高考数学备考之百所名校组合卷系列专题03数列 18页

一、选择题：‎ ‎1． (广东省汕头市2012届高三教学质量测评文6)已知正项组成的等差数列的前项的和为，那么的最大值为 ‎ A． B． ‎ C． D． 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】，故，‎ ‎．‎ ‎2．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科3)如果数列，，，…，，…是首项为，公比为的等比数列，则等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理4)已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（ ）[21世纪教育网21世纪教育网 ‎(A). -110 (B). -90‎ ‎(C). 90 (D). 110‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为-2，所以a72=a3•a9，所以a72=（a7+8）（a7-4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选D ‎4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科3)公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为,由题意知:,即,解得,所以公比为3,选C.‎ ‎5. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科6)已知各项均为正数的等比数列，，，则 A． B． C． 8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为成等比数列,公比为,所以10,选A.‎ ‎6. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科7)等差数列中，已知，，公差，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．8‎ 答案：A 解析：，∴，又，∴的最大值为7.‎ 二、填空题：‎ ‎7.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文12)在等差数列中，若，则数列的公差等于 ； 其前项和的最大值为 ．‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】，所以 前6项的和最大 ‎8. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科11)已知等差数列中, ,,则 .‎ ‎【解析】‎ ‎9. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科11)正项数列满足，，则的通项公式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,两式相减得:‎ ‎,整理得: ,‎ 因为是正项数列,所以,所以是以4为公差,2为首项的等差数列,‎ 所以=.‎ ‎10. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科15) 当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数．如，…．记．‎ 则（1） ．（2） ．‎ ‎【答案】86；‎ ‎【解析】由题设知，．‎ ‎（1）‎ ‎．‎ ‎（2）‎ ‎，．‎ ‎11. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科16)对于正项数列，定义,若则数列的通项公式为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查数列通项公式的求法的问题。‎ 由则 由得，所以=.‎ 三、解答题 ‎12．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文21)（本小题满分14分）‎ 已知一非零向量列满足：，. ‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）设是的夹角，=，，求；‎ ‎（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【解析】‎ 解：（1）3分 ‎∴数列是以公比为，首项为的等比数列；……… ……4分 ‎（2）∵，‎ ‎∴=，……………………………………………… ……………6分 ‎∴=，………………………… …………………7分 ‎∴。… ………9分 ‎（3）假设存在最小项，设为，‎ ‎∵，……………………………………………………10分 ‎∴，………………………………………………………………11分 由得当时，；‎ 由得当时，；………………… ……13分 故存在最小项为。 ………………………… …………14分 ‎13．(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科19)（本小题满分14分）‎ 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足bn = 2logpan．‎ ‎ （Ⅰ）若p =，设数列的前n项和为Tn，求证：0 < Tn≤4；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在自然数M，使得当n > M时，an > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①‎ ‎ 由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②‎ ‎ ① – ②得(n≥2)‎ ‎ ∵an > 0 (n∈N*)‎ 又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p ‎{an}是以p为首项，为公比的等比数列 an = p bn = 2logpan = 2logpp2 – n ‎∴bn = 4 – 2n ………… 4分 ‎ 证明：由条件p =得an = 2n – 2‎ ‎ ∴Tn = ①‎ ‎ ②‎ ‎① – ②得 ‎= 4 – 2 ×‎ ‎= 4 – 2 ×‎ ‎14.(湖北省黄冈中学2012年2月高三调研理科18)（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(a>0，且)。数列满足 ‎（1）求数列的通项。‎ ‎（2）若对一切都有，求a的取值范围。‎ ‎18．解：（1）由题意可知当时，‎ ‎ 当时， （1）‎ ‎ （2）‎ ‎ 用（1）式减去（2）式得：‎ ‎ 所以数列是等比数列 所以）‎ ‎ （2）因为所以 ‎ 当对一切都有 即有 ‎ （1）当有当对一切都成立所以 ‎ （2）当 有当对一切都成立所以有 ‎ ‎ 综合以上可知或 ‎15. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理20) (本小题满分12分）设数列{an}的前N项和为’为等比数列’且 ‎(1) 求数列和的通项公式；‎ ‎(2) 设，求数列的前n项和.‎ ‎【解题说明】本试题主要考查数列的前n项和与通项公式之间的关系的运用，以及等比数列的通项公式，和数列的错位相减法求和的综合运用试题。关键是要把数列的通项公式的求解，注意对n=1,和分类讨论。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：（1）当n=1时，‎ ‎16. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科17)（本小题满分12分）‎ 等差数列中，，，其前项和为.‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设数列满足，其前n项和为，求证： ‎ ‎【解析】⑴，‎ ‎ ，即，得， ， ‎ ‎ . ‎ ‎ ⑵， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎17．(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考19)（本小题满分分）‎ 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足 ‎，．数列满足，为数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 【解析】（1）（法一）在中，令，，‎ 得 即 ………………………2分 解得，，‎ 又时，满足， ………………3分 ‎，‎ ‎． ………………5分 ‎（法二）是等差数列， ‎ ‎． …………………………2分 由，得 ， ‎ 又，，则． ………………………3分 ‎(求法同法一)‎ ‎（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………6分 ‎ ，等号在时取得． ‎ 此时 需满足． …………………………………………7分 ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………8分 ‎ 是随的增大而增大， 时取得最小值． ‎ 此时 需满足． …………………………………………9分 综合①、②可得的取值范围是． ………………………………………10分 ‎（3）， ‎ ‎ 若成等比数列，则，‎ 即． ………………………12分 由，可得，即，‎ ‎． ……………………………………14分 又，且，所以，此时．‎ 因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…16分 ‎[另解：因为，故，即，‎ ‎，（以下同上）． ……………………………………14分 ‎18．(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考23)（本小题满分10分）‎ 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用表示；‎ ‎（3）记，求证：当时，‎ ‎【解析】（1） …………2分 ‎ （2）因为数表中前行共有个数，则第行的第一个数是，所以 …………5分 ‎（3）因为，则， …………6分 所以 ……8分 当时，.‎ ‎………10分 ‎19.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文16)（本小题共13分）‎ 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，求的前项和．‎ 因为所以 ‎ 解得 或（舍），．‎ ‎ 故 ，． ……………6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以． ………11分 ‎ 故．‎ ‎………………13分 ‎20．(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科20)已知数列｛｝满足：，‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）猜想数列｛｝的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎ （Ⅲ）已知数列｛｝满足：，S为数列｛｝的前n项和，证明：… ‎ ‎【解析】‎ ‎21．(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科18)已知数列、满足：，，。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若，求数列｛｝的前n项和。‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵；，，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵，∴‎ ‎=‎ ‎∴+……‎ ‎=‎ ‎22. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科21)（本小题满分13分）‎ 已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设 ‎．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和为，求证：；‎ ‎（3）若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎【解析】（1）依题意点的坐标为， ‎ ‎（2），所以：，…（5分）‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎（当时取“”）．…（8分）‎ ‎（3），，‎ 由知 ‎， 而，所以可得．‎ 于是 ‎． …10分 当时 ；‎ 当时，‎ 当时， ‎ 下面证明：当时，‎ 证法一：（利用组合恒等式放缩）‎ 当时， ∴当时， ……13分 证法二：（数学归纳法）证明略 证法三：（函数法）∵时，‎ 构造函数，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴在区间是减函数，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴在区间是减函数，‎ ‎∴当时，‎ 从而时，，即∴当时，‎ ‎23. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科18)（本小题满分12分）‎ 已知数列是首项为且公比不等于的等比数列，是其前项的和，成等差数列.‎ ‎（1）证明：成等比数列；‎ ‎（2）求和：.‎ ‎【解析】（1）证明 由成等差数列， 得，‎ 即 所以（舍去）. …（3分）‎ 由 ‎ 得 所以成等比数列. …（6分）‎ ‎（2）解：‎ 即 …（8分）‎ 相减得：‎ 所以 …（12分）‎ ‎24. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科19)（本小题满分12分）‎ 在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作 ‎( I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)求数列的前项和 解：（I）设，公比为，则 又 数列的通项公式为.‎ ‎(II)由（I）知 ‎，（1） ‎ ‎，（2）‎ 得 ‎，‎ ‎.‎ ‎25．(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟20) (本小题满分16分) 已知数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.‎ ‎ ①求的值及对应的数列．‎ ‎②记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．‎ ‎ [2]若为等差中项,则,即,此时无解 ………9分 ‎[3]若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以………11分 综上所述,, 或,……………12分 ‎ ②[1]当时,,则由,得,‎ 当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数……14分 ‎[2]当时,,则由,得,因为,所以满足恒成立；但当时,存在,使得即,所以此时满足题意的最大正整数 …………16分 ‎【点评】本题考查等差、等比数列的基本性质与综合应用，属于中难题。‎ ‎26. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文17)（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和.‎ ‎27．(山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科19)（本小题满分12分）‎ 设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“‎ 嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.‎ 若为等比数列，‎ 则有，而，，‎ 故，解得 ………………………………7分 再将代入得成等比数列， 所以成立 …………………8分 由于①…………………10分 （或做差更简单：因为，所以也成立)‎ ‎②，故存在；‎ 所以符合①②,故为“嘉文”数列………………………………………12分 解析说明：利用求得与之间的关系，利用等比数列的定义证明.根据所给定义证明即可.‎