高中数学历年高考真题 全国卷理 4页

‎06年全国卷理 ‎（20）（本小题１２分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。‎ ‎20．解法一：‎ 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，‎ 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分 ‎(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，‎ 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，‎ 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax． ……9分 ‎(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，‎ 又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，‎ 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．‎ 综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，‎ 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　　……3分 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分 当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，‎ 当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．‎ 由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分 ‎06年全国卷理 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．‎ ‎22．解：（1）求函数的导数；．‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎ ， 即 ．‎ ‎（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ‎ ．‎ 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 ‎ 有三个相异的实数根．‎ 记 ，则 ．‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；‎ 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．‎ 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．‎ ‎07年全国卷理 ‎19．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎19. 解：（1）求导：‎ 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，‎ 递增 ‎（2），且解得：‎ ‎07年全国卷理 ‎22．（本小题满分12分）设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ ‎22. 解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ ‎08年全国卷理 ‎22．（本小题满分12分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ ‎22．解：（Ⅰ）． 2分 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．‎ 因此在每一个区间（）是增函数，‎ 在每一个区间（）是减函数． 6分 ‎（Ⅱ）令，则 ‎．‎ 故当时，．‎ 又，所以当时，，即． 9分 当时，令，则．故当时，．‎ 因此在上单调增加．故当时，，即．‎ 于是，当时，．‎ 当时，有．因此，的取值范围是． 12分 ‎09年全国卷理 ‎22.(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且 ‎（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎22解: （I）‎ ‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数；‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎（II）由（I），‎ 设，‎ 则 ‎⑴当时，在单调递增；‎ ‎⑵当时，，在单调递减。‎ ‎。故． www.ks5u.com ‎10年全国卷理 ‎ (20)(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明： .‎ ‎20.解：（Ⅰ），,‎ 题设等价于.‎ 令，则 当，；当时，，是的最大值点，‎ ‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)有（Ⅰ）知，即.‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ 所以 ‎11年全国卷理 ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ （Ⅰ）设函数，证明：当时，‎ ‎22 .（本小题满分12分） ‎ 证明：（Ⅰ）时，，‎ 于是在上单调增，所以