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- 2021-05-13 发布
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一九九三年全国高考数学试题
理科试题
一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为2,焦距为6,那么离心率是 ( C )
(A) (B) (C) (D)2
(2)函数的最小正周期是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是
(A)450 (B)600 (C)900 (D)1200 ( C )
(4)当时,的值等于 ( D )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是 ( C )
(A) (B)
(C) (D)
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB ( B )
(A)有最大值和最小值0 (B)有最大值,但无最小值
(C)即无最大值也无最小值 (D)有最大值1,但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列中,若,则 ( B )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)
(8)是偶函数,且不恒等于零,则
(A)是奇函数 (B)是偶函数 ( A )
(C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数
(9)曲线的参数方程为,则曲线是 ( A )
(A)线段 (B)双曲线的一支 (C)圆弧 (D)射线
(10)若是任意实数,且,则 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(11)已知集合,那么为区间 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 ( C )
(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆
(13)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是
(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥( D )
(14)如果圆柱轴截面的周长为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(15)由展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有 ( B )
(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项
(16)设都是正数,且,那么 ( B )
(A) (B) (C) (D)
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 ( B )
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
(18)已知异面直线所成角为500,P为空间一定点,则过点P且与所成的角都是300的直线有且仅有 ( B )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
二.填空题:本大题共6小题;每小题3分,共18分。把答案填在题中横线上。
(19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为________________.
[答]:2
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为1200。若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m).
[答]:17.3
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共_________种(用数字作答).
[答]:4186
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为
_______元.
[答]:1760
(23)设,则=__________
[答]:1
(24)已知等差数列的公差d>0,首项则____________
[答]:
三.解答题:本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。
(25)(本小题满分8分)
解不等式
解:原不等式等价于
所以原不等式的解集为
(26)(本小题满分8分)
如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作L。
(Ⅰ)判定直线A1C1和L的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=900,求顶点A1到直线L的距离。
解:(Ⅰ)L∥A1C1证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。
A1
C1
B1
A D
E
L C
B
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,
直线L=平面A1B1C1∩平面A1BC1,
根据两平面平行的性质定理
有L∥A1C1
(Ⅱ)过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到L的距离。连接AE,
由直棱柱的定义知
A1A⊥平面ABC
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又L在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又L∥A1C1,∴L∥AC
作BD⊥AC于D,
则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而
在Rt△A1AE中,∵A1A=1,∠A1AE=900,
∴
故点A1到直线L的距离为
(27)(本小题满分10分)
在面积为1的△PMN中,.
建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程。
Y
P
α
M O N X
解:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
分别记M、N、P点的坐标为
(-c,0),(c,0)和(x0,y0)
∵tgα=tg(π-∠N)=2
∴由题设知
解得
在△PMN中,MN=2c MN上的高为
∴S△PMN=
故所求椭圆方程为
(28)(本小题满分12分)
设复数求。
解:
(29)(本小题满分10分)
已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β.证明:(Ⅰ)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;
(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.
证法一:依题意,设二次方程有两个实根,所以判别式不妨取
(Ⅰ)
(Ⅱ)
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理
因为二次函数开口向上,
故必有
(Ⅱ)由
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在区间(-2,2)之外
若两根α,β均落在(-2,2)之外则与矛盾
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于,另一根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与(1),(2)式矛盾
综上所述α,β均落在(-2,2)内
文科试题
一.选择题:本题共18个小题;每小题3分,共54分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)若双曲线实半轴长为2,焦距为6,那么离心率是 ( C )
(A) (B) (C) (D)2
(2)函数的最小正周期是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是
(A)450 (B)600 (C)900 (D)1200 ( C )
(4)当时,的值等于 ( D )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是
(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥 ( D )
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB ( B )
(A)有最大值和最小值0 (B)有最大值,但无最小值
(C)即无最大值也无最小值 (D)有最大值1,但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列中,若,则 ( B )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)
(8)是偶函数,且不恒等于零,则 ( A )
(A)是奇函数 (B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数
(9)设直线与y轴的交点为P,点P把圆的直径分为两段,则其长度之比为 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(10)若是任意实数,且,则 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(11)已知集合,那么为区间 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 ( C )
(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆
(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则 ( D )
(A)ab>0,bc>0(B)ab>0,bc<0(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
(14)如果圆柱轴截面的周长为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(15)由展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有 ( B )
(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项
(16)设都是正数,且,那么 ( B )
(A) (B) (C) (D)
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 ( B )
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
(18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图)。若为直线CM与D1N所成的角,则 ( D )
D1 C1 A1 B1 D C A B
D1 C1
A1 B1
M N
D C
A B
(A) (B)
(C) (D)
D1 C1 A1 B1 D C A B
D1 C1 A1 B1 D C A B
二.填空题:本大题共6小题;每小题3分,共18分。把答案填在题中横线上。
(19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为,则焦点到AB的距离为________________.
[答]:2
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为1200。若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m).
[答]:17.3
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共_________种(用数字作答).
[答]:4186
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为_______元.
[答]:1760
(23)设,则=__________
[答]:1
(24)设____________
[答]:-1
三.解答题:本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。
(25)(本小题满分8分)
解方程
解:原方程可化为
(26)(本小题满分8分)
已知数列Sn为其前n项和,计算得观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明。
解:
证明如下:
(1)当n=1时,等式成立。
(2)设n=k时等式成立,即
由此可知,当n=k+1时等式也成立
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
(27)(本小题满分10分)
如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作L。
(Ⅰ)判定直线A1C1和L的位置关系,并加以证明;
A1
C1
B1
A D
E
L C
B
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=900,求顶点A1到直线L的距离。
解:(Ⅰ)L∥A1C1证明如下:
根据棱柱的定义知
平面A1B1C1和平面ABC平行。
由题设知直线
A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,
直线L=平面A1B1C1∩平面A1BC1,根据两平面平行的性质定理
有L∥A1C1
(Ⅱ)过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到L的距离。连接AE,由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又L在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义质A1C1∥AC,又L∥A1C1,∴L∥AC
作BD⊥AC于D,
则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而
在Rt△A1AE中,∵A1A=1,∠A1AE=900,
∴
故点A1到直线L的距离为
(28)(本小题满分10分)
在面积为1的△PMN中,.建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程。
解:建立直角坐标系如图:
以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
Y
P
α
M O N X
分别记M、N、P点的坐标为
(-c,0),(c,0)和(x0,y0)
∵tgα=tg(π-∠N)=2
∴由题设知
解得
在△PMN中,MN=2c MN上的高为
∴S△PMN=
故所求椭圆方程为
(29)(本小题满分12分)
设复数求。
解:
新科目组“3+2”(理科)
(注:新科目组即“3+2”考试,当年由北京、湖北、贵州、湖南、云南、海南六省市采用)
考生注意:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分。
第Ⅰ卷(选择题共68分)
一.选择题:本题共17个小题;每小题4分,共68分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么双曲线的离心率为 ( C )
(A) (B) (D) (D)2
(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( B )
(A)3x+4y-5=0(B)3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0(D)-3x+4y+5=0
(4)极坐标方程所表示的曲线是 ( B )
(A)焦点到准线距离为的椭圆
(B)焦点到准线距离为的双曲线右支
(C)焦点到准线距离为的椭圆
(D)焦点到准线距离为的双曲线右支
(5)在[-1,1]上是 ( A )
(A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数
(C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数
(6)的值为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(7)集合,则( C )
(A)M=N (B)MN (C)MN (D)MN=
(8)的值是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(9)参数方程表示 ( B )
(A)双曲线的一支,这支过点
(B)抛物线的一部分,这部分过点
(C)双曲线的一支,这支过点
(D)抛物线的一部分,这部分过点
(10)若是任意实数,且,则 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(11)一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为 ( C )
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线
(12)圆柱轴截面的周长为定值,那么圆柱体积的最大值是
(A) (B) (C) (D) ( A )
(13)展开式中的系数为 ( D )
(A)-40 (B)10 (C)40 (D)45
(14)直角梯形一个内角为450,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为,则旋转体的体积为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(15)已知为各项都大于零的等比数列,公比,则 ( A )
(A) (B)
(C)
(D)的大小关系不能由已知条件确定
(16)设有如下三个命题:
甲:相交两直线都在平面内,并且都不在平面内。
乙:之中至少有一条与相交。
丙:与相交。
当甲成立时 ( C )
(A)乙是丙的充分不必要的条件
(B)乙是丙的必要而不充分的条件
(C)乙是丙充分且必要的条件
(D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( B )
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
第Ⅱ卷(非选择题共82分)
二.填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分。把答案填在题中横线上。
(18)________________.
[答]:
(19)若双曲线没有公共点,则实数k
的取值范围为____________.
[答]:
(20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有_________种取法(用数字作答).
[答]:100
(21)设,则=__________
[答]:1
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为_______元.
[答]:1760
(23)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE和BE重合,记A和B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为_______度。
[答]:30
D C D C
P
A B
E E
三.解答题:本大题共5小题;共58分.解答应写出文字说明、演算步骤。
(24)(本小题满分12分)
已知
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)判断的奇偶性并予以证明;
(Ⅲ)求使>0的x取值范围.
解:(Ⅰ)由对数函数的定义域知
如果
如果
故的定义域为(-1,1)
(Ⅱ)
为奇函数
(Ⅲ)(i)对
而从(Ⅰ)知故(1)等价于又等价于
故对时有>0
(ii)对
而从(Ⅰ)知故(2)等价于.
故对时有>0.
(25)(本小题满分10分)
已知数列Sn为其前n项和,计算得观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明。
解:
证明如下:
(1)当n=1时,等式成立。
(2)设n=k时等式成立,即
由此可知,当n=k+1时等式也成立
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
(26)(本小题满分12分)
已知:平面同垂直于平面,又同平行于直线。求证:(Ⅰ);
b
Q A M B
N P
C
(Ⅱ).
证:(Ⅰ)
设
在内任取一点P并于内作直线PM⊥AB,PN⊥AC
同理
又
(Ⅱ)于上任取一点Q,过b与Q作一平面交于直线,交于直线.
同理
都是的交线,即都重合于
(27)(本小题满分12分)
在面积为1的△PMN中,.建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程。
Y
P
α
M O N X
解:建立直角坐标系如图:
以MN所在直线为x轴,
线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
分别记M、N、P点的坐标为
(-c,0),(c,0)和(x0,y0)
∵tgα=tg(π-∠N)=2
∴由题设知
解得
在△PMN中,MN=2c MN上的高为
∴S△PMN=
故所求椭圆方程为
(28)(本小题满分12分)
设复数求。
解:
新科目组“3+2”(文科)
第Ⅰ卷(选择题共68分)
一.选择题:本题共17个小题;每小题4分,共68分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么双曲线的离心率为 ( C )
(A) (B) (D) (D)2
(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( B )
(A)3x+4y-5=0(B)3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0(D)-3x+4y+5=0
(4)的值为 ( B )
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
(5)在[-1,1]上是 ( A )
(A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数
(C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数
(6)的值为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(7)集合,则( C )
(A)M=N (B)MN (C)MN (D)MN=
(8)的值是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
(9)圆上的点到直线的距离的最小值是
(A)6 (B)4 (C)5 (D)1 ( B )
(10)若是任意实数,且,则 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(11)一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为 ( C )
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线
(12)圆柱轴截面的周长为定值,那么圆柱体积的最大值是
(A) (B) (C) (D) ( A )
(13)展开式中的系数为 ( D )
(A)-40 (B)10 (C)40 (D)45
(14)直角梯形一个内角为450,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为,则旋转体的体积为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
(15)已知为各项都大于零的等比数列,公比,则
( A )
(A) (B)
(C)
(D)的大小关系不能由已知条件确定
(16)设有如下三个命题:
甲:相交两直线都在平面内,并且都不在平面内。
乙:之中至少有一条与相交。
丙:与相交。
当甲成立时 ( C )
(A)乙是丙的充分不必要的条件
(B)乙是丙的必要而不充分的条件
(C)乙是丙充分且必要的条件
(D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( B )
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
第Ⅱ卷(非选择题共82分)
二.填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分。把答案填在题中横线上。
(18)设,则________________.
[答]:
(19)若双曲线没有公共点,则实数k的取值范围为____________.
[答]:
(20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有_________种取法(用数字作答).
[答]:100
(21)设,则=__________
[答]:1
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为_______元.
[答]:1760
(23)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE和BE重合,记A和B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为_______度。
D C D C
P
A B
E E
[答]:30
三.解答题:本大题共5小题;共58分.解答应写出文字说明、演算步骤。
(24)(本小题满分10分)
求的值。
解:
(25)(本小题满分12分)
已知
(Ⅰ)求的定义域;
(Ⅱ)判断的奇偶性并予以证明;
(Ⅲ)求使>0的x取值范围.
解:(Ⅰ)由对数函数的定义域知
如果
如果
故的定义域为(-1,1)
(Ⅱ)
为奇函数
(Ⅲ)(i)对
而从(Ⅰ)知故(1)等价于又等价于
故对时有>0
(ii)对
而从(Ⅰ)知故(2)等价于.
故对时有>0.
(26)(本小题满分12分)
已知数列Sn为其前n项和,计算得观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明。
解:
证明如下:
(1)当n=1时,等式成立。
(2)设n=k时等式成立,即
由此可知,当n=k+1时等式也成立
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
(27)(本小题满分12分)
已知:平面同垂直于平面,又同平行于直线。求证:(Ⅰ);
(Ⅱ).
证:(Ⅰ)设
在内任取一点P并于内作直线PM⊥AB,PN⊥AC
b
Q A M B
N P
C
同理
又
(Ⅱ)于上任取一点Q,过b与Q作一平面交于直线,交于直线.
同理
都是的交线,即都重合于
(28)(本小题满分12分)
在面积为1的△PMN中,.建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程。
Y
P
α
M O N X
解:建立直角坐标系如图:
以MN所在直线为x轴,
线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
分别记M、N、P点的坐标为
(-c,0),(c,0)和(x0,y0)
∵tgα=tg(π-∠N)=2
∴由题设知
解得
在△PMN中,MN=2c MN上的高为
∴S△PMN=
故所求椭圆方程为