虹口区高考数学二模含答案 8页

‎2018年虹口区高考数学二模含答案 　 ‎ ‎（时间120分钟，满分150分） 2018.4‎ 一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）‎ ‎1．已知，，且，则实数的范围是 ．‎ ‎2．直线与直线互相平行，则实数 ．‎ ‎3．已知，，则 ．‎ ‎4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则 ．‎ ‎5．已知函数 ，则 ．‎ ‎6．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 ． ‎ ‎7．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 _______．‎ ‎8．若将函数表示成则的值等于 ．‎ ‎ 9．如图，长方体的边长 ， ，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于 ． ‎ ‎10．椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______. ‎ ‎11．是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是 ． ‎ ‎12．函数，对于且（），记，则的最大值等于 ．‎ 二．选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13．下列函数是奇函数的是（ ）．　‎ ‎ ‎ ‎14．在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎15．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（ ）‎ ‎ 4 8‎ ‎16．已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）‎ 不存在和使得 不存在和使得 不存在和使得 不存在和使得 ‎ 三．解答题（本大题满分76分）‎ ‎ 17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）‎ ‎ 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点．‎ ‎（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线，所成的角的大小．‎ ‎ 18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）‎ ‎ 已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.‎ ‎（1）若 ，求边长的值；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）‎ 平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.‎ ‎（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；‎ ‎（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．‎ ‎ 20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）‎ 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.‎ ‎（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是； ‎ ‎（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；‎ ‎（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．‎ ‎21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）‎ 已知函数（，），（）.‎ ‎（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）判断在和的单调性，并说明理由；‎ ‎（3）证明：函数存在零点q，使得成立的充要条件是．‎ 虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科 期中教学质量监控测试题答案 一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）‎ ‎1、； 2、2； 3、； 4、2； 5、； 6、； 7、或； ‎ ‎8、20； 9、； 10、； 11、或； 12、16； ‎ 二、选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎13、； 14、； 15、； 16、；‎ 三、解答题（本大题满分76分）‎ ‎17、（14分）解:（1） ， ……2分 ‎ ，到平面的距离等于，即到平面的距离等于， ‎ ‎ 三棱柱 的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）……………7分 ‎（2）取线段的三等分点，，连，.‎ ‎ ∥，∥， 的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.…………9分 ‎ ， ， .‎ ‎ .‎ ‎ 异面直线，所成的角的大小等于.………………14分 ‎18、（14分）解：（1）的两个根为.…………2分 ‎ ， ， .…………4分 ‎ ， ，得……………7分 ‎（2）.‎ ‎，从而，等号当时成立，此时.的面积的最大值等于.……………14分 ‎19、（14分）解：（1）设，.‎ 由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.……………………3分 ‎.………………6分 ‎（2）设 ，.‎ 由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.‎ 由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分 令………①‎ ‎…………②.‎ ‎①-②得，，得 令 从而………………14分 ‎20、（16分解：（1）由点在椭圆上，有，在直线上 当时，由，得，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线是椭圆切线.‎ 当时，有，直线为代入椭圆方程得，有，直线是椭圆切线.…………………4分 另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消，得到的一元二次方程，然后证明 ‎（2）点不在坐标轴上，，得. ‎ ‎，得……………………6分 过点的切线为，得.由，得，从而有，点是线段的中点.…9分 ‎（3）,,的方向向量，.，，，，记与的夹角，与的夹角.………12分 ‎，‎ ‎，‎ 所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.……16分 ‎21、（18分）解：(1) 由，得 ………………3分 ‎（2）设 ，‎ 当 时， ， ，，， ，‎ 有，， .………………6分 当 时， ， ，，， ，有，， .‎ 当时， ， ，，， .‎ ‎ 在递减，在和上递增，从而在上递增.………10分 ‎(3) 充分性：当时，有，又，函数在内的图像连续不断，故在内一定存在零点且 ，有，得，从而.……14分 必要性：当时，.‎ 当时，由成立，可得从而得，，由（2）中的结论可知在递减，在递增，从而，或 .‎ 从而，时，有.………………18分