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  • 2021-05-13 发布

2017高考海淀区高三一模文科数学试卷及答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(文科)2017.4‎ 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.设集合,集合,则集合等于 A. B. C. D .‎ ‎2.圆心为且与直线相切的圆的方程为 A. B.‎ C. D .‎ ‎3.执行如右图所示的程序框图,输出的值为 A.B.‎ C. D.‎ ‎4.若实数满足,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为 A.B.‎ C. D.‎ ‎6.在中,点满足,则 A.点不在直线上B.点在的延长线上 C.点在线段上 D.点在的延长线上 ‎7.若函数的值域为,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎8.如图,在公路两侧分别有七个工厂,各工厂与公路(图中粗线)之间有小公路连接. 现在需要在公路上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是 ①车站的位置设在点好于B点;‎ ②车站的位置设在点与C点之间任何一点效果一样;‎ ③车站位置的设置与各段小公路的长短无关. ‎ A. ① B.② C. ①③D.②③‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎9.已知复数为纯虚数,则实数___.‎ ‎10.已知等比数列中,,,则公比,其前项和___.‎ ‎11. 若抛物线的准线经过双曲线的左焦点,则实数___.‎ ‎12.若满足则的最大值是___.‎ ‎13.已知函数,若函数 的部分图象如图所示,则___,的最小值是.‎ ‎14.阅读下列材料,回答后面问题:‎ 在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“……假如此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话,2014年航空事故死亡人数将达到1320人。尽管如此,航空安全专家还是提醒人们:飞机仍是相对安全的交通工具。①世界卫生组织去年公布的数据显示,每年大约有124万人死于车祸,而即使在航空事故死亡人数最多的一年,也就是1972年,其死亡数字也仅为3346人;②截至2014年9月,每百万架次中有2.1次(指飞机失事),乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右。”‎ 对上述航空专家给出的①、②两段描述(划线部分),你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有描述的序号为______,你的理由是____.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 已知等差数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地出现,两种“共享单车”(以下简称型车,型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.‎ ‎(Ⅰ)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到型车,3人租到型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率;‎ ‎(Ⅱ)根据已公布2016年全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如:第3个月租用a型车的人中,在第4个月有60%的人仍租用a型车.‎ 第3个月 第4个月 租用型车 租用型车 租用型车 ‎60%‎ ‎50%‎ 租用型车 ‎40%‎ ‎50%‎ 若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用两种车型的用户比例为,根据表格提供的信息,估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 已知中,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ) 若,求的值. ‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 已知四棱锥中,底面为正方形,,,分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积;‎ ‎(Ⅲ)求证:平面平面.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,且,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点, 若点P在直线上,直线与椭圆交于另一点判断是否存在点,使得四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 已知函数,曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求函数的最小值;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在当时,‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学(文科) 2017.4 ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C C C B D A C 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,‎ 共30分)‎ ‎9. 2‎ ‎ 10.2,15‎ ‎ 11. 4‎ ‎12. ‎ ‎ 13.2,‎ ‎14.选①,数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系;‎ 选②,数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关 不选②,数据②两个数据虽表面不是同一类数据,但是可以做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人数2.1人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数。‎ ‎{说明:只要对两个数据言之有理,就给5分。若是只对一个数据进行了合理说明,给3分。}‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.解:‎ ‎(Ⅰ)设数列的公差为,‎ 因为,,所以,‎ 所以,.‎ 又,所以,‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)记 所以,‎ 又,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,‎ 其前项和 ‎.‎ ‎16.解:‎ ‎(Ⅰ)法1:依题意记租到a型车的4人为A1,A2,A3,A4;‎ 租到b型车的3人为B1,B2,B3;‎ 设事件A为“7人中抽到2人,至少有一人租到a型车”,‎ 则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”.‎ 如表格所示:从7人中抽出2人共有21种情况,‎ 事件发生共有3种情况,‎ 所以事件A概率p(A)=P()=.‎ 法2:依题意记租到a型车的4人为A1,A2,A3,A4;‎ 租到b型车的3人为B1,B2,B3;‎ 设事件A为“7人中抽到2人,至少有一人租到a型车”,‎ 事件A包含两类情形:2人都租到a型车;一人租用a型车,一人租用b型车。两类情形共有18种情况.‎ 从7人中抽出2人共有21种情况,‎ 所以事件A发生的概率.‎ ‎(Ⅱ)依题意,市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%,‎ 租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%,‎ 所以市场4月租用a,b型车的用户比例为.‎ ‎{说明:如果学生假设a型车和b型车的具体数值,然后计算数值再求比例,不扣分}‎ ‎17.解:‎ ‎(Ⅰ)因为,‎ 所以由正弦定理,‎ 得,‎ 得,‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)法1:由余弦定理,,‎ 因为,‎ 所以, ‎ 所以,即,‎ 因为,所以,‎ ‎{或因为,所以}‎ 所以,所以.‎ 法2:由余弦定理,,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以.‎ 因为,所以,‎ 所以,所以.‎ 法3:因为,‎ 所以由余弦定理,,‎ 可得,即,‎ 又因为,所以计算可得,即,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 法4:因为,根据余弦定理,可得 ‎,‎ 又因为,所以计算可得,即,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎18.解:‎ ‎(Ⅰ)连接,与交于点,连接,‎ 在中,,分别是,中点,‎ 所以,‎ 又因为平面,---1分平面,‎ 所以平面.‎ ‎{说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}‎ ‎(Ⅱ)法1:因为平面,平面,‎ 所以,,‎ 又因为,,平面,‎ 所以平面,‎ 在直角中,,为中点,‎ 所以,‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 法2:因为平面,所以为棱锥的高.‎ 因为,底面是正方形,‎ 所以,‎ 因为为中点,所以,‎ 所以.‎ ‎(Ⅲ)证明:‎ 因为平面,平面,‎ 所以,‎ 在等腰直角中,,‎ 又,平面,‎ 所以平面,‎ 又,‎ 所以平面,‎ 又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎19.解:‎ ‎ (Ⅰ)由得.‎ 又因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)法1:假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知,显然不平行,所以与平行,.‎ 设点,,,,‎ 则①‎ 直线方程为,‎ 由点在直线上,则② -‎ ①②联立,,显然,可解得. ‎ 又由点在椭圆上,,所以,‎ 即,将其代入①,解得,‎ 所以.‎ 法2:假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知,显然不平行,所以与平行, .‎ 显然直线存在斜率且斜率不为,设,‎ 设直线方程为.‎ 由得,‎ 又因为,所以,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎,所以.‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 解得,‎ 所以.‎ 法3:假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知,显然不平行,所以与平行, ,‎ 显然直线斜率存在,设直线方程为.‎ 则,所以,所以,‎ 又因为,所以.‎ 所以直线方程为,,‎ 消,.‎ 又因为, 所以,即,‎ 所以.‎ 所以. ‎ 由可得,‎ 解得,‎ 所以,,‎ 法4:假设存在点使得四边形为梯形. ‎ 由题可知,显然不平行,所以与平行, ‎ 所以,所以. ‎ 设点,. ‎ 过点作于,则有,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 代入椭圆方程,求得,‎ 所以. ‎ ‎20.解:‎ ‎(Ⅰ),‎ 由已知可得,‎ 所以,得.‎ ‎(Ⅱ),令,得,‎ 所以,,的变化情况如下表所示:‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的最小值为.‎ ‎(Ⅲ)证明:显然且,‎ 由(Ⅱ)知,在上单调递减,在上单调递增. ‎ 又,,‎ 由零点存在定理,存在唯一实数,满足,‎ 即,,‎ 综上,存在两个零点,分别为0,.‎ 所以 时,,即,在上单调递增;‎ 时,,即,在上单调递减;‎ 时,,即,在上单调递增,‎ 所以是极大值,是极小值,‎ ‎,‎ 因为,‎ 所以,所以,‎ 因此时,.‎ 因为且在上单调递增,‎ 所以一定存在满足,‎ 所以存在,当时,.‎