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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
本试卷共6页,150分。考试时长120分钟,。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
A. B. C. D.
5.设、是实数,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件
6.已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
7.已知圆和两点,,若圆上存在点
,使得,则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率
与加工时间(单位:分钟)学 科网满足的函数关系(、、是常数),下图
记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
第2部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.若,则 .
10.设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为
.
11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
12.在中,,,,则 ; .
13.若、满足,则的最小值为 .
14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这
项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,学科 网再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都
完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题满分13分)已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
16.(本小题满分13分)函数的部分图象如图所示.
(1)写出的最小正周期及图中、的值;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
17.(本小题满分14分)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,,、分别为、的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.
18. (本小题满分13分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
19. (本小题满分14分)
已知椭圆C:.
(1) 求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
20. (本小题满分13分)
已知函数.
(1)求在区间上的最大值;
(2)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;
(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)