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  • 2021-05-13 发布

福建高考理科数学试卷及答案解析文字版

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‎2008年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)若复数(a2‎-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 A.1 B‎.2 ‎ C.1或2 D.-1‎ ‎(2)设集合A={x|},B={x|0<x<3},那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为 A.63 B‎.64 ‎ C.127 D.128‎ ‎(4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 B‎.0 ‎ C.-1 D.-2‎ ‎(5)某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎(6)如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=BC=2, AA1=1, 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B‎.24 ‎ C.28 D.48‎ ‎(8)若实数x、y满足 x-y+1≤0,则的取值范围是 ‎ x>0‎ ‎ A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞]‎ ‎(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y= -f′(x)的图象,则m的值可以为 A. B. C.- D.- ‎ ‎(10)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 A. B. C.或 D. 或 ‎(11)双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ ‎ (12)已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎(13)若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)‎ ‎ x=1+cos ‎(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin (为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是 .‎ ‎(15)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是    .‎ ‎(16)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b, ab、 ∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集也是数域.有下列命题:‎ ‎   ①整数集是数域; ②若有理数集,则数集M必为数域;‎ ‎③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.‎ 其中正确的命题的序号是    .(把你认为正确的命题的序号都填上)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎   已知向量m=(sinA,cosA),n=,m·n=1,且A为锐角.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数的值域.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎   如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎   已知函数.‎ ‎  (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n, Sn)也在y=f′(x)的图象上;‎ ‎  (Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1, a)内的极值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。‎ 现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。‎ ‎  (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率;‎ ‎  (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望E.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎   如图、椭圆(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.‎ ‎   ‎ ‎(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;‎ ‎  (Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动,恒有,求a的取值范围.‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ ‎   已知函数f(x)=ln(1+x)-x ‎    (Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎  (Ⅱ)记f(x)在区间(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.‎ ‎ (Ⅲ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;‎ ‎(Ⅳ)求证: ‎ 数学试题(理工农医类)答案解析 数 学(理工类)‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)解析:由得,且(纯虚数一定要使虚部不为0)‎ 答案 B ‎(2)解析:由得,可知“”是“”的充分而不必要条件 答案 A ‎ (3)解析:由及{an}是公比为正数得公比,所以 答案 C ‎(4)解:为奇函数,又 故即.‎ 答案 B ‎ (5)解:独立重复实验,‎ 答案 B ‎(6)解:连与交与O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成角.‎ ‎ ,,‎ ‎ ‎ 答案 D ‎ (7) 解:6人中选4人的方案种,没有女生的方案只有一种,‎ 所以满足要求的方案总数有14种 答案 A ‎(8)解:由已知,,又,故的取值范围是 答案 C ‎ ‎ ‎(9)解:,而的图象按向量 平移后 得到,所以,故可以为.‎ 答案 A ‎(10)解: 由得即 ‎,又在△中所以B为或 答案 D ‎(11)解:如图,设,,当P在右顶点处,‎ ‎∵,∴‎ 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。‎ 答案 B ‎ ‎ ‎ (12) 解:从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)‎ 导函数是增函数,增加越来越快.‎ 答案 D 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎(13)‎ 解:令,令得 ‎ 所以 ‎ ‎(14) ‎ 解:圆心为,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得 ‎,即,‎ ‎(15)‎ 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.‎ ‎ ,‎ ‎(16)‎ ‎ 解:①对除法如不满足,所以排除,‎ ‎②取,对乘法, ③④的正确性容易推得。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎  ‎ 解:(Ⅰ) 由题意得 ‎ ‎     由A为锐角得 ‎ ‎   (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ‎     所以 ‎     因为x∈R,所以,因此,当时,f(x)有最大值.‎ ‎     当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是 ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎  ‎ ‎ 解法一:‎ ‎  (Ⅰ)证明:在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD,‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC,‎ 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OB∥DC.‎ 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO为锐角,‎ 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.‎ 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,‎ 所以OB=,‎ 在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,‎ 在Rt△PBO中,tan∠PBO=‎ 所以异面直线PB与CD所成的角是 ‎(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.‎ ‎   设QD=x,则,由(Ⅱ)得CD=OB=,‎ ‎   在Rt△POC中, ‎ 所以PC=CD=DP, ‎ 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),‎ ‎ 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos,‎ ‎ (Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,‎ 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).‎ 则所以即,‎ 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).‎ 设由,得 解y=-或y=(舍去),此时,‎ 所以存在点Q满足题意,此时.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎  ‎ 解:(Ⅰ)证明: 因为所以,‎ 由点在函数的图象上,‎ ‎, 又 ‎ 所以,是的等差数列 ‎ 所以,又因为,所以,‎ ‎ 故点也在函数的图象上.‎ ‎ (Ⅱ)解:,令得.‎ 当x变化时,﹑的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 注意到,从而 ‎①当,此时无极小值;‎ ‎②当的极小值为,此时无极大值;‎ ‎③当既无极大值又无极小值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎  ‎ ‎ 解:设“科目A第一次考试合格”为事件,“科目A补考合格”为事件;“科目B第一次考试合格”为事件,“科目B补考合格”为事件 ‎ (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为,注意到与相互独立,‎ 则.‎ 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由已知得,=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 答:该考生参加考试次数的数学期望为.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎  ‎ ‎ 解:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,‎ 因为△MNF为正三角形,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 因此,椭圆方程为 ‎(Ⅱ) 设 ‎ (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时,‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,‎ ‎ 设直线AB的方程为:‎ ‎ 整理得 ‎ 所以 ‎ 因为恒有,所以AOB恒为钝角.‎ ‎ 即恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又,所以对恒成立,‎ 即对恒成立,当时,最小值为0,‎ 所以, ,‎ 因为,即,‎ 解得或(舍去),即,‎ 综合(i)(ii),a的取值范围为.‎ 所以<(nN*),‎ 则<‎ ‎ ‎