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  • 2021-05-13 发布

天津市高考数学试卷文科及解析

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‎2012年天津市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2012•天津)i是虚数单位,复数=(  )‎ ‎  A.1﹣i  B.﹣1+i  C.1+i  D.﹣1﹣i ‎2.(2012•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为(  )‎ ‎  A.﹣5  B.﹣4  C.﹣2  D.3‎ ‎3.(2012•天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为(  )‎ ‎  A.8  B.18  C.26  D.80‎ ‎4.(2012•天津)已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为(  )‎ ‎  A.c<b<a  B.c<a<b  C.b<a<c  D.b<c<a ‎5.(2012•天津)设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的(  )‎ ‎  A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件  C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件 ‎6.(2012•天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为(  )‎ ‎  A.y=cos2x,x∈R  B.y=log2|x|,x∈R且x≠0  C.y=  D.y=x3+1,x∈R ‎7.(2012•天津)将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是(  )‎ ‎  A.  B.1  C.  D.2‎ ‎8.(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=2,则λ=(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.2‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.(2012•天津)集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 _________ .‎ ‎10.(2012•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 _________ m3.‎ ‎11.(2012•天津)已知双曲线C1:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0).则a= _________ ,b= _________ .‎ ‎12.(2012•天津)设m,n∈R,若直线l:mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为 _________ .‎ ‎13.(2012•天津)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 _________ .‎ ‎14.(2012•天津)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 _________ .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.(2012•天津)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.‎ ‎(ⅰ)列出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率.‎ ‎16.(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=﹣.‎ ‎(1)求sinC和b的值;‎ ‎(2)求cos(2A+)的值.‎ ‎17.(2012•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.‎ ‎(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;‎ ‎(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;‎ ‎(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.‎ ‎18.(2012•天津)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn﹣8=an﹣1bn+1(n∈N*,n≥2).‎ ‎19.(2012•天津)已知椭圆,点P()在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.‎ ‎20.(2012•天津)已知函数f(x)=x3+x2﹣ax﹣a,x∈R,其中a>0.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)﹣m(t),求函数g(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值.‎ ‎2012年天津市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2012•天津)i是虚数单位,复数=(  )‎ ‎  A.1﹣i  B.﹣1+i  C.1+i  D.﹣1﹣i 考点:‎ 复数代数形式的乘除运算。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 进行复数的除法运算,分子很分母同乘以分母的共轭复数,约分化简,得到结果.‎ 解答:‎ 解:===1+i 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查复数的代数形式的乘除运算,本题解题的关键是掌握除法的运算法则,本题是一个基础题.‎ ‎2.(2012•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为(  )‎ ‎  A.﹣5  B.﹣4  C.﹣2  D.3‎ 考点:‎ 简单线性规划。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 先画出线性约束条件对应的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最小值 解答:‎ 解:画出可行域如图阴影区域:‎ 目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z,即斜率为,截距为﹣z的动直线,‎ 数形结合可知,当动直线过点A时,z最小 由得A(0,2)‎ ‎∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4‎ 故选 B 点评:‎ 本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧,二元一次不等式组表示平面区域,数形结合的思想方法,属基础题 ‎3.(2012•天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为(  )‎ ‎  A.8  B.18  C.26  D.80‎ 考点:‎ 数列的求和;循环结构。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 根据框图可求得S1=2,S2=8,S3=26,执行完后n已为4,故可得答案.‎ 解答:‎ 解:由程序框图可知,当n=1,S=0时,S1=0+31﹣30=2;‎ 同理可求n=2,S1=2时,S2=8;‎ n=3,S2=8时,S3=26;执行完后n已为4,‎ 故输出的结果为26.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查数列的求和,看懂框图循环结构的含义是关键,考查学生推理、运算的能力,属于基础题.‎ ‎4.(2012•天津)已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为(  )‎ ‎  A.c<b<a  B.c<a<b  C.b<a<c  D.b<c<a 考点:‎ 不等式比较大小。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 由函数y=2x在R上是增函数可得a>b>20=1,再由c=2log52=log54<log55=1,从而得到a,b,c的大小关系 解答:‎ 解:由于函数y=2x在R上是增函数,a=21.2,b=()﹣0.8 =20.8,1.2>0.8>0,‎ ‎∴a>b>20=1.‎ 再由c=2log52=log54<log55=1,‎ 可得 a>b>c,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.‎ ‎5.(2012•天津)设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的(  )‎ ‎  A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件  C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件 考点:‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可.‎ 解答:‎ 解:由2x2+x﹣1>0,可知x<﹣1或x>;‎ 所以当“x>”⇒“2x2+x﹣1>0”;‎ 但是“2x2+x﹣1>0”推不出“x>”.‎ 所以“x>”是“2x2+x﹣1>0”的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能力.‎ ‎6.(2012•天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为(  )‎ ‎  A.y=cos2x,x∈R  B.y=log2|x|,x∈R且x≠0  C.y=  D.y=x3+1,x∈R 考点:‎ 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 利用函数奇偶性的定义可排除C,D,再由“在区间(1,2)内是增函数”可排除A,从而可得答案.‎ 解答:‎ 解:对于A,令y=f(x)=cosx,则f(﹣x)=cos(﹣x)=cosx=f(x),为偶函数,‎ 而f(x)=cosx在[0,π]上单调递减,(1,2)⊂[0,π],‎ 故f(x)=cosx在区间(1,2)内是减函数,故排除A;‎ 对于B,令y=f(x)=log2|x|,x∈R且x≠0,同理可证f(x)为偶函数,当x∈(1,2)时,y=f(x)=log2|x|=log2x,为增函数,故B满足题意;‎ 对于C,令y=f(x)=,f(﹣x)=﹣f(x),为奇函数,故可排除C;‎ 而D,为非奇非偶函数,可排除D;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断,着重考查函数奇偶性与单调性的定义,考查“排除法”在解题中的作用,属于基础题.‎ ‎7.(2012•天津)将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是(  )‎ ‎  A.  B.1  C.  D.2‎ 考点:‎ 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω(x﹣),再由所得图象经过点可得sinω(﹣)=sin(ω)=0,故ω•=kπ,由此求得ω的最小值.‎ 解答:‎ 解:将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=sinω(x﹣).‎ 再由所得图象经过点可得sinω(﹣)=sin(ω)=0,∴ω•=kπ,k∈z.‎ 故ω的最小值是2,‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题主要考查y=Asin(ωx+∅)的图象变换,以及由y=Asin(ωx+∅)的部分图象求函数解析式,属于中档题.‎ ‎8.(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=2,则λ=(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.2‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 由题意可得=0,根据=﹣(1﹣λ)﹣λ=(λ﹣1)4﹣λ×1=2,求得λ的值.‎ 解答:‎ 解:由题意可得=0,‎ 由于=()•()=[﹣]•[﹣]‎ ‎=﹣(1﹣λ)﹣λ=(λ﹣1)4﹣λ×1=2,‎ 解得 λ=2,‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.(2012•天津)集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 ﹣3 .‎ 考点:‎ 绝对值不等式的解法。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7,从而可得答案.‎ 解答:‎ 解:∵A={x∈R||x﹣2|≤5},‎ ‎∴由|x﹣2|≤5得,‎ ‎﹣5≤x﹣2≤5,‎ ‎∴﹣3≤x≤7,‎ ‎∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3.‎ 故答案为﹣3.‎ 点评:‎ 本题考查绝对值不等式的解法,可根据绝对值不等式|x|≤a(a>0)的意义直接得到﹣a≤x≤a,也可以两端平方,去掉绝对值符号解之,属于基础题.‎ ‎10.(2012•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 30 m3.‎ 考点:‎ 由三视图求面积、体积。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据,求出几何体的体积即可.‎ 解答:‎ 解:由三视图可知几何体是组合体,下部是长方体,底面边长为3和4,高为2,‎ 上部是放倒的四棱柱,底面为直角梯形,底面直角边长为2和1,高为1,棱柱的高为4,‎ 所以几何体看作是放倒的棱柱,底面是5边形,‎ 几何体的体积为:(2×3+)×4=30(m3).‎ 故答案为:30.‎ 点评:‎ 本题考查三视图与几何体的关系,判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键,考查空间想象能力与计算能力.‎ ‎11.(2012•天津)已知双曲线C1:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0).则a= 1 ,b= 2 .‎ 考点:‎ 双曲线的简单性质。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 双曲线C1:的渐近线方程为y=±x,右焦点为(c,0),结合已知即可得=2,c=,列方程即可解得a、b的值 解答:‎ 解:∵双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,‎ ‎∴=2‎ ‎∵且C1的右焦点为F(,0).‎ ‎∴c=,由a2+b2=c2‎ 解得a=1,b=2‎ 故答案为1,2‎ 点评:‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何性质,属基础题 ‎12.(2012•天津)设m,n∈R,若直线l:mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为 3 .‎ 考点:‎ 直线与圆相交的性质;直线的一般式方程。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 由圆的方程找出圆心坐标和半径r,由直线l被圆截得的弦长与半径,根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离,然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离,两者相等列出关系式,整理后求出m2+n2的值,再由直线l与x轴交于A点,与y轴交于B点,由直线l的解析式分别令x=0及y=0,得出A的横坐标及B的纵坐标,确定出A和B的坐标,得出OA及OB的长,根据三角形AOB为直角三角形,表示出三角形AOB的面积,利用基本不等式变形后,将m2+n2的值代入,即可求出三角形AOB面积的最小值.‎ 解答:‎ 解:由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,‎ ‎∴圆心到直线l的距离d==,‎ ‎∴圆心到直线l:mx+ny﹣1=0的距离d==,‎ 整理得:m2+n2=,‎ 令直线l解析式中y=0,解得:x=,‎ ‎∴A(,0),即OA=,‎ 令x=0,解得:y=,‎ ‎∴B(0,),即OB=,‎ ‎∵m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,‎ ‎∴|mn|≤,‎ 又△AOB为直角三角形,‎ ‎∴S△ABC=OA•OB=≥=3,‎ 则△AOB面积的最小值为3.‎ 故答案为:3‎ 点评:‎ 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,直线的一般式方程,以及基本不等式的运用,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理俩来解决问题.‎ ‎13.(2012•天津)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为  .‎ 考点:‎ 与圆有关的比例线段。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 由相交弦定理求出FC,由相似比求出BD,设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD•AD求解.‎ 解答:‎ 解:由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC,即3×1=×FC,FC=2,在△ABD中AF:AB=FC:BD,即3:4=2:BD,BD=,‎ 设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD•AD,即x•4x=()2,x=‎ 故答案为:‎ 点评:‎ 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.‎ ‎14.(2012•天津)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 (0,1)∪(1,2) .‎ 考点:‎ 函数的零点与方程根的关系。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 函数y===,如图所示,可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时,直线的斜率k的取值范围.‎ 解答:‎ 解:函数y===,如图所示:‎ 故当一次函数y=kx的斜率k满足0<k<1 或1<k<2时,直线y=kx与函数y=的图象相交于两点,‎ 故答案为 (0,1)∪(1,2).‎ 点评:‎ 本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.(2012•天津)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.‎ ‎(ⅰ)列出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率.‎ 考点:‎ 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ ‎(1)利用分层抽样的意义,先确定抽样比,在确定每层中抽取的学校数目;‎ ‎(2)(i)从抽取的6所学校中随机抽取2所学校,所有结果共有=15种,按规律列举即可;‎ ‎(ii)先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数,再利用古典概型概率的计算公式即可得结果 解答:‎ 解:(I)抽样比为=,‎ 故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3,14×=2,7×=1‎ ‎(II)(i)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为1、2、3,两所中学分别记为a、b,大学记为A 则抽取2所学校的所有可能结果为{1,2},{1,3},{1,a},{1,b},{1,A},{2,3},{2,a},{2,b},{2,A},{3,a},{3,b},{3,A},{a,b},{a,A},{b,A},共15种 ‎(ii)设B={抽取的2所学校均为小学},事件B的所有可能结果为{1,2},{1,3},{2,3}共3种,‎ ‎∴P(B)==‎ 点评:‎ 本题主要考查了统计中分层抽样的意义,古典概型概率的计算方法,列举法计数的方法,属基础题 ‎16.(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=﹣.‎ ‎(1)求sinC和b的值;‎ ‎(2)求cos(2A+)的值.‎ 考点:‎ 解三角形;三角函数中的恒等变换应用。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ ‎(1)△ABC中,利用同角三角函数的基本关系求出sinA,再由正弦定理求出sinC,再由余弦定理求得b=1.‎ ‎(2)利用二倍角公式求得cos2A的值,由此求得sin2A,再由两角和的余弦公式求出cos(2A+)=cos2Acos﹣sin2Asin 的值.‎ 解答:‎ 解:(1)△ABC中,由cosA=﹣ 可得sinA=.‎ 再由 = 以及a=2、c=,可得sinC=.‎ 由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0,解得b=1.‎ ‎(2)由cosA=﹣、sinA= 可得 cos2A=2cos2A﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=﹣.‎ 故cos(2A+)=cos2Acos﹣sin2Asin=.‎ 点评:‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,二倍角公式以及两角和的余弦公式,同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题.‎ ‎17.(2012•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.‎ ‎(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;‎ ‎(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;‎ ‎(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.‎ 考点:‎ 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定。‎ 专题:‎ 计算题;证明题;综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角,在Rt△PDA中,求异面直线PA与BC所成角的正切值;‎ ‎(2)说明AD⊥BC,通过AD⊥PD,CD∩PD=D,证明AD⊥平面PDC,然后证明平面PDC⊥平面ABCD.‎ ‎(3)在平面PDC中,过点P作PE⊥CD于E,连接EB.说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角,求出PE,PB,在Rt△PEB中,通过sin∠PBE=,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.‎ 解答:‎ ‎(1)解:如图,在四棱锥P﹣ABCD中,‎ 因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC,且AD∥BC,‎ 又因为AD⊥PD,‎ 故∠PAD为异面直线PA与BC所成角,‎ 在Rt△PDA中,=2,‎ 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为:2.‎ ‎(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥BC,‎ 由于AD⊥PD,CD∩PD=D,‎ 因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.‎ ‎(3)解:在平面PDC中,过点P作PE⊥CD于E,连接EB.‎ 由于平面PDC⊥平面ABCD,‎ 而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,‎ 故PE⊥平面ABCD.‎ 由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角,‎ 在△PDC中,‎ 由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°,‎ 在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.‎ 由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,‎ 因此BC⊥PC.‎ 在Rt△PCB中,PB==.‎ 在Rt△PEB中,sin∠PBE==.‎ 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ 点评:‎ 本题考查直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力,计算能力.‎ ‎18.(2012•天津)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn﹣8=an﹣1bn+1(n∈N*,n≥2).‎ 考点:‎ 等差数列与等比数列的综合;数列的求和。‎ 专题:‎ 计算题;证明题。‎ 分析:‎ ‎(1)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项.‎ ‎(2)先借助于错位相减法求出Tn的表达式;再代入所要证明的结论的两边,即可得到结论成立.‎ 解答:‎ 解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的首项为q,‎ 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,‎ 由a4+b4=27,S4﹣b4=10,得方程组,‎ 解得,‎ 所以:an=3n﹣1,bn=2n.‎ ‎(2)证明:由第一问得:Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn=2×2+5×22+8×23+…+(3n﹣1)×2n; ①;‎ ‎2Tn=2×22+5×23+…+(3n﹣4)×2n+(3n﹣1)×2n+1,②.‎ 由①﹣②得,﹣Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣(3n﹣1)×2n+1‎ ‎=﹣(3n﹣1)×2n+1﹣2‎ ‎=﹣(3n﹣4)×2n+1﹣8.‎ 即Tn﹣8=(3n﹣4)×2n+1.‎ 而当n≥2时,an﹣1bn+1=(3n﹣4)×2n+1.‎ ‎∴Tn﹣8=an﹣1bn+1(n∈N*,n≥2).‎ 点评:‎ 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题.解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识,基本方法.并考察计算能力.‎ ‎19.(2012•天津)已知椭圆,点P()在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质。‎ 专题:‎ 综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)根据点P()在椭圆上,可得,由此可求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0),与椭圆方程联立,,根据|AQ|=|AO|,A(﹣a,0),y0=kx0,可求,由此可求直线OQ的斜率的值.‎ 解答:‎ 解:(1)因为点P()在椭圆上,所以 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)设直线OQ的斜率为,则其方程为y=kx 设点Q的坐标为(x0,y0),由条件得,消元并整理可得①‎ ‎∵|AQ|=|AO|,A(﹣a,0),y0=kx0,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵x0≠0,∴‎ 代入①,整理得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴5k4﹣22k2﹣15=0‎ ‎∴k2=5‎ ‎∴‎ 点评:‎ 本题考查椭圆的离心率,考查直线与椭圆的位置关系,联立方程组是关键.‎ ‎20.(2012•天津)已知函数f(x)=x3+x2﹣ax﹣a,x∈R,其中a>0.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)﹣m(t),求函数g(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值.‎ 考点:‎ 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值。‎ 专题:‎ 综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)求导函数,令f′(x)>0,可得函数的递增区间;令f′(x)<0,可得单调递减区间;‎ ‎(2)由(1)知函数在区间(﹣2,﹣1)内单调递增,在(﹣1,0)内单调递减,从而函数在(﹣2,0)内恰有两个零点,由此可求a的取值范围;‎ ‎(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(﹣3,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,再进行分类讨论:①当t∈[﹣3,﹣2]时,t+3∈[0,1],﹣1∈[t,t+3],f(x)在[t,﹣1]上单调递增,在[﹣1,t+3]上单调递减,因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(﹣1)=﹣,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者,从而可得g(t)在[﹣3,﹣2]上的最小值;②当t∈[﹣2,﹣1]时,t+3∈[1,2],﹣1,1∈[t,t+3],比较f(﹣1),f(1),f(t),f(t+3)的大小,从而可确定函数g(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值.‎ 解答:‎ 解:(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x﹣a),令f′(x)=0,可得x1=﹣1,x2=a>0‎ 令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>a;令f′(x)<0,可得﹣1<x<a 故函数的递增区间为(﹣∞,﹣1),(a,+∞),单调递减区间为(﹣1,a,)‎ ‎(2)由(1)知函数在区间(﹣2,﹣1)内单调递增,在(﹣1,0)内单调递减,从而函数在(﹣2,0)内恰有两个零点,‎ ‎∴,∴,∴0<a<‎ ‎∴a的取值范围为;‎ ‎(3)a=1时,f(x)=,由(1)知,函数在(﹣3,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增 ‎①当t∈[﹣3,﹣2]时,t+3∈[0,1],﹣1∈[t,t+3],f(x)在[t,﹣1]上单调递增,在[﹣1,t+3]上单调递减 因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(﹣1)=﹣,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者 由f(t+3)﹣f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[﹣3,﹣2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(﹣1)﹣f(t)‎ 而f(t)在[﹣3,﹣2]上单调递增,因此f(t)≤f(﹣2)=﹣,所以g(t)在[﹣3,﹣2]上的最小值为 ‎②当t∈[﹣2,﹣1]时,t+3∈[1,2],﹣1,1∈[t,t+3],下面比较f(﹣1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.‎ 由f(x)在[﹣2,﹣1],[1,2]上单调递增,有 f(﹣2)≤f(t)≤f(﹣1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)‎ ‎∵f(1)=f(﹣2)=﹣,f(﹣1)=f(2)=﹣‎ ‎∴M(t)=f(﹣1)=﹣,m(t)=f(1)=﹣‎ ‎∴g(t)=M(t)﹣m(t)=‎ 综上,函数g(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值为.‎ 点评:‎ 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,正确求导与分类讨论是解题的关键.‎