- 1.25 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
【解析】由得,则,有2个,选B.
2. 设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】,则最小正整数为4,选C.
3. 若函数是函数的反函数,其图像经过点,则
A. B. C. D.
【解析】,代入,解得,所以,选B.
4.已知等比数列满足,且,则当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
【解析】由得,,则, ,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
6. 一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 6 B. 2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】,所以,选D.
7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是
A. 在时刻,甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B. 时刻后,甲车在乙车后面
C. 在时刻,两车的位置相同
D. 时刻后,乙车在甲车前面
【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9 ~ 12题)
9. 随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,表示的样本的数字特征是 .(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)
【解析】;平均数
10. 若平面向量,满足,平行于轴,,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】或,则或.
11.巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 .
【解析】,,,,则所求椭圆方程为.
12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .
【解析】由题知,,,解得,.
(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)
13.(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与直线(为参数)垂直,则 .
【解析】,得.
14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 .
【解析】且.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且, 则圆的面积等于 .
【解析】解法一:连结、,则,∵,,∴,则;解法二:,则.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.
17.(本小题满分12分)
根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间,,,,,进行分组,得到频率分布直方图如图5.
(1)求直方图中的值;
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示.已知,, ,)
解:(1)由图可知,解得;
(2);
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.
z
y
x
E1
G1
18.(本小题满分14分)
如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.
(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线平面;
(3)求异面直线所成角的正弦值.
解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为
,
又面,,∴.
(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,
∴,,即,,
又,∴平面.
(3),,则,设异面直线所成角为,则.
19.(本小题满分14分)
已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.
(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.
解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
xA
xB
D
(2)曲线,
即圆:,其圆心坐标为,半径
由图可知,当时,曲线与点有公共点;
当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.
20.(本小题满分14分)
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.W.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:(1)依题可设 (),则;
又的图像与直线平行
, ,
设,则
当且仅当时,取得最小值,即取得最小值
当时, 解得
当时, 解得
(2)由(),得
当时,方程有一解,函数有一零点;
当时,方程有二解,
若,,
函数有两个零点,即;
若,,
函数有两个零点,即;
当时,方程有一解, ,
函数有一零点
综上,当时, 函数有一零点;
当(),或()时,
函数有两个零点;
当时,函数有一零点.
21.(本小题满分14分)
已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)
,即,∴
(2)证明:∵
∴
由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,
则有,即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.ks5u.com