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  • 2021-05-13 发布

新课标数学历年高考试题汇总及详细答案解析

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 M={0,1,2},N= 2| 3 2 0x x x  ≤ ,则 M N =( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} 【答案】D 把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 ,023-2 ≤+xx 经检验 x=1,2 满足。所以选 D. 2.设复数 1z , 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称, 1 2z i  ,则 1 2z z  ( ) A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】B .,5-4-1-∴ ,2-,2 21 2211 Bzz izzziz 故选 关于虚轴对称,与 == +=∴+= 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A .,1 ,62-102∴,6|-|,10|| 2222 Aba babababababa 故选联立方程解得 ,, = =+=++==+ 4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 2 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】B ..5,cos2-4 3π∴ ΔABC4 π.4 3π,4 π∴ ,2 2sin∴ 2 1sin122 1sin2 1 222 ΔABC BbBaccabB BB BBBacS 故选解得,使用余弦定理, 符合题意,舍去。为等腰直角三角形,不时,经计算当或 =+== == ==•••== 5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的 空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A .,8.0,75.06.0 , App p 故选解得则据题有 优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良, =•= 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( ) A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 【答案】 C ..27 10 π54 π34-π54 π.342π944 .2342 π.546π963 2 1 C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体 体积 ,高为径为,右半部为大圆柱,半,高为小圆柱,半径加工后的零件,左半部 体积,,高加工前的零件半径为 ==∴ =•+•=∴ =•=∴ π   7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C . 3 7 2 2 5 2 1 3 1 ,2,2 C KSM tx 故选 变量变化情况如下:== 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D ..3.2)0(,0)0( .1 1-)(),1ln(-)( Daff xaxfxaxxf 故选联立解得且 ==′=∴ +=′∴+= 9.设 x,y 满足约束条件 7 0 3 1 0 3 5 0 x y x y x y         ≤ ≤ ≥ ,则 2z x y  的最大值为( ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】 B ..8 ,)2,5(07-013--2 Bz yxyxyxz 故选取得最大值 处的交点与在两条直线 可知目标函数三角形,经比较斜率,画出区域,可知区域为 = =+=+= 10.设 F 为抛物线 C: 2 3y x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) A. 3 3 4 B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 【答案】 D ..4 9)(4 3 2 1 .6),3-2(2 3),32(2 33-4 322,34 322 2,2 ΔOAB DnmS nmnmnnmm nBFmAFBA 故选 ,解得 直角三角形知识可得,,则由抛物线的定义和,分别在第一和第四象限、设点 =+••=∴ =+∴=+=•=+•= == 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 【答案】 C ..10 30 56 41-0 |||| θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0( ,2,, 111111 C ANBM ANBM ANBMNMBA CCBCACZYXCCACBC 故选 )。,),, 则轴,建立坐标系。令为,,如图,分别以 =+= • •= == === 12.设函数   3sin xf x m  .若存在  f x 的极值点 0x 满足   22 2 0 0x f x m    ,则 m 的 取值范围是( ) A.    , 6 6,    B.    , 4 4,    C.    , 2 2,    D.   , 1 4,    【答案】 C .2.||,34 ∴34)]([ ,2 ||||,3)]([3πsin3)( 2 22 2 0 2 0 0 2 0 Cmmmmxfx mxxfm xxf 故选解得, ,即的极值为 ><++≥+∴ ≤=±= 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. 10x a 的展开式中, 7x 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案) 【答案】 2 1 .2 1.2 1,15a∴15xax 33 10 7373 10 ==== aaCC 故 14.函数      sin 2 2sin cosf x x x      的最大值为_________. 【答案】 1 .1∴.1≤sin φsin)φcos(-φcos)φsin( )φcos(φsin2-φsin)φcos(φcos)φsin( )φcos(φsin2-)φ2sin()( 最大值为x xx xxx xxxf = •+•+= +•++•+= ++= 15.已知偶函数  f x 在 0, 单调递减,  2 0f  .若  1 0f x   ,则 x 的取值范围是 __________. 【答案】 ),(), ∞3∪1-∞-( + .∞3∪1-∞-(∈2|1-| .31--(2|1-|0)1-(∴ .2||0)(∴ 0)2(),0[)( ),(),,解得故解集为 ),(),,解得的解集为 的解集为 上单增,且在偶函数 +> +∞∪∞∈>> >> =+∞= xx xxxf xxf fxfy 16.设点 M( 0x ,1),若在圆 O: 2 2 1x y  上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 0x 的取值范 围是________. 【答案】 ]1,1-[ ].1,1-[∈x].1,1-[x .,1)M(x1,yO 00 0 故形外角知识,可得由圆的切线相等及三角 在直线上其中和直线在坐标系中画出圆 ∈ = 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 na 满足 1a =1, 1 3 1n na a   . (Ⅰ)证明 1 2na  是等比数列,并求 na 的通项公式; (Ⅱ)证明: 1 2 31 1 1 2na a a  …+ . 【答案】 (1) 无 (2) 无 (1) 的等比数列。公比为是首项为 3,2 3 2 1}2 1{∴ ).2 1(32 1132 1a∴ .*N∈.n13,1 1 1n 11 =++ +=++=+ +== + + aa aa aaa n nn nn (2) (证毕),所以, )( 时,当 ,知,由 .*∈ 2 31111 .2 3 3 1-12 3 3 1-1 3 1-1 3 1 3 1 3 111111∴ .3 1 1-3 211,11 .1-3 21 2 1-3∴,2 3 2 1)1( 321 1-21 321 1- 1 Nnaaaa aaaa ana aaa n n n n n nn n n n n n n n <++++ <==++++<++++ <=>= ===+   18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积. 【答案】 (1) 无 (2) 无 (1) 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上, 所以 PB//平面 AEC. (2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则 。的体积为所以,三棱锥 的高即为三棱锥 面且的中点,则为设 解得 解得一个 则法向量为同理设平面 解得一个 则法向量为设平面 8 3- .8 3 2 132 3 2 1 3 1 3 1∴.- ,⊥,2 1 2,// .2 3,2 1 33 3 |||| |||,cos|3 πcos ).3-,3-,( ,0,0),,,( ).0,1,0( ,0,0),,,( ).0,,3(),2 1,0,2 3(),0,0,3(∴ ).0,,3(),2 1,0,2 3(),0,0,3(),0,0,0( Δ- 22 22 22 22 2 222222 1 111111 ACDE EFSVACDE ACDEFEFPAEFPAADF m mmnn nnnn mmn AEnACnzyxnACE n AEnADnzyxnADE mACAEAD mCEDA ACDACDE =••••=••= == == ++ = • •=><= = === = === ===  19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:      1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t          , ˆˆa y bt  【答案】 (1) .3.25.0 += ty (2) 约 6800 元 (1) .3.25.0 3.24*2 1-3.4- ,2 1 2*14 14 2*)149( 8.48.15.007.0214*3 , 3.47 9.52.58.44.46.33.39.2,47 721 += === ==++ ++++++= += =++++++==+++= tyty tbya b abty yt 的回归方程为关于所以, 代入公式,经计算得设回归方程为  百元左右。千年,该区人均纯收入约所以,预计到 千元)该区人均纯收入 年,增长,预计到年该区人均纯收入稳步年至 862015 (8.63.295.0 201520132007∴,02 1 =+•= >= y b 20. (本小题满分 12 分) 设 1F , 2F 分别是椭圆  22 2 2 1 0yx a ba b    的左右焦点,M 是 C 上一点且 2MF 与 x 轴垂直, 直线 1MF 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 4 ,求 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 15MN F N ,求 a,b. 【答案】 (1) 2 1 (2) 72,7 == ba (1) .2 1∴.2 1 02-32.,4 3 2 1∴ 4 3 2222 2 21 1 的离心率为解得 ,联立整理得:且由题知, Ce eecbaca b FF MF = =++==•= (2) 72,7 .72,7. ,,1:4:)2 3-(, :.2 3-,, .4, .422 222 1111 11 2 2 == ==+= ==+=+= == =•= ba bacba a ceNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a bMF 所以, 联立解得 ,且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似,由题可知设 ,即知,由三角形中位线知识可 21. (本小题满分 12 分) 已知函数  f x = 2x xe e x  (Ⅰ)讨论  f x 的单调性; (Ⅱ)设      2 4g x f x bf x  ,当 0x  时,   0g x  ,求b 的最大值; (Ⅲ)已知1.4142 2 1.4143  ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 【答案】 (1) .)( .02-12≥2-12-)(∴∈2--)( -- 上单增在所以, , Rxf eeeeeexfRxxeexf x x x xxxxx =•+=+=′= (2) 2≥22≥ 0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2 .0≥)(0,tt),(0,∈∃x∴)-(2-2-2)( .0)0(,0mm),(0,∈x)2-(2-2-)( .0≥)2-(2-2- 0≥)2-(4-4-22 .0≥)(0,mm),(0,∈∃x∴)2-(4-4-22)( .0)0(,0),2--(4-4--)( .0,0)2--(4-4--)(4-)2()( --- -----2-2 -2-2 -2-2 -2-2 -2-2 -2-2 -2-2 -2-2 的最大值为,所以,即即 ,且,即即 使, 则,同理,令 即 即 使, 则令 bbeeeebee eeeebeeeeeebee xmeebeexm meebeexm eebee eebee xheebeexh hxxeebxeexh xxeebxeexbfxfxg xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx =•>++ >+ >=′ =>++= ++ ++ ′>++=′ =>= >>== (3) .2 22ln4 1-23 2.4 1-23 22ln2 3-242ln6 ),2ln2- 2 1-282ln2-2 1-2)2(ln8)2(ln )2(ln8)2ln2(,02ln),(8)2()2(.2 22ln .02ln-2 22ln2- 2 1-2)2(ln,0)2(ln,02ln <<>> >> >>=>< >==>>= 所以,即 解得(,即即 ,则令知,由解得 即则设 ff ffxxfxf ffx 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是  O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与  O 相交于 点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交  O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD DE=2 2PB 【答案】 (1) 无 (2)无 (1) EC.BEBE∠CE∠BE∠αBE,∠βαβ BE∠∠DEB∠PDA∠∠∠∠∠ .AE∠CE,∠EB∠, ,,2 ===+=+∴ +===+=+ ====∠ Δ=∴== ,所以,即即 则连接 为等腰三角形。, DBDD DPADBADPABBCEPAB BBDPABAB PADPDPADCPDPAPC   αβ (2) 2 2 2PA PA-PAPB-PB)PA-(PADCBD ,,PADC,BDDEAD PBPBPBPB PCPBPCPB PADCPDPCPB =•=• •=••==•∴ ==•=•=• )(  23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程 为 2cos  , 0, 2       . (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 : 3 2l y x  垂直,根据(Ⅰ)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标. 所以 D 点坐标为 3 1(1 , )2 2  或 3 1(1 , )2 2   。 24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数  f x = 1 ( 0)x x a aa    (Ⅰ)证明:  f x ≥2; (Ⅱ)若  3 5f  ,求 a 的取值范围. 2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国理科数学 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | 2 2 3 0x x   },B={ x |-2≤ x <2},则 A B = A .[-2,-1] B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) 答案:A 2. 3 2 (1 ) (1 ) i i   = A .1 i B .1 i C . 1 i  D . 1 i  答案:D 3.设函数 ( )f x , ( )g x 的定义域都为 R,且 ( )f x 是奇函数, ( )g x 是偶函数,则下列结论正 确的是 A . ( )f x ( )g x 是偶函数 B .| ( )f x | ( )g x 是奇函数 C . ( )f x | ( )g x |是奇函数 D .| ( )f x ( )g x |是奇函数 答案:C 4.已知 F 是双曲线C : 2 2 3 ( 0)x my m m   的一个焦点,则点 F 到C 的一条渐近线的距 离为 A . 3 B .3 C . 3m D .3m 答案:A 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率 A . 1 8 B . 3 8 C . 5 8 D . 7 8 答案:D 6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线OA , 终边为射线OP ,过点 P 作直线OA的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线OP 的距 离表示为 x 的函数 ( )f x ,则 y = ( )f x 在[0, ]上的图像大致为 答案: 1( ) | cos sin | | sin 2 |2f x x x x  。选 C 7.执行下图的程序框图,若输入的 , ,a b k 分别为 1,2,3,则输出的 M = A . 20 3 B .16 5 C . 7 2 D .15 8 答案:D 8.设 (0, )2   , (0, )2   ,且 1 sintan cos    ,则 A .3 2    B . 2 2    C .3 2    D . 2 2    答案: 1 cos( )1 sin 12 tancos sin( ) tan2 4 2                 , 又因 (0, )2   , (0, )2   ,所以 4 2 2       ,变形后选 B. 9.不等式组 1 2 4 x y x y      的解集记为 D .有下面四个命题: 1p : ( , ) , 2 2x y D x y     , 2p : ( , ) , 2 2x y D x y    , 3p : ( , ) , 2 3x y D x y    , 4p : ( , ) , 2 1x y D x y     . 其中真命题是 A . 2p , 3p B . 1p , 4p C . 1p , 2p D . 1p , 3p 答案:C 10.已知抛物线C : 2 8y x 的焦点为 F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线 PF 与C 的一 个交点,若 4FP FQ  ,则| |QF = A . 7 2 B . 5 2 C .3 D .2 答案:D 11.已知函数 ( )f x = 3 23 1ax x  , 若 ( )f x 存在唯一的零点 0x ,且 0x >0,则 a 的取值范围为 A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 答案:取 a=2,研究 ( )f x 的性质后知 ( )f x 有两个零点不符合题意,故排除 C; 取 a=3,则 ( )f x 有唯一零点,但零点小于 0,故排除 A; 取 2a   时 ( )f x 有两个零点,故排除 D。 于是选 B。 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 六条棱中,最长的棱的长度为 A . 6 2 B . 4 2 C .6 D .4 答案:该多面体是一个三棱锥 S—ABC,其中底 面 ABC 为等腰三角形,AC=BC= 2 5 ,AB=4, 侧棱 SA 垂直底面 ABC,且 SA=4.于是可算出最 长棱长为 SB=SC=6. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. 8( )( )x y x y  的展开式中 2 7x y 的系数为 .(用数字填写答案) 答案:-20. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 答案:三人必定都去过 A 城,故可判断乙去过 A 城。 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 1 ( )2AO AB AC    ,则 AB  与 AC  的夹角为 . 答案:90 。 16.已知 , ,a b c 分别为 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对边, a =2,且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C    ,则 ABC 面积的最大值为 . 答案: 3 。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ na }的前 n 项和为 nS , 1a =1, 0na  , 1 1n n na a S   , 其中  为常数. (Ⅰ)证明: 2n na a    ; (Ⅱ)是否存在  ,使得{ na }为等差数列?并说明理由. 证明:(1) 1 1n n na a S   ① ∴ 1 2 1 1n n na a S    ② ∴由②-①得 1 2 1( )n n n na a a a    ∵ *0,na n N  ∴ 1 0na   所以 2n na a    。 (Ⅱ)假设{ na }为等差数列,公差为 d,则 21 ; (1 )2 2n n d da dn d S n n      因为 1 1n n na a S   对 *n N 恒成立,所以 2( 1 )( 1) (1 ) 12 2 d ddn d dn n n        对 *n N 恒成立 即 2 2 2(2 ) 1 (1 ) 12 2 d dd n d d n d n n         对 *n N 恒成立 则 2 2 (2 ) (1 )2 1 1 dd dd d d              解得 4 2d     所以存在 2  使得{ na }为等差数列。 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方 图: (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值 的样本平均数 x 和样本方差 2s (同一组数据用该区间的中点值 作代表); (Ⅱ)由频率分布直方图可以认 为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2( , )N   ,其中  近似为样本平均数 x , 2 近 似为样本方差 2s . (i)利用该正态分布,求 (187.8 212.2)P Z  ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ 2( , )N   ,则 ( )P Z       =0.6826, ( 2 2 )P Z       =0.9544. 解:(1) 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0. 08 230 0.02 200x                2 2 2 2 2 2 230 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.0 2 150s                (Ⅱ)(i)由(1)知 200, 150 12.2    ,所以 (187.8 212.2)P Z  =0.6828 (ii)由已知得 (100,0.6828)X B ,于是 100*0.6828 68.28EX   19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 1 1 1ABC A B C 中,侧面 1 1BB C C 为菱形, 1AB B C . (Ⅰ) 证明: 1AC AB ; (Ⅱ)若 1AC AB , o 1 60CBB  ,AB=BC,求二面 角 1 1 1A A B C  的余弦值. 解:(Ⅰ)因为侧面 1 1BB C C 为菱形, 所以 1 1B C BC ,设垂足为 O,则点 O 为 1B C 的中点。 又因 1B C AB ,所以 1B C  平面 AB 1C , 而OA 在平面 AB 1C 内,于是有 1B C OA 于是 AC= 1AB . (Ⅱ)在菱形 1 1BB C C 中 o 1 60CBB  ,则有 1BB C 为等边三角形,设 BC=2,则 OC=1,OB= 3 . 在 1ACB 中, 1AC AB , 1AC AB , 1CB =2,所以 OA=1 又因 AB=BC=2,所以 AOB 为直角三角形,OA OB 又因 OB 1OB , 1OA OB ,于是可以 OB,O 1B ,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,1), 1(0,1,0)B , 1( 3,0,0)C  ,C(0, 1,0) , 因为 1 1AA CC  于是 1( 3,1,1)A  。 平面 1 1AA B 的法向量 (1, 3, 3)m  ,平面 1 1 1A B C 的法向量为 (1, 3, 3)n   于是法向量夹角余弦为 1 7 。 由于二面角 1 1 1A A B C  为锐角,所以二面角 1 1 1A A B C  的余弦为 1 7 。 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(0,-2),椭圆 E : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 3 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线l 与 E 相交于 ,P Q 两点,当 OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 解:(Ⅰ)由椭圆 E 的离心率为 3 2 得 3 2 c a  。 因为直线 AF 的斜率为 2 3 3 ,且 (0, 2), ( ,0)A F c 得 2 2 3 3c  ,所以 c= 3 。 于是 a=2,b=1,椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  (Ⅱ)设直线l 的方程为 ( 2)x m y  , 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 由方程组 2 24 4 ( 2) x y x m y       得 2 2 2 2(4 ) 4 4 4 0m y m y m     则有 2 2 1 2 1 22 2 4 4( 1),4 4 m my y y ym m      于是 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 16 16( 1) 16| | (4 3 )(4 ) 4 (4 ) m my y mm m m        而 2 1 2 2 1 4 | || 2 || | 4 32 4OPQ mS m y y mm     2 2 4 34 ,( 4) t t t   其中 2t m 设 2 2 4 3( ) ( 4) t tg t t   ,利用判别式法,求出 ( )g t 的最大值是 4( )7g = 1 16 , 于是 OPQS 的最大值为 1 4 ,且此时 2 7 m   ,直线 l 的方程为 7 22y x  或 7 22y x   。 21. (本小题满分 12 分)设函数 1 ( ) ln x x bef x ae x x    ,曲线 ( )y f x 在点(1, (1)f 处的 切线为 ( 1) 2y e x   . (Ⅰ)求 ,a b ; (Ⅱ)证明: ( ) 1f x  . 解:(1)由已知得 (1) 2 '(1) f f e    而 1 2 1'( ) ln ( 1) x x x bef x ae x ae xx x      于是 2 1 b a    (Ⅱ)由(Ⅰ)得 12( ) ln x x ef x e x x    ,要证 ( ) 1f x  需证 1ln 2x xxe x e x  需证: 2ln x xx x e e   设 2( ) lng x x x e   , ( ) x xh x e  利用导数研究两函数性质,知 ( )g x 在 (0, ) 上存在最小值 1( )g e  1 e ; ( )h x 在 (0, ) 上存在最大值 (1)h  1 e 于是在 (0, ) 上必定有 ( ) ( )g x h x 恒成立 于是 ( ) 1f x  点评:化复杂函数为简单函数,是我们处理这一问题的关键。 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的 延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 答案:.(Ⅰ) ∠D=∠CBE=∠E (2)利用 AMB DMC   可证∠D==∠A=∠E,从而得出△ADE 为等边三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C : 2 2 14 9 x y  ,直线l : 2 2 2 x t y t      (t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为 o30 的直线,交l 于点 A ,求| |PA 的最大值与最小 值. 答案:(1)曲线 C 的参数方程为 2cos 3sin x y      ,其中 为参数。 直线 l 的普通方程为: 2 6 0x y   ((Ⅱ)设点 P (2cos ,3sin )  ,点 P 到直线 l 的距离为 d,则 | 4cos 3sin 6 || | 2 2 5 PA d     设 ( ) 4cos 3sin 6, [0,2 ]f         由 ( )f  的值域为[ 11, 1]  ,于是| |PA 的最大值为 22 5 ,最小值为 2 5 。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 0, 0a b  ,且 1 1 aba b   . (Ⅰ) 求 3 3a b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 ,a b ,使得 2 3 6a b  ?并说明理由. 解:(Ⅰ)由 1 1 aba b   得 a b ab ab  ,而 2a b ab  ,所以 2ab  当且仅当 2a b  时取等号。 而 3 3 2 4 2a b ab ab   当且仅当 2a b  时取等号 于是 3 3a b 的最小值为 4 2 (Ⅱ)因为 0, 0a b  ,所以 2 3 2 6 4 3 6a b ab    于是不能存在 ,a b ,使得 2 3 6a b  。 2013 年普通高等学校数学(全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅱ,理 1)已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N ={-1,0,1,2,3},则 M∩N=( ). A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ). A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i 3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3= a2+10a1,a5=9,则 a1=( ). A. 1 3 B. 1 3  C. 1 9 D. 1 9  4.(2013 课标全国Ⅱ,理 4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α,n ⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l α,l β,则( ). A.α∥β且 l∥α B.α⊥β且 l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于 l D.α与β相交,且 交线平行于 l 5.(2013 课标全国Ⅱ,理 5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 6.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N =10,那么输出的 S=( ). A. 1 1 11+ 2 3 10    B. 1 1 11+ 2! 3! 10!    C. 1 1 11+ 2 3 11    D. 1 1 11+ 2! 3! 11!    7.(2013 课标全国Ⅱ,理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该 四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图 可以为( ). 8.(2013 课标全国Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 ( ). A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b >c 9.(2013 课标全国Ⅱ,理 9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 1, 3, 3 . x x y y a x          若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ). A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 10.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下 列结论中错误的是( ). A. x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 11.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方 程为( ). A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1), 直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值 范围是( ). A.(0,1) B. 2 11 ,2 2      C. 2 11 ,2 3     D. 1 1,3 2     第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个 试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做 答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅱ,理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE BD  =__________. 14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意 取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 1 14 ,则 n= __________. 15.(2013 课标全国Ⅱ,理 15)设θ为第二象限角,若 π 1tan 4 2      , 则 sin θ+cos θ=__________. 16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已 知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB = 2 2 AB . (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经 销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利 润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到 销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一 个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季 度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元 的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区 间中点值代表该组的各个值,并以需求量落 入该区间的频率作为需求量取该区间中点 值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望. 20.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2 2 2 2 =1x y a b  (a>b>0)右焦点的直线 3 0x y   交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 2 . (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四 点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆 面积的比值. 23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标 系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: 2cos , 2sin x t y t    (t 为参数)上,对应参数分别 为 t=α与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数,并判断 M 的轨迹是否 过坐标原点. 24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等 式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤ 1 3 ; (2) 2 2 2 1a b c b c a    . 2013 年普通高等学校数学(全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:A 解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N={0,1,2},故选 A. 2. 答案:A 解析: 2i 2i 1 i=1 i 1 i 1 iz         = 2 2i 2   =-1+i. 3. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题意,因此 q≠1. ∵q≠1 时,S3= 3 1(1 ) 1 a q q   =a1·q+10a1, ∴ 31 1 q q   =q+10,整理得 q2=9. ∵a5=a1·q4=9,即 81a1=9,∴a1= 1 9 . 4. 答案:D 解析:因为 m⊥α,l⊥m,l α,所以 l∥α.同理可得 l∥β. 又因为 m,n 为异面直线,所以α与β相交,且 l 平行于它们的交线.故 选 D. 5. 答案:D 解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为 5Cr rx (0≤r≤5,r∈Z),则 含 x2 的项为 2 2 5C x +ax· 1 5C x =(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1. 6. 答案:B 解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1; 当 k=2 时, 1 2T  , 1=1+ 2S ; 当 k=3 时, 1 2 3T   , 1 11+ 2 2 3S    ; 当 k=4 时, 1 2 3 4T    , 1 1 11+ 2 2 3 2 3 4S      ;…; 当 k=10 时, 1 2 3 4 10T      , 1 1 11+ 2! 3! 10!S     ,k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S,所以 B 正确. 7. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图: 则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ,故选 A. 8. 答案:D 解析:根据公式变形, lg6 lg 21lg3 lg3a    , lg10 lg 21lg5 lg5b    , lg14 lg 21lg7 lg7c    , 因为 lg 7>lg 5>lg 3,所以 lg 2 lg 2 lg 2 lg7 lg5 lg3   ,即 c<b<a.故选 D. 9. 答案:B 解析:由题意作出 1, 3 x x y     所表示的区域如图阴影 部分所示, 作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x =1 的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线 y=a(x-3)过点(1,- 1),代入得 1 2a  ,所以 1 2a  . 10. 答案:C 解析:∵x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示, 则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确. 11. 答案:C 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ 2 p = 5,则 x0=5- 2 p . 又点 F 的坐标为 ,02 p     ,所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0) 2 px    +(y-y0)y=0. 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 2 0 2 y -4y0+8=0,所以 y0 =4. 由 2 0y =2px0,得16 2 5 2 pp     ,解之得 p=2,或 p=8. 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 12. 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个 试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考 生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立 平面直角坐标系,如图所示,则点 A 的坐标为(0,0), 点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为(0,2),点 E 的坐标 为(1,2),则 AE  =(1,2),BD  =(-2,2),所以 2AE BD   . 14.答案:8 解析:从 1,2,…,n 中任取两个不同的数共有 2Cn 种取法,两数之和 为 5 的有(1,4),(2,3)2 种,所以 2 2 1 C 14n  ,即 2 4 1 1 1 14 2 n n n n        , 解得 n=8. 15.答案: 10 5  解析:由 π 1 tan 1tan 4 1 tan 2          ,得 tan θ= 1 3  ,即 sin θ= 1 3  cos θ. 将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得 210 cos 19   . 因为θ为第二象限角,所以 cos θ= 3 10 10  ,sin θ= 10 10 ,sin θ +cos θ= 10 5  . 16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 1 10 910 2a d+ =10a1 +45d=0,① S15= 1 15 1415 2a d =15a1+105d=25.② 联立①②,得 a1=-3, 2 3d  , 所以 Sn= 2( 1) 2 1 103 2 3 3 3 n nn n n     . 令 f(n)=nSn,则 3 21 10( ) 3 3f n n n  , 2 20'( ) 3f n n n  . 令 f′(n)=0,得 n=0 或 20 3n  . 当 20 3n  时,f′(n)>0, 200< < 3n 时,f′(n)<0,所以当 20 3n  时,f(n) 取最小值,而 n∈N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时, f(n)取最小值-49. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π),所以 π 4B  . (2)△ABC 的面积 1 2sin 2 4S ac B ac  . 由已知及余弦定理得 4=a2+c2- π2 cos 4ac . 又 a2+c2≥2ac,故 4 2 2 ac   ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 18. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 2 2 AB 得,AC⊥BC. 以 C 为坐标原点,CA  的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直 角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD  =(1,1,0),CE  = (0,2,1), 1CA  =(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, 则 1 0, 0, CD CA        n n 即 1 1 1 1 0, 2 2 0. x y x z      可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量, 则 1 0, 0, CE CA        m m 可取 m=(2,1,-2). 从而 cos〈n,m〉= 3 | || | 3 ·n m n m , 故 sin〈n,m〉= 6 3 . 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 6 3 . 19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 800 39000,100 130, 65000,130 150. X XT X       (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度 内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4 =59 400. 20. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则 2 2 1 1 2 2 =1x y a b  , 2 2 2 2 2 2 =1x y a b  , 2 1 2 1 = 1y y x x   , 由此可得 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 =1b x x y y a y y x x         . 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 0 1 2 y x  , 所以 a2=2b2. 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. 所以 M 的方程为 2 2 =16 3 x y . (2)由 2 2 3 0, 1,6 3 x y x y       解得 4 3 ,3 3 ,3 x y      或 0, 3. x y   因此|AB|= 4 6 3 . 由题意可设直线 CD 的方程为 y= 5 3 33x n n         , 设 C(x3,y3),D(x4,y4). 由 2 2 , 16 3 y x n x y     得 3x2+4nx+2n2-6=0. 于是 x3,4= 22 2 9 3 n n     . 因为直线 CD 的斜率为 1, 所以|CD|= 2 4 3 42 | | 93x x n   . 由已知,四边形 ACBD 的面积 21 8 6| | | | 92 9S CD AB n    . 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 8 6 3 . 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 3 . 21. 解:(1)f′(x)= 1ex x m   . 由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1. 于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= 1e 1 x x   . 函数 f′(x)= 1e 1 x x   在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. 因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明 当 m=2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f′(x)= 1e 2 x x   在(-2,+∞)单调递增. 又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 0ex = 0 1 2x  ,ln(x0+2)=-x0, 故 f(x)≥f(x0)= 0 1 2x  +x0= 2 0 0 1 2 x x     >0. 综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做 的第一题计分,做答时请写清题号. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A,由题设知 BC DC FA EA  , 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径 为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB·BA=2DB2,所以 CA2=4DB2 +BC2=6DB2. 而 DC2=DB·DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外 接圆面积的比值为 1 2 . 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 , sin sin 2 x y          (α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离 2 2 2 2cosd x y     (0<α<2π). 当α=π时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 24. 解:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ 1 3 . (2)因为 2 2a b ab   , 2 2b c bc   , 2 2c a ca   , 故 2 2 2 ( )a b c a b cb c a      ≥2(a+b+c), 即 2 2 2a b c b c a   ≥a+b+c. 所以 2 2 2a b c b c a   ≥1. 2013 年普通高等学校数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅰ,文 1)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B=( ). A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 2.(2013 课标全国Ⅰ,文 2) 2 1 2i 1 i     =( ). A. 11 i2   B. 11+ i2  C. 11+ i2 D. 11 i2  3.(2013 课标全国Ⅰ,文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对 值为 2 的概率是( ). A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 4.(2013 课标全国Ⅰ,文 4)已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1x y a b  (a>0,b>0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线方程为( ). A.y= 1 4 x B.y= 1 3 x C.y= 1 2 x D.y=±x 5.(2013 课标全国Ⅰ,文 5)已知命题 p:∀x∈R,2x<3x;命题 q:∃x∈R,x3=1-x2,则下 列命题中为真命题的是( ). A.p∧q B.  p∧q C.p∧  q D.  p∧  q 6.(2013 课标全国Ⅰ,文 6)设首项为 1,公比为 2 3 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( ). A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3- 2an 7.(2013 课标全国Ⅰ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则 输出的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 8.(2013 课标全国Ⅰ,文 8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2= 4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为( ). A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4 9.(2013 课标全国Ⅰ,文 9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图像大致为( ). 10.(2013 课标全国Ⅰ,文 10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A +cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ). A.10 B.9 C.8 D.5 11.(2013 课标全国Ⅰ,文 11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 12.(2013 课标全国Ⅰ,文 12)已知函数 f(x)= 2 2 , 0, ln( 1), 0. x x x x x       若 |f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅰ,文 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b·c=0,则 t=______. 14.(2013 课标全国Ⅰ,文 14)设 x,y 满足约束条件 1 3, 1 0, x x y       则 z=2x-y 的最大值 为______. 15.(2013 课标全国Ⅰ,文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α, H 为垂足,α截球 O 所得截面的面积为π,则球 O 的表面积为______. 16.(2013 课标全国Ⅰ,文 16)设当 x=θ时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ=______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅰ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 2 1 2 1 1 n na a        的前 n 项和. 18.(2013 课标全国Ⅰ,文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在 服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 19.(2013 课标全国Ⅰ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 20.(2013 课标全国Ⅰ,文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex(ax +b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 21.(2013 课标全国Ⅰ,文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2 +y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(2013 课标全国Ⅰ,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. 23.(2013 课标全国Ⅰ,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为 4 5cos , 5 5sin x t y t      (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 24.(2013 课标全国Ⅰ,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲已知函数 f(x)= |2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ 1,2 2 a    时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2013 年普通高等学校数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:A 解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4}. 2. 答案:B 解析: 2 1 2i 1 2i 1 2i i 2 i 1 i 2i 2 2             = 11+ i2  . 3. 答案:B 解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满 足条件的事件数是 2,所以所求的概率为 1 3 . 4. 答案:C 解析:∵ 5 2e  ,∴ 5 2 c a  ,即 2 2 5 4 c a  . ∵c2=a2+b2,∴ 2 2 1 4 b a  .∴ 1 2 b a  . ∵双曲线的渐近线方程为 by xa   , ∴渐近线方程为 1 2y x  .故选 C. 5. 答案:B 解析:由 20=30 知,p 为假命题.令 h(x)=x3-1+x2, ∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0, ∴x3-1+x2=0 在(0,1)内有解. ∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题 q 为真命题.由此可知只有 p∧q 为真命题.故选 B. 6. 答案:D 解析: 11 211 3 21 1 1 3 n n n n aa a qa qS q q        =3-2an,故选 D. 7. 答案:A 解析:当-1≤t<1 时,s=3t,则 s∈[-3,3). 当 1≤t≤3 时,s=4t-t2. ∵该函数的对称轴为 t=2, ∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ∴smax=4,smin=3. ∴s∈[3,4]. 综上知 s∈[-3,4].故选 A. 8. 答案:C 解析:利用|PF|= 2 4 2Px   ,可得 xP=3 2 . ∴yP= 2 6 .∴S△POF= 1 2 |OF|·|yP|= 2 3 . 故选 C. 9. 答案:C 解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ π0, 2      时,f(x)>0, 排除 A. 当 x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1. 令 f′(x)=0,得 2 π3x  . 故极值点为 2 π3x  ,可排除 D,故选 C. 10. 答案:D 解析:由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A= 1 25 . ∵A∈ π0, 2      ,∴cos A= 1 5 . ∵cos A= 236 49 2 6 b b    ,∴b=5 或 13 5b   (舍). 故选 D. 11. 答案:A 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱= 1 2 π×22×4=8π, V 长方体=4×2×2=16. 所以所求体积为 16+8π.故选 A. 12. 答案:D 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示. 当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x2+2x|相切为界限, 由 2 , 2 , y ax y x x     得 x2-(a+2)x=0. ∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2. ∴a∈[-2,0].故选 D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:∵b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b= 1 11 1 2 2    . ∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0, 即 ta·b+(1-t)b2=0. ∴ 1 2 t +1-t=0. ∴t=2. 14.答案:3 解析:画出可行域如图所示. 画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大 值,且最大值为 z=2×3-3=3. 15.答案: 9 π2 解析:如图, 设球 O 的半径为 R, 则 AH= 2 3 R , OH= 3 R . 又∵π·EH2=π,∴EH=1. ∵在 Rt△OEH 中,R2= 2 2+13 R     ,∴R2= 9 8 . ∴S 球=4πR2= 9π 2 . 16.答案: 2 5 5  解析:∵f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ), 其中 sin φ= 2 5 5 ,cos φ= 5 5 . 当 x-φ=2kπ+ π 2 (k∈Z)时,f(x)取最大值. 即θ-φ=2kπ+ π 2 (k∈Z),θ=2kπ+ π 2 +φ(k∈Z). ∴cos θ= πcos 2     =-sin φ= 2 5 5  . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= 1 ( 1) 2 n nna d . 由已知可得 1 1 3 3 0, 5 10 5, a d a d      解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 2 1 2 1 1 n na a  = 1 1 1 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1n n n n            , 从而数列 2 1 2 1 1 n na a        的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 3 2 1n n            = 1 2 n n . 18. 解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得 x = 1 20 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+ 2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3, y = 1 20 (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+ 2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 7 10 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试 验结果有 7 10 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 19. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C2=OC2+ 2 1OA , 故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3. 20. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· 1e 2 x    . 令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e-2). 21. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外),其方程为 2 2 =14 3 x y (x≠-2). (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 1 | | | | QP R QM r  , 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得 2 | 3 | 1 k k =1,解得 k= 2 4  . 当 k= 2 4 时,将 2 24y x  代入 2 2 =14 3 x y ,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 4 6 2 7   , 所以|AB|= 21 k |x2-x1|=18 7 . 当 k= 2 4  时,由图形的对称性可知|AB|=18 7 . 综上,|AB|= 2 3 或|AB|=18 7 . 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 所以 BG= 3 2 . 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF, 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 3 2 . 23. 解:(1)将 4 5cos , 5 5sin x t y t      消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将 cos , sin x y        代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 由 2 2 2 2 8 10 16 0, 2 0 x y x y x y y           解得 1, 1 x y    或 0, 2. x y    所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 π2, 4      , π2, 2      . 24. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则 y= 15 , ,2 12, 1,2 3 6, 1. x x x x x x           其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ 1,2 2 a    时,f(x)=1+a. 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对 x∈ 1,2 2 a    都成立. 故 2 a ≥a-2,即 a≤ 4 3 . 从而 a 的取值范围是 41, 3     . 2012 年高考全国卷数学 1 试题及参考答案 数学(理科) 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在 试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的。 1.复数 1z i  , z 为 z 的共轭复数,则 1zz z  () (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数  2 0y x x  的反函数为() (A)   2 4 xy x R  (B)   2 04 xy x  (C)  24y x x R  (D)  24 0y x x  3.下面四个条件中,使 a b 成立的充分而不必要的条件是() (A) 1a b  (B) 1a b  (C) 2 2a b (D) 3 3a b 4.设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和,若 1 1a  ,公差 22, 24k kd S S   ,则 k=() (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数    cos 0f x x   ,将  y f x 的图像向右平移 3  个单位长度后,所得的图 像与原图像重合,则 的最小值等于() (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角 l   ,点 , ,A AC l C  为垂足, , ,B BD l D  为垂足,若 2, 1AB AC BD   ,则 D 到平面 ABC 的距离等于() (A) 2 2 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 1 7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有() (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 2 1xy e  在点 0,2 处的切线与直线 0y  和 y x 围成的三角形的面积为() (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) 1 9.设  f x 是周期为 2 的奇函数,当 0 1x  时,    2 1f x x x  ,则 5 2f      () (A) 1 2  (B) 1 4  (C) 1 4 (D) 1 2 10.已知抛物线 C: 2 4y x 的焦点为 F,直线 2 4y x  与 C 交于 A、B 两点,则 cos AFB  () (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 5  (D) 4 5  11.已知平面 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 成 60 二面角的平面  截该球面得圆 N,若 该球面的半径为 4.圆 M 的面积为 4 ,则圆 N 的面积为() (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 12. 设向量 , ,a b c    满足 11, , , 602a b a b a c b c                ,则 c  的最大值等于() (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13.  20 1 x 的二项展开式中, x 的系数与 9x 的系数之差为 . 14. 已知 ,2      , 5sin 5   ,则 tan 2  . 15. 已知 1 2F F、 分别为双曲线 2 2 : 19 27 x yC   的左、右焦点,点 A C ,点 M 的坐标为 2,0 , AM 为 1 2F AF 的角平分线,则 2AF  . 16. 已知点 E、F 分别在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1 1BB CC、 上,且 1 2B E EB , 12CF FC ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 , ,a b c 。已知 90 , 2A C a c b    ,求 C 18.(本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 中, / / ,AB CD BC CD ,侧面 SAB 为 等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明: SD SAB 平面 ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 20.(本小题满分 12 分) 设数列 na 满足 1 1 1 10, 11 1n n a a a     (Ⅰ)求 na 的通项公式; (Ⅱ)设 11 n n ab n  ,记 1 n n k k S b    ,证明: 1nS  。 21.(本小题满分 12 分) 已知O 为坐标原点,F为椭圆 2 2: 12 yC x   在 y轴正半轴上的焦点,过 F且斜率为 2 的 直 线 l 与 C 交 于 A 、 B 两 点 , 点 P 满 足 0.OA OB OP     (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一个圆上。 22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数     2ln 1 2 xf x x x     ,证明:当 0x  时,   0f x  (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续 抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: 19 2 9 1 10p e      2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学试题参考答案 仅供参考 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. B 2. B 3. A 4. D 5.C 6. C 7. B 8. D 9. A 10 . D 11. D 12. A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 13. 0 14. 4 3  15.6 16. 2 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 10 分) 解:由 90A C   ,得 22B A C C     故sin sin cos2A C C      ,sin sin 2 cos22B C C      由 2 sin sin 2 sina c b A C B     , 故 cos sin 2 cos2C C C  ,  2 2cos sin 2 cos sinC C C C   又显然 2C  ,故 2cos sin 2C C  ,再由 2 2cos sin 1C C  , 解得: 6 2cos 4C  ,于是 12C  18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设购买乙种保险的概率为 x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 故 1 0.5 0.3 0.6x x    , 所以该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为   1 1 0.5 1 0.6 0.8    (Ⅱ)由(Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为1 0.8 0.2  所以有 X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为    100 100 0.2 0.8X XXp C   显然,X 服从二项分布,即  100,0.2X B ,所以 100 0.2 20EX    X 的期望为 20 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在直角梯形 ABCD 中,AB=BC=2,CD=1, / / ,AB CD BC CD , 易算得: 5AD BD  , 又因为侧面 SAB 为等边三角形,SD=1,AB=2, 所以 2 2 25SD SA AD   , 2 2 25SD SB BD   于是 SD SA , SD SB ,所以 SD SAB 平面 (Ⅱ)设点 A 到平面 SBC 的距离为 d, 因为 SD SAB 平面 ,所以 SD AB ,从而 SD CD , 因而可以算得: 2SC  ,又 2SB BC  ,故 7 2SBCS  又因为 / /CD SAB平面 ,所以点 C 到平面 SAB 的距离为 1SD  另外,显然 23 2 34SBAS    ,所以 1 7 1 3 13 2 3A SBC C SABV d V      四棱锥 四棱锥 得: 2 21 7d  设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ,则 2 21 217sin 2 7    , 即 AB 与平面 SBC 所成的角为 21sin 7arc (显然 是锐角) 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 1 1 1 11 1n na a    得:数列 1 1 na      是等差数列,首项为 1 1 11 a  故  1 1 1 11 n n na      ,从而 11na n   (Ⅱ) 1 11 11 1 1 11 1 1 n n a n nnb n n n n n n            所以 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 3 1 1 n n k k S b n n n               21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:易知:  0,1F ,故: : 2 1l y x   ,代入椭圆方程得: 24 2 2 1 0x x   , 设      1 1 2 2, , , , ,A x y B x y P x y ,则 1 2 2 2x x  ,  1 2 1 22 2 1y y x x      , 因为 0.OA OB OP     所以       1 1 2 2, , , 0,0x y x y x y      1 2 1 2 2, , , 12x y x x y y             ,将此坐标代入椭圆: 2 22 1 12 2        , 所以点 P 在 C 上。 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) : 24 2 2 1 0x x   及 : 2 1l y x   , 得 2 6 3 1 2 6 1 3, , ,4 2 4 2A B                 ,因为 2 , 12p       ,所以 2 ,12Q       于是可以算得: 2 2 6APk   , 6 2 2AQk   , 2 2 6BPk   , 6 2 2BQk    tan 4 2PBQ   , 2tan 63APB  , tan 4 2PAQ   2tan 63AQB  于是四边形 APBQ 对角互补,从而 A、P、B、Q 四点在同一个圆上。 22 .(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ) 0x  时,          2 2 2 2 2 21 01 2 1 2 x x xf x x x x x          , 于是  f x 在 0, 上单调增,所以    0 0f x f  (Ⅱ) 20 19 100 99 82 81 99 98 81 100 100p              19 99 81 (98 81) 91 89 90 100         (共有19 1 92   对数相乘) 192 2 2 19 19 19 90 90 90 90 90 90 100 100 10x              由(Ⅰ), 1 0x   时,也有      2 2 0 1 2 xf x x x      , 故  f x 在 1,0 上单调增,所以  1 0 010f f      即 1 1 9 9 25ln ln 01910 10 10 19 10 f                      即 919ln 210       ,两边同时取 e 的对数得: 19 2 2 9 1 10 e e       综上所述: 19 2 9 1 10p e      2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学 本试卷共 4 页,三大题 21 小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在 试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的。 1.复数 1z i  , z 为 z 的共轭复数,则 1zz z   (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数  2 0y x x  的反函数为 (A)   2 4 xy x R  (B)   2 04 xy x  (C)  24y x x R  (D)  24 0y x x  3.下面四个条件中,使 a b 成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b  (B) 1a b  (C) 2 2a b (D) 3 3a b 4.设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和,若 1 1a  ,公差 22, 24k kd S S   ,则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数    cos 0f x x   ,将  y f x 的图像向右平移 3  个单位长度后,所得的图 像与原图像重合,则 的最小值等于 (A) 1 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角 l   ,点 , ,A AC l C  为垂足, , ,B BD l D  为垂足,若 2, 1AB AC BD   ,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A) 2 2 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 1 7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 2 1xy e  在点 0,2 处的切线与直线 0y  和 y x 围成的三角形的面积为 (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D) 1 9.设  f x 是周期为 2 的奇函数,当 0 1x  时,    2 1f x x x  ,则 5 2f      (A) 1 2  (B) 1 4  (C) 1 4 (D) 1 2 10.已知抛物线 C: 2 4y x 的焦点为 F,直线 2 4y x  与 C 交于 A、B 两点,则 cos AFB  (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 5  (D) 4 5  11.已知平面 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 成 60 二面角的平面  截该球面得圆 N,若 该球面的半径为 4.圆 M 的面积为 4 ,则圆 N 的面积为 (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 12. 设向量 , ,a b c    满足 11, , , 602a b a b a c b c                ,则 c  的最大值等于 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13.  20 1 x 的二项展开式中, x 的系数与 9x 的系数之差为 . 14. 已知 ,2      , 5sin 5   ,则 tan 2  . 15. 已知 1 2F F、 分别为双曲线 2 2 : 19 27 x yC   的左、右焦点,点 A C ,点 M 的坐标为 2,0 , AM 为 1 2F AF 的角平分线,则 2AF  . 16. 已知点 E、F 分别在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1 1BB CC、 上,且 1 2B E EB , 12CF FC ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 , ,a b c 。已知 90 , 2A C a c b    ,求 C 18.(本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 中, / / ,AB CD BC CD ,侧面 SAB 为等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明: SD SAB 平面 ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 20.(本小题满分 12 分) 设数列 na 满足 1 1 1 10, 11 1n n a a a     (Ⅰ)求 na 的通项公式; (Ⅱ)设 11 n n ab n  ,记 1 n n k k S b    ,证明: 1nS  。 21.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 2 2: 12 yC x   在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 2 的直线l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 0.OA OB OP     (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一个圆上。 22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数     2ln 1 2 xf x x x     ,证明:当 0x  时,   0f x  (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续 抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: 19 2 9 1 10p e      2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学试题参考答案(不是标准答案) 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. B 2. B 3. A 4. D 5.C 6. C 7. B 8. D 9. A 10.D 11. D 12. A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 13. 0 14. 4 3  15.6 16. 2 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 10 分) 解:由 90A C   ,得 22B A C C     故sin sin cos2A C C      ,sin sin 2 cos22B C C      由 2 sin sin 2 sina c b A C B     , 故 cos sin 2 cos2C C C  ,  2 2cos sin 2 cos sinC C C C   又显然 2C  ,故 2cos sin 2C C  ,再由 2 2cos sin 1C C  , 解得: 6 2cos 4C  ,于是 12C  18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设购买乙种保险的概率为 x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 故 1 0.5 0.3 0.6x x    , 所以该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为   1 1 0.5 1 0.6 0.8    (Ⅱ)由(Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为1 0.8 0.2  所以有 X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为    100 100 0.2 0.8X XXp C   显然,X 服从二项分布,即  100,0.2X B , 所以 100 0.2 20EX    X 的期望为 20 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在直角梯形 ABCD 中,AB=BC=2,CD=1, / / ,AB CD BC CD , 易算得: 5AD BD  , 又因为侧面 SAB 为等边三角形,SD=1,AB=2, 所以 2 2 25SD SA AD   , 2 2 25SD SB BD   于是 SD SA , SD SB , 所以 SD SAB 平面 (Ⅱ)设点 A 到平面 SBC 的距离为 d, 因为 SD SAB 平面 ,所以 SD AB ,从而 SD CD , 因而可以算得: 2SC  ,又 2SB BC  ,故 7 2SBCS  又因为 / /CD SAB平面 ,所以点 C 到平面 SAB 的距离为 1SD  另外,显然 23 2 34SBAS    , 所以 1 7 1 3 13 2 3A SBC C SABV d V      四棱锥 四棱锥 得: 2 21 7d  设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ,则 2 21 217sin 2 7    , 即 AB 与平面 SBC 所成的角为 21sin 7arc (显然 是锐角) 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 1 1 1 11 1n na a    得: 数列 1 1 na      是等差数列,首项为 1 1 11 a  故  1 1 1 11 n n na      ,从而 11na n   (Ⅱ) 1 11 11 1 1 11 1 1 n n a n nnb n n n n n n            所以 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 3 1 1 n n k k S b n n n               21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:易知:  0,1F ,故: : 2 1l y x   ,代入椭圆方程得: 24 2 2 1 0x x   , 设      1 1 2 2, , , , ,A x y B x y P x y ,则 1 2 2 2x x  ,  1 2 1 22 2 1y y x x      , 因为 0.OA OB OP     所以       1 1 2 2, , , 0,0x y x y x y      1 2 1 2 2, , , 12x y x x y y             ,将此坐标代入椭圆: 2 22 1 12 2        , 所以点 P 在 C 上。 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) : 24 2 2 1 0x x   及 : 2 1l y x   , 得 2 6 3 1 2 6 1 3, , ,4 2 4 2A B                 ,因为 2 , 12p       ,所以 2 ,12Q       于是可以算得: 2 2 6APk   , 6 2 2AQk   , 2 2 6BPk   , 6 2 2BQk    tan 4 2PBQ   , 2tan 63APB  , tan 4 2PAQ   2tan 63AQB  于是四边形 APBQ 对角互补,从而 A、P、B、Q 四点在同一个圆上。 22 .(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ) 0x  时,          2 2 2 2 2 21 01 2 1 2 x x xf x x x x x          , 于是  f x 在 0, 上单调增,所以    0 0f x f  (Ⅱ) 20 19 100 99 82 81 99 98 81 100 100p              19 99 81 (98 81) 91 89 90 100         (共有19 1 92   对数相乘) 192 2 2 19 19 19 90 90 90 90 90 90 100 100 10x              由(Ⅰ), 1 0x   时,也有      2 2 0 1 2 xf x x x      , 故  f x 在 1,0 上单调增,所以  1 0 010f f      即 1 1 9 9 25ln ln 01910 10 10 19 10 f                      即 919ln 210       ,两边同时取 e 的对数得: 19 2 2 9 1 10 e e       综上所述: 19 2 9 1 10p e      2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.........。 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24S R 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 33 4V R n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0,1,2, )k k n k n nP k C p p k n   … 一.选择题 (1)复数 3 2 2 3 i i   (A)i (B) i (C)12-13i (D) 12+13i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】 3 2 (3 2 )(2 3 ) 6 9 4 6 2 3 (2 3 )(2 3 ) 13 i i i i i ii i i           . (2)记 cos( 80 ) k   ,那么 tan100  A. 21 k k  B. - 21 k k  C. 21 k k D. - 21 k k 2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】 2 2 2sin80 1 cos 80 1 cos ( 80 ) 1 k         ,所以 tan100 tan80    2sin80 1 .cos80 k k       (3)若变量 ,x y 满足约束条件 1, 0, 2 0, y x y x y         则 2z x y  的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图),由图可知,当直线l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最 大值为 max 1 2 ( 1) 3z      . (4)已知各项均为正数的等比数列{ na }, 1 2 3a a a =5, 7 8 9a a a =10,则 4 5 6a a a = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 】 由 等 比 数 列 的 性 质 知 3 1 2 3 1 3 2 2( ) 5a a a a a a a   , 3 7 8 9 7 9 8 8( )a a a a a a a   10,所以 1 3 2 8 50a a  , 所以 1 3 3 36 4 5 6 4 6 5 5 2 8( ) ( ) (50 ) 5 2a a a a a a a a a     (5) 3 53(1 2 ) (1 )x x  的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是 展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项 式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力. 【解析】 3 5 53 3(1 2 ) (1 ) (1 6 12 8 )(1 )x x x x x x x       0x y  1 O y x y 2 0x y   x A 0 : 2 0l x y  2 2 A A B CD A1 B1 C1 D1 O 故 3 53(1 2 ) (1 )x x  的 展 开 式 中 含 x 的 项 为 3 3 03 5 51 ( ) 12 10 12 2C x xC x x x        ,所以 x 的系数为-2. (6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的 数学思想. 【解析】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2门,有 1 2 3 4C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 2 1 3 4C C 种不同的 选法.所以不同的选法共有 1 2 3 4C C + 2 1 3 4 18 12 30C C    种. (7)正方体 ABCD- 1 1 1 1A B C D 中,B 1B 与平面 AC 1D 所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. 【解析】因为 BB1//DD1,所以 B 1B 与平面 AC 1D 所成角和 DD1 与 平面 AC 1D 所成角相等,设 DO⊥平面 AC 1D ,由等体积法得 1 1D ACD D ACDV V  ,即 1 1 1 1 3 3ACD ACDS DO S DD    .设 DD1=a, 则 1 2 2 1 1 1 3 3sin 60 ( 2 )2 2 2 2ACDS AC AD a a      , 21 1 2 2ACDS AD CD a   . 所 以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD S DD aDO aS a      , 记 DD1 与 平 面 AC 1D 所 成 角 为  , 则 1 3sin 3 DO DD    ,所以 6cos 3   . (8)设 a= 3log 2,b=In2,c= 1 25  ,则 A af(1)=1+ 2 1 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). (11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA PB  的 最小值为 (A) 4 2  (B) 3 2  (C) 4 2 2  (D) 3 2 2  11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学 知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示:设 PA=PB= x ( 0)x  ,∠APO= 则∠APB= 2 ,PO= 21 x , 2 1sin 1 x    , | | | | cos2PA PB PA PB       = 2 2(1 2sin )x  = 2 2 2 ( 1) 1 x x x   = 4 2 2 1 x x x   ,令 PA PB y   ,则 4 2 2 1 x xy x   ,即 4 2(1 ) 0x y x y    ,由 2x 是实数,所以 2[ (1 )] 4 1 ( ) 0y y         , 2 6 1 0y y   ,解得 3 2 2y    或 3 2 2y    . 故 min( ) 3 2 2PA PB     .此时 2 1x   . (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 ABCD 1 1 22 23 2 3V h h     四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 2 2 max 2 2 1 2 3h    ,故 max 4 3 3V  . P A B O 绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷 注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效.........。 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效) (13)不等式 22 1 1x x   的解集是 . 13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于 2 22 1 ( 1) , 1 0 x x x        解得 0≤x≤2. (14)已知 为第三象限的角, 3cos2 5    ,则 tan( 2 )4    . 14. 1 7  【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为  为第三象限的角,所以 2 (2(2 1) , 2(2 1) )( )k k k Z        ,又 3cos2 5    <0, 所以 2 ( 2(2 1) , 2(2 1) )( )2 k k k Z         ,于是有 4sin 2 5   , sin 2 4tan 2 cos2 3     ,所以 tan( 2 )4    41tan tan 2 134 4 71 tan tan 2 14 3           . (15)直线 1y  与曲线 2y x x a   有四个交点,则 a 的取值范围是 . 15.(1, 5)4 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形 结合的数学思想. 1 2x  y=1 x y a O 1 2x   4 1 4 ay  2y x x a   【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线 1y  与曲线 2y x x a   ,观图可知,a 的 取值必须满足 1 ,4 1 14 a a    解得 51 4a  . (16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的 延 长 线 交 C 于 点 D , 且 BF 2FD uur uur , 则 C 的 离 心 率 为 . 16. 2 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, 2 2| |BF b c a   , 作 1DD y 轴于点 D1,则由 BF 2FD uur uur ,得 1 | | | | 2 | | | | 3 OF BF DD BD   ,所以 1 3 3| | | |2 2DD OF c  , 即 3 2D cx  ,由椭圆的第二定义得 2 23 3| | ( )2 2 a c cFD e ac a     又由| | 2 | |BF FD ,得 232 cc a a   ,整理得 2 23 2 0c a ac   . 两边都除以 2a ,得 23 2 0e e   ,解得 1( )e   舍去 ,或 2 3e  . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效............) 已知 ABCV 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 cot cota b a A b B   ,求内角 C . 17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的 边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效.........). 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3. 各专家独立评审. xO y B F 1D D (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、 分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思 想、化归与转化思想. (19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD  底面 ABCD,AB//DC,AD  DC,AB=AD=1,DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC  平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 . 【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面 角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数 ( ) ( 1)ln 1f x x x x    . (Ⅰ)若 2'( ) 1xf x x ax   ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( 1) ( ) 0x f x  . 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想. (21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F,过点 ( 1,0)K  的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ( Ⅱ)设 8 9FA FB    ,求 BDK 的内切圆 M 的方程 . 【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力, 同时考查了数形结合思想、设而不求思想.. (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知数列 na 中, 1 1 11, n n a a c a   . (Ⅰ)设 5 1,2 2n n c b a    ,求数列 nb 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 1 3n na a   成立的 c 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础 知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透 了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.