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  • 2021-05-13 发布

高考数学备考之百所名校组合卷系列专题03数列

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一、选择题:‎ ‎1. (广东省汕头市2012届高三教学质量测评文6)已知正项组成的等差数列的前项的和为,那么的最大值为 ‎ A. B. ‎ C. D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】,故,‎ ‎.‎ ‎2.(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科3)如果数列,,,…,,…是首项为,公比为的等比数列,则等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理4)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( )[21世纪教育网21世纪教育网 ‎(A). -110 (B). -90‎ ‎(C). 90 (D). 110‎ ‎【答案】D ‎【解析】解:a7是a3与a9的等比中项,公差为-2,所以a72=a3•a9,所以a72=(a7+8)(a7-4),所以a7=8,所以a1=20,所以S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选D ‎4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科3)公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列,则 A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为,由题意知:,即,解得,所以公比为3,选C.‎ ‎5. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科6)已知各项均为正数的等比数列,,,则 A. B. C. 8 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为成等比数列,公比为,所以10,选A.‎ ‎6. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科7)等差数列中,已知,,公差,则的最大值为 A.7 B.6 C.5 D.8‎ 答案:A 解析:,∴,又,∴的最大值为7.‎ 二、填空题:‎ ‎7.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文12)在等差数列中,若,则数列的公差等于 ; 其前项和的最大值为 .‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】,所以 前6项的和最大 ‎8. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科11)已知等差数列中, ,,则 .‎ ‎【解析】‎ ‎9. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科11)正项数列满足,,则的通项公式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,两式相减得:‎ ‎,整理得: ,‎ 因为是正项数列,所以,所以是以4为公差,2为首项的等差数列,‎ 所以=.‎ ‎10. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科15) 当为正整数时,定义函数表示的最大奇因数.如,….记.‎ 则(1) .(2) .‎ ‎【答案】86;‎ ‎【解析】由题设知,.‎ ‎(1)‎ ‎.‎ ‎(2)‎ ‎,.‎ ‎11. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科16)对于正项数列,定义,若则数列的通项公式为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查数列通项公式的求法的问题。‎ 由则 由得,所以=.‎ 三、解答题 ‎12.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文21)(本小题满分14分)‎ 已知一非零向量列满足:,. ‎ ‎(1)证明:是等比数列;‎ ‎(2)设是的夹角,=,,求;‎ ‎(3)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. ‎ ‎【解析】‎ 解:(1)3分 ‎∴数列是以公比为,首项为的等比数列;……… ……4分 ‎(2)∵,‎ ‎∴=,……………………………………………… ……………6分 ‎∴=,………………………… …………………7分 ‎∴。… ………9分 ‎(3)假设存在最小项,设为,‎ ‎∵,……………………………………………………10分 ‎∴,………………………………………………………………11分 由得当时,;‎ 由得当时,;………………… ……13分 故存在最小项为。 ………………………… …………14分 ‎13.(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科19)(本小题满分14分)‎ 已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n ∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan.‎ ‎ (Ⅰ)若p =,设数列的前n项和为Tn,求证:0 < Tn≤4;‎ ‎ (Ⅱ)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)解:由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①‎ ‎ 由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②‎ ‎ ① – ②得(n≥2)‎ ‎ ∵an > 0 (n∈N*)‎ 又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p ‎{an}是以p为首项,为公比的等比数列 an = p bn = 2logpan = 2logpp2 – n ‎∴bn = 4 – 2n ………… 4分 ‎ 证明:由条件p =得an = 2n – 2‎ ‎ ∴Tn = ①‎ ‎ ②‎ ‎① – ②得 ‎= 4 – 2 ×‎ ‎= 4 – 2 ×‎ ‎14.(湖北省黄冈中学2012年2月高三调研理科18)(本小题满分12分)已知数列的前n项和满足(a>0,且)。数列满足 ‎(1)求数列的通项。‎ ‎(2)若对一切都有,求a的取值范围。‎ ‎18.解:(1)由题意可知当时,‎ ‎ 当时, (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ 用(1)式减去(2)式得:‎ ‎ 所以数列是等比数列 所以)‎ ‎ (2)因为所以 ‎ 当对一切都有 即有 ‎ (1)当有当对一切都成立所以 ‎ (2)当 有当对一切都成立所以有 ‎ ‎ 综合以上可知或 ‎15. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理20) (本小题满分12分)设数列{an}的前N项和为’为等比数列’且 ‎(1) 求数列和的通项公式;‎ ‎(2) 设,求数列的前n项和.‎ ‎【解题说明】本试题主要考查数列的前n项和与通项公式之间的关系的运用,以及等比数列的通项公式,和数列的错位相减法求和的综合运用试题。关键是要把数列的通项公式的求解,注意对n=1,和分类讨论。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解:(1)当n=1时,‎ ‎16. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科17)(本小题满分12分)‎ 等差数列中,,,其前项和为.‎ ‎⑴求数列的通项公式;‎ ‎⑵设数列满足,其前n项和为,求证: ‎ ‎【解析】⑴,‎ ‎ ,即,得, , ‎ ‎ . ‎ ‎ ⑵, ‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎17.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考19)(本小题满分分)‎ 已知数列是各项均不为的等差数列,公差为,为其前项和,且满足 ‎,.数列满足,为数列的前n项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;‎ ‎(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有 的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 【解析】(1)(法一)在中,令,,‎ 得 即 ………………………2分 解得,,‎ 又时,满足, ………………3分 ‎,‎ ‎. ………………5分 ‎(法二)是等差数列, ‎ ‎. …………………………2分 由,得 , ‎ 又,,则. ………………………3分 ‎(求法同法一)‎ ‎(2)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. …………………………………6分 ‎ ,等号在时取得. ‎ 此时 需满足. …………………………………………7分 ‎②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. …………………………………8分 ‎ 是随的增大而增大, 时取得最小值. ‎ 此时 需满足. …………………………………………9分 综合①、②可得的取值范围是. ………………………………………10分 ‎(3), ‎ ‎ 若成等比数列,则,‎ 即. ………………………12分 由,可得,即,‎ ‎. ……………………………………14分 又,且,所以,此时.‎ 因此,当且仅当, 时,数列中的成等比数列.…16分 ‎[另解:因为,故,即,‎ ‎,(以下同上). ……………………………………14分 ‎18.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考23)(本小题满分10分)‎ 把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第行共有个正整数,设表示位于这个数表中从上往下数第行,从左往右第个数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)用表示;‎ ‎(3)记,求证:当时,‎ ‎【解析】(1) …………2分 ‎ (2)因为数表中前行共有个数,则第行的第一个数是,所以 …………5分 ‎(3)因为,则, …………6分 所以 ……8分 当时,.‎ ‎………10分 ‎19.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文16)(本小题共13分)‎ 在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且, .‎ ‎(Ⅰ)求与;‎ ‎(Ⅱ)数列满足,求的前项和.‎ 因为所以 ‎ 解得 或(舍),.‎ ‎ 故 ,. ……………6分 ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以. ………11分 ‎ 故.‎ ‎………………13分 ‎20.(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科20)已知数列{}满足:,‎ ‎ (Ⅰ)求;‎ ‎ (Ⅱ)猜想数列{}的通项公式,并证明你的结论;‎ ‎ (Ⅲ)已知数列{}满足:,S为数列{}的前n项和,证明:… ‎ ‎【解析】‎ ‎21.(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科18)已知数列、满足:,,。‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)若,求数列{}的前n项和。‎ ‎【解析】(Ⅰ)∵;,,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)∵,∴‎ ‎=‎ ‎∴+……‎ ‎=‎ ‎22. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科21)(本小题满分13分)‎ 已知曲线,从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,设 ‎.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,数列的前项和为,求证:;‎ ‎(3)若已知,记数列的前项和为,数列的前项和为,试比较与的大小.‎ ‎【解析】(1)依题意点的坐标为, ‎ ‎(2),所以:,…(5分)‎ 当时,,‎ ‎,‎ ‎(当时取“”).…(8分)‎ ‎(3),,‎ 由知 ‎, 而,所以可得.‎ 于是 ‎. …10分 当时 ;‎ 当时,‎ 当时, ‎ 下面证明:当时,‎ 证法一:(利用组合恒等式放缩)‎ 当时, ∴当时, ……13分 证法二:(数学归纳法)证明略 证法三:(函数法)∵时,‎ 构造函数,‎ ‎∴当时,‎ ‎∴在区间是减函数,‎ ‎∴当时,‎ ‎∴在区间是减函数,‎ ‎∴当时,‎ 从而时,,即∴当时,‎ ‎23. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科18)(本小题满分12分)‎ 已知数列是首项为且公比不等于的等比数列,是其前项的和,成等差数列.‎ ‎(1)证明:成等比数列;‎ ‎(2)求和:.‎ ‎【解析】(1)证明 由成等差数列, 得,‎ 即 所以(舍去). …(3分)‎ 由 ‎ 得 所以成等比数列. …(6分)‎ ‎(2)解:‎ 即 …(8分)‎ 相减得:‎ 所以 …(12分)‎ ‎24. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科19)(本小题满分12分)‎ 在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作 ‎( I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)求数列的前项和 解:(I)设,公比为,则 又 数列的通项公式为.‎ ‎(II)由(I)知 ‎,(1) ‎ ‎,(2)‎ 得 ‎,‎ ‎.‎ ‎25.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟20) (本小题满分16分) 已知数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.‎ ‎ ①求的值及对应的数列.‎ ‎②记为数列的前项和,问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ [2]若为等差中项,则,即,此时无解 ………9分 ‎[3]若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以………11分 综上所述,, 或,……………12分 ‎ ②[1]当时,,则由,得,‎ 当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数……14分 ‎[2]当时,,则由,得,因为,所以满足恒成立;但当时,存在,使得即,所以此时满足题意的最大正整数 …………16分 ‎【点评】本题考查等差、等比数列的基本性质与综合应用,属于中难题。‎ ‎26. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文17)(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足:.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前n项和.‎ ‎27.(山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科19)(本小题满分12分)‎ 设同时满足条件:①;②(,是与无关的常数)的无穷数列叫“‎ 嘉文”数列.已知数列的前项和满足:(为常数,且,). ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值,并证明此时为“嘉文”数列.‎ 若为等比数列,‎ 则有,而,,‎ 故,解得 ………………………………7分 再将代入得成等比数列, 所以成立 …………………8分 由于①…………………10分 (或做差更简单:因为,所以也成立)‎ ‎②,故存在;‎ 所以符合①②,故为“嘉文”数列………………………………………12分 解析说明:利用求得与之间的关系,利用等比数列的定义证明.根据所给定义证明即可.‎