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- 2021-05-13 发布
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(文科)2017.4
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.设集合,集合,则集合等于
A. B. C. D .
2.圆心为且与直线相切的圆的方程为
A. B.
C. D .
3.执行如右图所示的程序框图,输出的值为
A.B.
C. D.
4.若实数满足,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为
A.B.
C. D.
6.在中,点满足,则
A.点不在直线上B.点在的延长线上
C.点在线段上 D.点在的延长线上
7.若函数的值域为,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.如图,在公路两侧分别有七个工厂,各工厂与公路(图中粗线)之间有小公路连接. 现在需要在公路上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是
①车站的位置设在点好于B点;
②车站的位置设在点与C点之间任何一点效果一样;
③车站位置的设置与各段小公路的长短无关.
A. ① B.② C. ①③D.②③
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.已知复数为纯虚数,则实数___.
10.已知等比数列中,,,则公比,其前项和___.
11. 若抛物线的准线经过双曲线的左焦点,则实数___.
12.若满足则的最大值是___.
13.已知函数,若函数
的部分图象如图所示,则___,的最小值是.
14.阅读下列材料,回答后面问题:
在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“……假如此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话,2014年航空事故死亡人数将达到1320人。尽管如此,航空安全专家还是提醒人们:飞机仍是相对安全的交通工具。①世界卫生组织去年公布的数据显示,每年大约有124万人死于车祸,而即使在航空事故死亡人数最多的一年,也就是1972年,其死亡数字也仅为3346人;②截至2014年9月,每百万架次中有2.1次(指飞机失事),乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右。”
对上述航空专家给出的①、②两段描述(划线部分),你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有描述的序号为______,你的理由是____.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.(本小题满分13分)
已知等差数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
16.(本小题满分13分)
某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地出现,两种“共享单车”(以下简称型车,型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.
(Ⅰ)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到型车,3人租到型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率;
(Ⅱ)根据已公布2016年全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如:第3个月租用a型车的人中,在第4个月有60%的人仍租用a型车.
第3个月
第4个月
租用型车
租用型车
租用型车
60%
50%
租用型车
40%
50%
若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用两种车型的用户比例为,根据表格提供的信息,估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例.
17.(本小题满分13分)
已知中,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ) 若,求的值.
18.(本小题满分14分)
已知四棱锥中,底面为正方形,,,分别是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)求证:平面平面.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,且,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点, 若点P在直线上,直线与椭圆交于另一点判断是否存在点,使得四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求函数的最小值;
(Ⅲ)求证:存在当时,
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科) 2017.4
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
C
B
D
A
C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,
共30分)
9. 2
10.2,15
11. 4
12.
13.2,
14.选①,数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系;
选②,数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关
不选②,数据②两个数据虽表面不是同一类数据,但是可以做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人数2.1人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数。
{说明:只要对两个数据言之有理,就给5分。若是只对一个数据进行了合理说明,给3分。}
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.解:
(Ⅰ)设数列的公差为,
因为,,所以,
所以,.
又,所以,
所以.
(Ⅱ)记
所以,
又,
所以是首项为,公差为的等差数列,
其前项和
.
16.解:
(Ⅰ)法1:依题意记租到a型车的4人为A1,A2,A3,A4;
租到b型车的3人为B1,B2,B3;
设事件A为“7人中抽到2人,至少有一人租到a型车”,
则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”.
如表格所示:从7人中抽出2人共有21种情况,
事件发生共有3种情况,
所以事件A概率p(A)=P()=.
法2:依题意记租到a型车的4人为A1,A2,A3,A4;
租到b型车的3人为B1,B2,B3;
设事件A为“7人中抽到2人,至少有一人租到a型车”,
事件A包含两类情形:2人都租到a型车;一人租用a型车,一人租用b型车。两类情形共有18种情况.
从7人中抽出2人共有21种情况,
所以事件A发生的概率.
(Ⅱ)依题意,市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%,
租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%,
所以市场4月租用a,b型车的用户比例为.
{说明:如果学生假设a型车和b型车的具体数值,然后计算数值再求比例,不扣分}
17.解:
(Ⅰ)因为,
所以由正弦定理,
得,
得,
所以.
(Ⅱ)法1:由余弦定理,,
因为,
所以,
所以,即,
因为,所以,
{或因为,所以}
所以,所以.
法2:由余弦定理,,
因为,
所以,
所以.
因为,所以,
所以,所以.
法3:因为,
所以由余弦定理,,
可得,即,
又因为,所以计算可得,即,
因为,所以,
所以,
所以.
法4:因为,根据余弦定理,可得
,
又因为,所以计算可得,即,
因为,所以,
所以,
所以.
18.解:
(Ⅰ)连接,与交于点,连接,
在中,,分别是,中点,
所以,
又因为平面,---1分平面,
所以平面.
{说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}
(Ⅱ)法1:因为平面,平面,
所以,,
又因为,,平面,
所以平面,
在直角中,,为中点,
所以,
所以三棱锥的体积为.
法2:因为平面,所以为棱锥的高.
因为,底面是正方形,
所以,
因为为中点,所以,
所以.
(Ⅲ)证明:
因为平面,平面,
所以,
在等腰直角中,,
又,平面,
所以平面,
又,
所以平面,
又平面,
所以平面平面.
19.解:
(Ⅰ)由得.
又因为,
所以,
所以,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)法1:假设存在点使得四边形为梯形.
由题可知,显然不平行,所以与平行,.
设点,,,,
则①
直线方程为,
由点在直线上,则② -
①②联立,,显然,可解得.
又由点在椭圆上,,所以,
即,将其代入①,解得,
所以.
法2:假设存在点使得四边形为梯形.
由题可知,显然不平行,所以与平行, .
显然直线存在斜率且斜率不为,设,
设直线方程为.
由得,
又因为,所以,
,
所以.
,所以.
所以,
因为,所以,
解得,
所以.
法3:假设存在点使得四边形为梯形.
由题可知,显然不平行,所以与平行, ,
显然直线斜率存在,设直线方程为.
则,所以,所以,
又因为,所以.
所以直线方程为,,
消,.
又因为, 所以,即,
所以.
所以.
由可得,
解得,
所以,,
法4:假设存在点使得四边形为梯形.
由题可知,显然不平行,所以与平行,
所以,所以.
设点,.
过点作于,则有,
所以,
所以,所以,
代入椭圆方程,求得,
所以.
20.解:
(Ⅰ),
由已知可得,
所以,得.
(Ⅱ),令,得,
所以,,的变化情况如下表所示:
↘
极小值
↗
所以的最小值为.
(Ⅲ)证明:显然且,
由(Ⅱ)知,在上单调递减,在上单调递增.
又,,
由零点存在定理,存在唯一实数,满足,
即,,
综上,存在两个零点,分别为0,.
所以
时,,即,在上单调递增;
时,,即,在上单调递减;
时,,即,在上单调递增,
所以是极大值,是极小值,
,
因为,
所以,所以,
因此时,.
因为且在上单调递增,
所以一定存在满足,
所以存在,当时,.