求概率为 6 答案】解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 (II) 求 该 考 场 考 生 “ 数 学 与 逻 辑 ” 科 目 的 平 均 分 为 [ )2,4 ,a b [ )4,6 , , , , ,A B C D E F , , , , , , , , , , , ,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF , , , , , , , , , , , , , ,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF , , , , , , , , , , ,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 105.05 =÷ 1001.010 =÷=n 202.0100 =× 189.020 =×=a 303.0100 =× 9.03027 =÷=x 2525.0100 =× 936.025 =×=b 1515.0100 =× 2.0153 =÷=y 1:3:29:27:18 = 2 3 21,aa 321 ,, bbb c ),( 21 aa ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 1 ca ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 2 ca ),( 21 bb ),( 31 bb ),( 1 cb ),( 32 bb ),( 2 cb ),( 3 cb ),( 21 aa ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 1 ca ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 2 ca 5 3 15 9 = ,43 AA ,53 AA ,54 AA ,41 AA ,51 AA ,42 AA ,52 AA ,43 AA ,53 AA ,54 AA 10 7)( =AP则 10 7 5 1 15 3 = 1 3 7 16 7 16 (0.2 0.15 0.075 0.025) 2 1a+ + + + × = 0.05a = 4 400.05 2 =× (0.15 0.05) 2 0.4+ × = 0.4 10 0.25 40÷ = 40 (1 0.375 0.375 0.15 0.025) 40 0.075 3× − − − − = × = (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 {甲,乙},{甲, 丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} ,一共有 6 个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事 件有 1 个,则 7(Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 元”为事件 , 则 . 所以甲临时停车付费恰为 元的概率是 (Ⅱ) 解 : 设 甲 停 车 付 费 元 , 乙 停 车 付 费 元 , 其 中 则 甲 、 乙 二 人 的 停 车 费 用 构 成 的 基 本 事 件 空 间 为 : ,共 种情形 其中, 这 种情形符合题意 故“甲、乙二 人停车付费之和为 元”的概率为 8.解:(Ⅰ)由题意可得 ,所以 , . (Ⅱ)记从高二年级抽取的 人为 , , ,从高三年级抽取的 人为 , , 则从这两个年级中抽取的 人中选 人的基本事件有: , , , , , , , , , 共 种 设选中的 人都来自高二的事件为 , 则 包含的基本事件有: , , 共 种. 因此 . 故选中的 人都来自高二的概率为 9 解:(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为: . , 故在优秀等级的学生中应 抽取 份. (Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 . 因为 , , ,且 , 为正整数, 所以数组 的可能取值为: , , ,, ,共 个. 其中满足 的数组 的所有可能取值为: , , , , 共 5 个,即事件 包含的基本事件数为 . 所以 . 1 (40 0.2) 2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075) 2.940 × × + × × + × × + × × + × × = {Ω = } 1( ) 6P B = 6 A 4 1)12 5 3 1(1)( =+−=AP 6 4 1 a b , 6,14,22,30a b = (6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30) 16 (6,30),(14,22),(22,14),(30,6) 4 36 4 1 16 4P = = 2 99 27 18 x y= = 11x = 3y = 3 1b 2b 3b 2 1c 2c 5 2 1 2( , )b b 1 3( , )b b 1 1( , )b c 1 2( , )b c 2 3( , )b b 2 1( , )b c 2 2( , )b c 3 1( , )b c 3 2( , )b c 1 2( , )c c 10 2 A A 1 2( , )b b 1 3( , )b b 2 3( , )b b 3 3( ) 0.310P A = = 2 0.3 2000 (380 373 370 377) 500x y+ = − + + + = 80500 202000 × = 20 A 500x y+ = 245x ≥ 245y ≥ x y ( , )x y (245,255) (246,254) (247,253) (255,245) 11 x y> ( , )x y (255,245) (254,246) (253,247) (252,248) (251,249) A 5 5( ) 11P A = 10 11 答案】(Ⅰ)由题可知 的取值为 , 的取值为 基本事件空间: 共计 24 个基本事件 满足 的有 共 2 个基本事件 所以事件 的概率为 (Ⅱ)设事件 B=“点(a,b)满足 ” 当 时, 满足 当 时, 满足 当 时, 满足 所以满足 的有 , 所以 12 答案】解:设高中部三名候选 人为 A1,A2,B.初中部三名候选人为 a,b1,b2 (I)由题意,从初高中各选 1 名同学的基本事件有 (A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2), (B,a),(B,b1),(B,b2), 共 9 种 设“2 名同学性别相同”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件, 概率 P(E)= 所以,选出的 2 名同学性别相同的概率是 (II)由题意,从 6 名同学中任选 2 人的基本事件有 (A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,B), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a), (B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2) 共 15 种 设“2 名同学来自同一学部”为事件F,则事件 F 包含 6 个基本事件, 概率 P(F)= 13 答: ( (Ⅰ) , Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件 A, 身高在 180 以上的学生别记为 a,b,c,d,e,其中 a,b 属于第一组,c,d,e 属于第二组. 从五位同学中随机选出两位的结果是如下 10 种: (a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e). 其 中 两 位 同 学 在 同 一 小 组 的 4 种 结 果 是 :(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) a 0,1,2,3,4,5 b 6,7,8,9 Ω = {(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8), }(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9) 3b a= (2,6), (3,9) 3b a= 2 1 24 12 = 2 2( 5) 9a b+ − ≤ 8b = 0a = 2 2( 5) 9a b+ − ≤ 7b = 0,1,2b = 2 2( 5) 9a b+ − ≤ 6b = 0,1,2b = 2 2( 5) 9a b+ − ≤ 2 2( 5) 9a b+ − ≤ (0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7) 7( ) 24P B = 9 4 9 4 5 2 51 6 = 1 1 (168 168 169 170 171 171 175 175 181 182) 17310x cm= + + + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 1 168 173 168 173 169 173 ... 181 173 182 173 23.610S cm = − + − + − + + − + − =  ∴ . 14【答:()根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的 思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数为 人 (Ⅱ)成绩在 分数段内的人数为 人 成绩在 分数段内的人数为 人, [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办 法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 , 甲 BC, 甲 BD,甲 B ,甲 CD, 甲 C , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , ACD, ACE, ADE 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的 概率为 15:(Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 的频率为 , 所以,40 名学生中成绩在区间 的学生人数为 (人) (Ⅱ)设 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一 名学生成绩在区间 内”, 由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 , 成 绩 在 区 间 内 的 学 生 有 2 人 , 记 这 两 个 人 分 别 为 则 选 取 学 生 的 所 有 可 能 结 果 为 : , 基 本 事 件 数 为 15, 事 件 “ 至 少 一 人 成 绩 在 区 间 之 间 ” 的 可 能 结 果 为 : , 基本事件数为 9, 所以 16(1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率. 解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以平均数为 方差为 (2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次数大于 8 的学 生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4 用 C 表示:“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件,则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 概率为 17 解:(Ⅰ) (Ⅱ)由题 意知,三个批次的人数分别是 ,所以被选取的人数分别为 (Ⅲ)第一批次选取三教师设 ,第二批次的教师为 ,第三批次的教师设为 ,则从这 名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空 间为 共 15 个 “来自两个批次”的事件包括 共 11 个, 所以“来自两个批次”的概 率 1 10 (0.004 0.010) 0.86− × + = 1000 0.86 860× = [ )40,50 50 0.04 2× = [ ]90,100 50 0.1 5× = E E E E E 4 1 20 5P = = [80,90) 1 (0.005 2 0.015 0.020 0.045) 10 0.1− × + + + × = [80,90) 40 0.1 4× = A [90,100] [80,90) , , ,a b c d [90,100] ,e f ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a b a c a d a e a f b c b d b e b f ( , ),( , ),( , )c d c e c f ( , ),( , ),( , )d e d f e f [90,100] ( , ),( , ),( , ),( , ),a e a f b e b f ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )c e c f d e d f e f 9 3( ) 15 5P A = = ;94 12987 =+++=x .2 7])912()99()98()97[(4 1 22222 =−+−+−+−=s .3 1 15 5)( ==CP 5 2 10 4)( ==AP 360 0.15 54, 360 0.1 36x y= × = = × = 360 86 54 36 94 66 24z = − − − − − = 180,120,60 3,2,1 1 2 3, ,A A A 1 2,B B C 6 { 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , }A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B B C B CΩ = {1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2, , , , , , , , , , }A B A B AC A B A B A C A B A B A C B C B CΩ = 11 15p = 18(Ⅰ)第六组的频率为 ,所以第七组的频率为 ; (Ⅱ)身高在第一组[155,160) 的频率为 , 身高在第二组[160,165)的频率为 , 身高在第三组[165,170)的频率为 , 身高在第四组[170,175)的频率为 , 由 于 , 估 计 这 所 学 校 的 800 名 男 生 的 身 高 的 中 位 数 为 , 则 由 得 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 由直方图得后三组频率为 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数 为 人 (Ⅲ) 第 六 组 的 人 数 为 4 人 , 设 为 , 第 八 组 [190,195] 的 人 数 为 2 人 , 设 为 , 则 有 共 15 种情况, 因事件 { }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 包含的基本事件为 共 7 种情况,故 由于 ,所以事件 { }是不可能事件, 由于事件 和事件 是互斥事件, 所以 19 :20 21【答案】解:(1)由频率分布直方图知,成绩在 内的人数为: (人) 所以该班成绩良好的人数为 人 (2)由频率分布直方图知,成绩在 的人数为 人,设为 、 ; 成绩在 的人数为 人,设为 、 、 、 4 0.0850 = 1 0.08 5 (0.008 2 0.016 0.04 2 0.06) 0.06− − × × + + × + = 0.008 5 0.04× = 0.016 5 0.08× = 0.04 5 0.2× = 0.04 5 0.2× = 0.04 0.08 0.2 0.32 0.5+ + = < 0.04 0.08 0.2 0.2 0.52 0.5+ + + = > m 170 175< x y ( ) 0P F = E F 7( ) ( ) ( ) 15P E F P E P F= + = [14,16) 50 0.28 50 0.36 32× + × = 32 [13,14) 50 0.04 2× = x y [17,18) 50 0.08 4× = A B C D 若 时,有 种情况; 若 时,有 种情况; 若 分别在 和 内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD 共有 种情况 所以基本事件总数为 种,事件“ ”所包含的基本事件个数有 种. ∴ ( ) 22 23 解:(Ⅰ)设第 组的频率为 ,则由频率分布直方图知 23.所以成绩在 85 分以上的同学的概率 P≈ 故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 1000×0.38=380 人. (Ⅱ)设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00 乙 00,甲 00 乙 10,甲 00 乙 01,甲 00 乙 11,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01, 甲 10 乙 11,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01,甲 01 乙 11,甲 11 乙 00,甲 11 乙 10, 甲 11 乙 01,甲 11 乙 11,共 16 个 甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00 乙 00,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01, 甲 11 乙 00,甲 11 乙 01,甲 11 乙 10,甲 11 乙 11,共 11 个 故甲比乙优先获得高 考加分资格的概率为 . 24 解:(1)第一组的人数为 50,第一组的频率为 ,所以 人 所以光盘族占比为 , [13,14)m n∈ xy 1 , [17,18)m n∈ , , , , ,AB AC AD BC BD CD 6 ,m n [13,14) [17,18) 8 15 | | 1m n− > 8 P | | 1m n− > 15 8= ( 1,2,3,4)i i = if 4 1 (0.014 0.03 0.036) 10 0.2f = − + + × = 3 4 0.036 10+ 0.2 0.38,2 2 f f ×= + = 11 16 0.05 50 10000.05n = = 520 52%1000 = 25 26 解答:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1 (2)从日用品 , , , , 中任取两件,所有可能结果 ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )共 10 种, 设事件 A:“从日用品 , , , , 中任取两件,其等级 系数相等”,则 A 包的基本事件( , ),( , ),( , ),( , )共 4 个, 故所求的概率 P(A)= =0.4 27 28 解 :(1) 设 “ 甲 胜 且 点 数 的 和 为 6” 为 事 件 A, 甲 的 点 数 为 x, 乙 的 点 数 为 y, 则 (x,y) 表 示 一 个 基 本 事 件 两 人 取 牌 结 果 包 括 3 20 2 20 1X 2X 3X 1Y 2Y 1X 2X 1X 3X 1X 1Y 1X 2Y 2X 3X 2X 1Y 2X 2Y 3X 1Y 3X 2Y 1Y 2Y 1X 2X 3X 1Y 2Y 1X 2X 1X 3X 1X 2X 1Y 2Y 4 10 (1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,1),(6,6)共 36 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3)(4,2),(5,1)共 5 个, 所以 所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为 (2)这种游戏公平.设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶数 所包含基本事件为以下 18 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3)(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) 所以甲胜的概率为 31 解:(Ⅰ)家长委员会人员总数为 54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为 ,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为 3,1,2 人 (Ⅱ) 设 为 从 高 一 抽 得 的 3 个 家 长 , 为 从 高 二 抽 得 的 1 个 家 长 , 为 从 高 三 抽 得 的 2 个 家 长 . 则 抽 取 的 全 部 结 果 有:( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( )共 15 种, 令 “至少有一人是高三学生家长”,结果有( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )共 9 种 所以这 2 人中至少有 1 人是高三学生家长的概率是 32 解：设从（ ）班抽取的人数为 ，依题意得 ，所以 ，研究性学习小组的人数为 ． （Ⅱ）设研究性学习小组中（ ）班的 人为 ，（ ）班的 人为 ． 次交流活动中，每次随机抽取 名同学发言的基本事件为： 36 5=）（AP 36 5 2 1 36 18;2 1 36 18)( ==== ）（乙胜的概率为 CPBP )()( CPBP =∴ .这种游戏规则是公平的∴ 6 1 108 18 = 1 2 3, ,A A A 1B 1 2,C C 1 2,A A 1 3,A A 1 1,A B 1 1,A C 1 2,A C 2 3,A A 2 1,A B 2 1,A C 2 2,A C 3 1,A B 3 1,A C 3 2,A C 1 1,B C 1 2,B C 1 2,C C X = 1 1,A C 1 2,A C 2 1,A C 2 2,A C 3 1,A C 3 2,A C 1 1,B C 1 2,B C 1 2,C C 9 3( ) .15 5P X = = 1 m 27 3 18 =m 2m = 3 5m + = 1 2 1 2,a a 2 3 1 2 3, ,b b b 2 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种． 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种． 所以 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 ． 33.解：由题意，该实验的基本事件有（甲 A，乙 A），（甲 A，乙 B），（甲 A，乙 C），（甲 A，乙 D），（甲 B，乙 A），（甲 B，乙 B），（甲 B，乙 C），（甲 B，乙 D）， （甲 C，乙 A），（甲 C，乙 B），（甲 C，乙 C），（甲 C，乙 D），（甲 D，乙 A），（甲 D，乙 B），（甲 D，乙 C），（甲 D，乙 D） 共 16 种 （I）设“甲乙选择同一所院校”为事件 E，则事件 E 包含 4 个基本事件，概率 P(E)= （II）设“院校 A、B 至少有一所被选择”为事件 F，则事件 F 包含 12 个基本事件，概率 P(F)= （III）设“院校 A 没有被选择”为事件 G，则事件 G 包含 9 个基本事件，概率 P(G)= 34 解：(Ⅰ)由题设可知， ， . (Ⅱ) 因为第 1，2，3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为：第 1 组的人数为 ，第 2 组的人数为 ， 第 3 组的人数为 ， 所以第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人． ( Ⅲ ) 设 第 1 组 的 1 位 同 学 为 ， 第 2 组 的 1 位 同 学 为 ， 第 3 组 的 4 位 同 学 为 ， 则 从 六 位 同 学 中 抽 两 位 同 学 有 共 种可能． 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有： 共 1 种可能， …所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 ． 35 解：（Ⅰ）由直方图可得 . 所以 . （Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为： . 因为 .所以 600 名新生中有 72 名学生可 以申请住宿. 36 解：（Ⅰ）设小组中有 名男同学，则 ， .所以小组中男、女同学的人数分别为 3,1. … （Ⅱ）把 名男同学和 名女同学分别记为 ，则选取两名同学的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，其中有一名女同学的基本事件有 种,所以选出的两名同学中恰有一 名女同学的概率为 37（I）由频率分布表得 , 所以 ， 15 20 0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1x× + × + × + × × = 600 0.12 72× = x 45 60 4 x= 3x∴ = 3 1 1 2 3, , ,a a a b 12 6 1 1( , )a a ),( 21 aa ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 12 aa 2 2( , )a a ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 11 ab ),( 21 ab 1 1( , )b b ),( 21 bb ),( 31 bb ),( 12 ab ),( 22 ab 2 1( , )b b 2 2( , )b b ),( 32 bb ),( 13 ab ),( 23 ab 3 1( , )b b ),( 23 bb 3 3( , )b b 25 2 ),( 11 ba ),( 21 ba ),( 31 ba ),( 12 ba ),( 22 ba ),( 32 ba ),( 11 ab ),( 21 ab ),( 12 ab ),( 22 ab ),( 13 ab ),( 23 ab 12 2 12 25P = 4 1 16 4 = 4 3 16 12 = 16 9 0.08 5 500 200a = × × = 0.02 5 500 50b = × × = 6 506 1300 × = 506 1300 × = 2006 4300 × = A B 1 2 3 4, , ,C C C C 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A B AC AC AC AC 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),BC BC BC BC 1 2( , ),C C 1 3( , ),C C 1 4 2 3 2 4( , ),( , ),( , ),C C C C C C 3 4( , ),C C ( , ),A B 1 141 15 15 − = 0.0125x = 0.003 2 20=0.12´ ´ ( )21,aa ( )31,aa ( )ba ,1 ( )12 ,aa ( )32 ,aa ( )ba ,2 ( )13 ,aa ( )23 ,aa ( )ba ,3 ( )1,ab ( )2,ab ( )3,ab 2 1 12 6 ==P 3 1000.03M = = 100 (3 3 37 15) 42m = − + + + = ， ． Ⅱ）由题意知，全区 90 分以上学生估计 人．（3）设考试成绩在 内的 3 人分别为 A、B、C；考试成绩在 内的 3 人分 别为 a、b、c， 从不超过 60 分的 6 人中，任意抽取 2 人的结果有： (A，B)，(A，C)，(A ，a)，(A，b)，(A，c)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(B， c)，(C，a)， (C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有 15 个. …设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D． 则事件 D 含有 3 个结果 (A，B)， (A，C) ，(B，C) ∴ ． 38 解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为 ，两个“低碳小区”为 用 表示选定的两个小区， ， 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个，它们是 ， ， ， , , , , , ， . 用 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则 中的 结果有 6 个，它们是： ， , , ， , . 故所求概率为 . （II）由图 1 可知月 碳排放量不超过 千克的成为“低碳族”. 由图 2 可知，三个月后的低碳族的比例为 ，所以三个月后小区 达到 了“低碳小区”标准. 42 42 0.42100n = = 0.03 0.03 0.37 0.42 0.15 1N = + + + + = 42 15 600 342100 + × = ( ]0,30 ( ]30,60 3 1( ) 15 5P D = = CBA ,, , ,m n ),( yx { }, , , , ,x y A B C m n∈ ( , )A B ( , )A C ( , )A m ( , )A n ( , )B C ( , )B m ( , )B n ( , )C m ( , )C n ( , )m n D D ( , )A m ( , )A n ( , )B m ( , )B n ( , )C m ( , )C n 6 3( ) 10 5P D = = 300 0.07 0.23 0.46 0.76 0.75+ + = > A 43.（Ⅰ）由已知得 ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购 物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: (分钟). （Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算 时间为 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率，得 . 是互斥事件， . 独立事件同时发生的概率计算公式知 47】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2 的只有 一种 数量积为-1 的有 , 六种 数量积为 0 的有 四种 数量积为 1 的有 四 种 故 所 有 可 能 的 情 况 共 有 15 种 . 所 以 小 波 去 下 棋 的 概 率 为 因 为 去 唱 歌 的 概 率 为 , 所 以 小 波 不 去 唱 歌 的 概 率 48 解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人. (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支 持支持 1 号歌手的概率为 · B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为 · 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支 3 2 6 2 9 2 6 2 3 2 =⋅=P 25 10 55, 35, 15, 20y x y x y+ + = + = ∴ = = 1 1 5 1 .5 3 0 2 2 5 2 .5 2 0 3 1 0 1 .91 0 0 × + × + × + × + × = 1 2 3, ,A A A 1.5 1 2 3 15 3 30 3 25 1( ) , ( ) , ( )100 20 100 10 100 4P A P A P A= = = = = = 1 2 3 1 2 3, , ,A A A A A A A=   且 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A P A P A∴ = = + +  3 3 1 7 20 10 4 10 = + + = 1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )p D p A B A B p A B A B A= + 1 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A p B P A P B p A p B P A P B p A= + 2 2 2 22 1 2 1 1 4( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 27 = + = 2 5OA OA• 1 5OA OA• 1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • • 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA• • • • 1 7 15p = 2 4 15p = 2 4 111 1 15 15p p= − = − = 持 1 号歌手的概率为 . 49 【50】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有 15 个格点, 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示: Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 平均年收获量 . (Ⅱ)在 15 株中,年收获量至少为 48kg 的作物共 2+4=6 个. 所以,15 株中任选一个,它的年收获量至少为 48k 的概率 P= . 51 【53】 9 2 4615 342645448251 =⋅+⋅+⋅+⋅=u 4.015 6 = 54 解:(I)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日.2 日.3 日.7 日.12 日.13 日共 6 天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是 . (II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”.所以此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率为 . (III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 55(1) 设 A 药 观 测 数 据 的 平 均 数 为 ,B 药 观 测 数 据 的 平 均 数 为 , 又 观 测 结 果 可 得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3 由以上计算结果可得 > ,可看出 A 药的疗效更好 (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A 药 B 药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3. 2 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 6 13 4 13 1 20x = 1 (0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.120 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.6 y = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = x y 7 10