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- 2021-05-13 发布
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2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
(2)设集合A={x|},B={x|0<x<3},那么“mA”是“mB”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为
A.63 B.64 C.127 D.128
(4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为
A.3 B.0 C.-1 D.-2
(5)某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A. B. C. D.
(6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, AA1=1, 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A. B. C. D.
(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为
A.14 B.24 C.28 D.48
(8)若实数x、y满足 x-y+1≤0,则的取值范围是
x>0
A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞]
(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y= -f′(x)的图象,则m的值可以为
A. B. C.- D.-
(10)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为
A. B. C.或 D. 或
(11)双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
(12)已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)
x=1+cos
(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin (为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是 .
(15)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 .
(16)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b, ab、 ∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集也是数域.有下列命题:
①整数集是数域; ②若有理数集,则数集M必为数域;
③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知向量m=(sinA,cosA),n=,m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数的值域.
(18)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
(19)(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n, Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1, a)内的极值.
(20)(本小题满分12分)
某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望E.
(21)(本小题满分12分)
如图、椭圆(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动,恒有,求a的取值范围.
(22)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记f(x)在区间(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.
(Ⅲ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;
(Ⅳ)求证:
数学试题(理工农医类)答案解析
数 学(理工类)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)解析:由得,且(纯虚数一定要使虚部不为0)
答案 B
(2)解析:由得,可知“”是“”的充分而不必要条件
答案 A
(3)解析:由及{an}是公比为正数得公比,所以
答案 C
(4)解:为奇函数,又
故即.
答案 B
(5)解:独立重复实验,
答案 B
(6)解:连与交与O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成角.
,,
答案 D
(7) 解:6人中选4人的方案种,没有女生的方案只有一种,
所以满足要求的方案总数有14种
答案 A
(8)解:由已知,,又,故的取值范围是
答案 C
(9)解:,而的图象按向量 平移后
得到,所以,故可以为.
答案 A
(10)解: 由得即
,又在△中所以B为或
答案 D
(11)解:如图,设,,当P在右顶点处,
∵,∴
另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。
答案 B
(12) 解:从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)
导函数是增函数,增加越来越快.
答案 D
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)
解:令,令得
所以
(14)
解:圆心为,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得
,即,
(15)
解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.
,
(16)
解:①对除法如不满足,所以排除,
②取,对乘法, ③④的正确性容易推得。
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ) 由题意得
由A为锐角得
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
所以
因为x∈R,所以,因此,当时,f(x)有最大值.
当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是
(18)(本小题满分12分)
解法一:
(Ⅰ)证明:在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OB∥DC.
由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO为锐角,
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,
所以OB=,
在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,tan∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角是
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.
设QD=x,则,由(Ⅱ)得CD=OB=,
在Rt△POC中,
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos,
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即,
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由,得
解y=-或y=(舍去),此时,
所以存在点Q满足题意,此时.
(19)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)证明: 因为所以,
由点在函数的图象上,
, 又
所以,是的等差数列
所以,又因为,所以,
故点也在函数的图象上.
(Ⅱ)解:,令得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到,从而
①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值.
(20)(本小题满分12分)
解:设“科目A第一次考试合格”为事件,“科目A补考合格”为事件;“科目B第一次考试合格”为事件,“科目B补考合格”为事件
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为,注意到与相互独立,
则.
答:该考生不需要补考就获得证书的概率为.
(Ⅱ)由已知得,=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
故
答:该考生参加考试次数的数学期望为.
(21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,
所以,
因此,椭圆方程为
(Ⅱ) 设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:
整理得
所以
因为恒有,所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又,所以对恒成立,
即对恒成立,当时,最小值为0,
所以, ,
因为,即,
解得或(舍去),即,
综合(i)(ii),a的取值范围为.
所以<(nN*),
则<