高三高考考前100题数学含解析 46页

‎ 2012届高三暑假100题（一）‎ 数 学 填空题（1~70）‎ ‎1. 在中,,则的值为 。‎ ‎2. 为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则DABC是 三角形。以BC为底边的等腰三角形 ‎3. O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满 足,则P的轨迹一定通过△ABC的 心。‎ ‎4. 若向量=，=，且的夹角为钝角，则的取值范围是______________. ‎ ‎5. 已知为坐标原点，集合,且 。‎ ‎6. 在中,已知,且的一个内角为直角,则实数的值为 . ‎ ‎7. 已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，且P在线段AB上， =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 。9‎ ‎8. 已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}， N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR }，则MÇN= 。‎ ‎10. 过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为 。‎ ‎11. 已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率是 。‎ ‎12. 不等式的解集 ‎13. 函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为_________‎ ‎14. 设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为__________‎ ‎15. 已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 则实数P的取值范围__________.‎ ‎16. 若不等式(a2－‎3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立，则的取值范围__________．‎ ‎17. 已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为 y x O B(1,1)‎ C(1, ‎ ‎22 ‎ ‎5 ‎ ‎)‎ A(5,2)‎ ‎18. 给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0),‎ 取得最大值的最优解有无数个, 则a值为______ ‎ ‎19. 若，则的最小值是______‎ ‎20. 若是正常数，，，则，当且仅当时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为 ，取最小值时的值为 ．‎ ‎21. 已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合 ． ‎ ‎22. 已知第 象限角.‎ ‎23. 已知 .‎ ‎24. 已知 .‎ ‎25. 要得到函数只需将函数的图像 .‎ ‎26. 已知有最小值，无最大值，则 。‎ ‎27. 将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎………………‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ‎ ‎28. 数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=______‎ ‎29. 已知{an}为递增数列，且对于任意正整数n，an+1>an恒成立，an=－n2+λn恒成立，‎ 则λ的取值范围是________‎ ‎30. 已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为________‎ ‎31. 数列的前n项和 ‎ ‎32. 在等差数列，则在Sn中最大的负数为 ‎ ‎33. 在之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，‎ 则插入的n个正数之积为______‎ ‎34. 已知(nÎN*)，，则 _______‎ ‎35. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2—16n—6，求数列{|an|}的前n项和Sn’‎ ‎36. 在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则=__________________‎ ‎37. 已知，则数列的前n项和 为： ‎ ‎38. 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： ‎ ‎39. 对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数 列的前n项和的公式是　　 ‎ ‎40. 数列满足 ，若，则的值为 ‎ ‎41. 设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则与的大小关系为 ‎ ‎42.‎ ‎ 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ．‎ ‎43. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．‎ 已知数列是等积数列，且，公积为5，则这个数列的前项和的计算公式为： ．‎ ‎44. 函数的单调减区间为 。‎ ‎45. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为，则但其半径增至时，半径的增长率是 .‎ ‎46. 若函数在内单调递减，则实数a的范围为____________.‎ ‎47. 设是函数的导函数，的图象如下图所示，则的图象最有可能的是：_______（序号）‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ ‎48. 已知函数在时取得极大值，则 ‎ ‎49. 已知集合 ‎50. 已知集合，．若，‎ 则实数的取值范围是(2，3)．‎ ‎51. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则4‎ ‎52. “成立”是“成立”的必要不充分条件 ‎53. 已知是减函数，如果两个命题有且只有一个正确，则实数m的取值范围为 ‎54. 函数的定义域为，已知为奇函数，当时，，则当时， 的递减区间是 ‎55. 设定义在上的函数满足，若，则 ‎56. 若f(x)=log(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是 ‎ ‎57. 已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为 2 ．‎ ‎58. 方程lgx+x=3的解所在区间为，则的值为 ‎ ‎59. 若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为 ‎60. 设是奇函数，则使的的取值范围是 ‎61. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ，z ， 辆。 ‎ ‎62. 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）‎ 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 ‎9.8‎ ‎9.9‎ ‎10.1‎ ‎10‎ ‎10.2‎ 乙 ‎9.4‎ ‎10.3‎ ‎10.8‎ ‎9.7‎ ‎9.8‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。‎ ‎63. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）内的学生人数）。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~‎180cm（含‎160cm，不含‎180cm)）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是__________________‎ ‎64. 执行右边的程序框图，若，则输出的 ‎65. 给出下列程序：‎ i←1‎ While i<7‎ i←i+2‎ s←2i+3‎ End While Print s End 其运行后，输出结果为 ．‎ ‎66. 若复数满足（i是虚数单位），则=__________．‎ ‎67. 已知复数若对应的点位于复平面的第二象限，则的取值范围是 ．‎ ‎68. 已知，则等于 　　　‎ ‎69. 设，则直线的倾斜角是 ‎ ‎70. 已知圆截x轴所得弦长为16，则的值是 ‎ ‎ ‎ ‎2012届高三100题（一）‎ 数学参考答案及错误分析 填空题（1~70）‎ ‎1. 在中,,则的值为 。‎ 错误分析:错误认为,从而出错.‎ ‎2. 为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则DABC是 三角形。以BC为底边的等腰三角形 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。‎ ‎3. O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 ‎,则P的轨迹一定通过△ABC的 心。内心 错误原因：对理解不够。不清楚 与∠BAC的角平分线有关。‎ ‎4. 若向量=，=，且的夹角为钝角，则的取值范围是______________. .‎ 错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.‎ ‎5. 已知为坐标原点，集合,且 。46‎ 错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。‎ ‎6. 在中,已知,且的一个内角为直角,则实数的值为 . 或或 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.‎ ‎7. 已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，且P在线段AB上， =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 。9‎ 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时，· 即为最大。‎ ‎8. 已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}， N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR }，则MÇN= 。‎ 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。‎ ‎10. 过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为 。4‎ 分析：特殊值法。‎ ‎11. 已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率是 。‎ 分析：由及知，若垂直，则；若与垂直，则，所以△ABC是直角三角形的概率是.‎ ‎12. 不等式的解集 ‎ ‎13. 函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为_________‎ ‎14. 设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为__________1‎ ‎15. 已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 则实数P的取值范围__________.‎ ‎【解】分Ａ＝与Ａφ两情况，最终可求出．‎ ‎16. 若不等式(a2－‎3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立，则的取值范围__________．‎ 解：或 解得：‎ ‎17. 已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为 ‎ （－７，２４）　‎ ‎18. 给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0),‎ y x O B(1,1)‎ C(1, ‎ ‎22 ‎ ‎5 ‎ ‎)‎ A(5,2)‎ ‎ 取得最大值的最优解有无数个, 则a值为______ ‎ ‎19. 若，则的最小值是______（答：）；‎ ‎20. 若是正常数，，，则，当且仅当时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为 ，取最小值时的值为 ．25 ，‎ ‎21. 已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合 ．‎ ‎22. 已知第 象限角.‎ 且 说明：本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限.‎ ‎23. 已知 .‎ 说明：本题考查了倍角公式的应用，在公式应用是注意符号的取舍，特别关注的是角的范围.‎ ‎24. 已知 .‎ 说明：本题通过降冪联想到三角函数的基本公式和倍角公式进行化简求值.‎ ‎25. 要得到函数只需将函数的图像 .‎ 解：，图像向右平移个单位就得到的图像.‎ 说明：本题考查三角函数的平移变换，掌握“左加右减”法则，以及正余弦之间的转化是解决问题的关键.‎ ‎26. 已知有最小值，无最大值，则 。‎ 说明：本题考查正弦的对称轴及周期，以及正弦图像的知识。‎ ‎27. 将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎………………‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ‎ 解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．‎ 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。‎ ‎28. 数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=______‎ 答案：an= 点评：误填2n－1，忽略“an=Sn－Sn－‎1”‎成立的条件：“n≥‎2”‎。‎ ‎29. 已知{an}为递增数列，且对于任意正整数n，an+1>an恒成立，an=－n2+λn恒成立，‎ 则λ的取值范围是________‎ 答案：λ>3点评：利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用an+1>an恒成立较方便。‎ ‎30. 已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为________‎ 答案：忽略b2为等比数列的第三项，b2符号与—1、—4同号 ‎31. 数列的前n项和 ‎ 答案：350 首项不满足通项。‎ ‎32. 在等差数列，则在Sn中最大的负数为 ‎ 答案：S19 等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。‎ ‎33. 在之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，‎ 则插入的n个正数之积为______‎ 答案：无法探求问题实质，致使找不到解题的切入点 ‎34. 已知(nÎN*)，，则 _______‎ 解：，‎ ‎ 即是以周期为4的数列，‎ 所以 ‎35. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2—16n—6，求数列{|an|}的前n项和Sn’‎ 答案：Sn’= —n2+16n+6 n≤8时 ‎ ‎ n2—16n+134 n＞8时 运用或推导公式时，只考虑一般情况，忽视特殊情况，导致错解。‎ ‎36. 在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则=__________________‎ 解：点在直线，即，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，故，‎ 即 ‎37. 已知，则 数列的前n项和为： ‎ 解：数列的通项为：．‎ 所以：‎ ‎38. 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： ‎ 解：课本中推导等差数列的前项和的公式的方法即为“倒序相加法”．‎ 令 ①‎ 则也有 ②‎ 由 可得：，于是由①②两式相加得，所以 ‎39. 对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列 的前n项和的公式是　　 ‎ 解：，，切点为，切线方程点斜式为：，令得，‎ 令，则，令，‎ 由错位相减法可得：‎ ‎40. 数列满足 ，若，则的值为 ‎ 答案：C 方法：找规律，解数列常见方法 ‎41. 设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则与的大小关系为 ‎ ‎ 错因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。‎ ‎42. 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ．‎ 正确答案：] 错因： 学生对存款利息的计算方法没掌握。‎ ‎43. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．‎ 已知数列是等积数列，且，公积为5，则这个数列的前项和的计算公式为： ．‎ 解：这个数列为2，，2，，2，，…，若是偶数，则，若是奇数，则．故 ‎44. 函数的单调减区间为 。‎ 解答：，令，函数的定义域为函数 的单调减区间为 说明：此题考查基本函数的导数及导数的运算法则 ‎45. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为，则但其半径增至时，半径的增长率是 .‎ 解答：‎ 说明：考查对导数概念的理解能力 ‎46. 若函数在内单调递减，则实数a的范围为____________.‎ 解答：法1：（分离参数法）‎ ‎∵函数在内单调递减，∴在内恒成立．‎ 即在内恒成立．∵在上的最大值为，∴．‎ 法2：（数形结合法）∵（为二次函数）如图３，‎ 要使在内恒成立，只需对称轴，‎ 即．‎ 说明：此题考查利用导函数的正负判断原函数的单调性 ‎47. 设是函数的导函数，的图象如下图所示，则的图象最有可能的是：_______（序号）‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ 解答：（3）‎ 说明：此题考查了原函数与导函数图像之间的关系 ‎48. 已知函数在时取得极大值，则 ‎ 解答：9‎ 说明：考查对极大值含义的理解 ‎49. 已知集合 说明：理解代表元的意义,这是个易错点,需要强化.如{y|y=x2}、{x|y=x2}、{(x,y)|y=x2}就表示完全不同的三个集合，它们分别表示[0,+∞,R两个数集及抛物线y=x2‎ 上的点集。避免如下错误：{y|y=x2}∩{y|y=2x}={(2,2)、(4,4)}。‎ ‎50. 已知集合，．若，‎ 则实数的取值范围是(2，3)．‎ 解：集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或 x≤1 }．又，∴ ，解得2 0.02 。‎ 命题意图：本题考查从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.‎ ‎63. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）内的学生人数）。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~‎180cm（含‎160cm，不含‎180cm)）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是__________________‎ ‎【解】 方法一：；‎ 方法二：现要统计的是身高在160‎-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故。‎ ‎64. 执行右边的程序框图，若，则输出的 ‎【标准答案】4．‎ ‎【试题分析】，因此输出 ‎【高考考点】程序框图 ‎【易错提醒】没有注意到控制变量在之后误填3。‎ ‎65. 给出下列程序：‎ i←1‎ While i<7‎ i←i+2‎ s←2i+3‎ End While Print s End 其运行后，输出结果为 ．【答案】2‎ ‎66. 若复数满足（i是虚数单位），则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎67. 已知复数若对应的点位于复平面的第二象限，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】m<-2或1为锐角，求实数x的取值范围.‎ ‎73．已知向量，，．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，且，求的值．‎ ‎74. (1).已知函数y=x+(x>－2), 求此函数的最小值.‎ ‎(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;‎ ‎(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;‎ ‎(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求的最小值.‎ ‎75. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为‎4800m3‎，深为‎3m，如果池底每‎1m2‎的造价为150元，池壁每‎1m2‎的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？‎ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.‎ ‎76. 解关于x的不等式 ‎77. 已知函数 ‎ （1）设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围 ‎ （2）设集合，若，求实数的取值范围。‎ ‎79. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点 (nÎN*) 均在函数的图像上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有nÎN*都成立的最小正整数；‎ ‎80. 已知等差数列的前n项和为，且，. 数列是等比数列，（其中）.‎ ‎ （I）求数列和的通项公式； （II）记.‎ ‎81. 将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎………………‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ‎ ‎82. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则 ‎　　　　；＿＿＿＿‎ ‎83. 已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。‎ ‎ （1）求数列的通项 ‎ ‎ （2）令，求证：对于任意，都有 ‎84. 根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；的一个通项公 式yn，并证明你的结论;‎ ‎（Ⅲ）求．‎ ‎85. 若.‎ ‎86. 在中，角A,B,C分别对应边为a,b,c,b=acosC,‎ 判断的形状。‎ ‎87. 分别是中角A,B,C的对边，其外接圆的半径为1，且 关于x的方程：‎ 两个根，求：角A的值及边a,b,c的值。‎ ‎88. 在中，已知角A、B、C所对的三边分别是a,b,c,且 ‎ ‎（1）求证：；（2）求函数的值域。‎ ‎89. 在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t－0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？‎ ‎90. 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求： （Ⅰ）a的值; （Ⅱ）函数f(x)的单调区间.‎ ‎91. 设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋‎2a ln x（x>0）.‎ ‎（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－‎2a ln x＋1.‎ ‎92. （1）曲线：在点处的切线为 在点处的切线为，求曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程．‎ ‎93. 已知函数是上的奇函数，当时取得极值，‎ ‎（1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立．‎ ‎94. 已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。‎ ‎95. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．‎ ‎(1)求证f(x)为奇函数；‎ P A B C D F E ‎·‎ ‎(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎96. 已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中 点,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:PF⊥FD；‎ ‎(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.‎ P A B C D F E ‎·‎ H G ‎97. 如图，在四棱锥中，平面平面，‎ ‎，是等边三角形，已知，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，平面？‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥的体积．‎ ‎98. 已知⊙C：x2+(y-1)2=5，直线：mx-y+1-m=0‎ ‎（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同交点A、B；‎ ‎（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？‎ ‎（3）若定点P(1,1)分弦AB为，求方程。‎ ‎99. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．‎ ‎（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎100. 过曲线上的点作曲线的切线l1与曲线交于点，过点作曲线的切线l2与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，.‎ ‎ （1）求点P2、P3的坐标；‎ ‎ （2）求数列的通项公式；‎ ‎ （3）记点到直线的距离为，求证：．‎ ‎2012届高三100题（二）‎ 数学参考答案及错误分析 填空题（71~100）‎ ‎71. 解：=2+cos2q，=2sin2q+1=2-cos2q ‎ f()=m|1+cos2q|=2mcos2q ‎ f()=m|1-cos2q|=2msin2q 于是有f()-f()=‎2m(cos2q-sin2q)=2mcos2q ‎ ∵qÎ(0,) ∴2qÎ(0, ) ∴cos2q>0‎ ‎ ∴当m>0时，2mcos2q>0，即f()>f()‎ ‎ 当m<0时，2mcos2q<0，即f()为锐角 ‎ 只须>0且（）‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎ 即 x (mx-1) >0‎ ‎ 1°当 m > 0时 ‎ x<0 或 ‎ 2°m<0时 ‎ x ( -mx+1) <0 ‎ ‎ ‎ ‎ 3°m=0时 只要x<0‎ ‎ 综上所述：m> 0时，‎ ‎ m = 0时，‎ ‎ m < 0时，‎ ‎73．‎ 解（Ⅰ）,‎ ‎. ‎ ‎, ,‎ 即 . . ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎74. ‎ 答案：（1）的最小值为6（x=2）．‎ ‎（２）的最大值为２(x=1)．‎ ‎（３）的最大值为(x=2,y=)．‎ ‎（4）的最小值为()．‎ 变：已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=xy , 求x+y的最小值;‎ ‎75. ‎ 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 l＝240000＋720（x＋）≥240000＋720×2 ‎＝240000＋720×2×40＝297600当x＝，即x＝40时，l有最小值297600‎ 因此，当水池的底面是边长为‎40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.‎ ‎76. 解关于x的不等式 ‎77.‎ 答案：（1）‎ 在上是增函数。‎ ‎，即 ‎（2）由得：，即 当时，恒成立。‎ 又时， ‎ ‎79. ‎ 解：（Ⅰ）依题设，由又由得,,∴，所以，‎ 当时，‎ 当时，也符合，∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴要使恒成立，只要，‎ 又∵，∴只要，即，∴的最小整数为10‎ ‎80. ‎ 解：（I）公差为d，‎ 则 . ‎ ‎ 设等比数列的公比为， ‎ ‎ . ‎ ‎ （II） ‎ ‎ ‎ 作差：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。‎ ‎81. ‎ 解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．‎ 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。‎ ‎82.解：第1个图个数：1‎ 第2个图个数：1+3+1‎ 第3个图个数：1+3+5+3+1‎ 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1‎ 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，‎ 所以，f（５）＝４１‎ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６‎ 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。‎ ‎83. ‎ ‎（1）解：∵ ∴ ∴‎ ‎ ∵ ∴ ∴ ‎ ‎（2）证明：∵ ， ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。‎ 数列与程序框图的联系 ‎84. 解：（Ⅰ）由框图，知数列 ‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.‎ 由此，猜想 证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。‎ ‎∴+1=3·3n－1=3n ‎∴=3n－1（） ‎ ‎（Ⅲ）zn=‎ ‎=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）‎ ‎=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]‎ 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① ‎ 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ‎ ‎①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1‎ ‎=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1‎ ‎=2×=‎ ‎∴ ‎ 又1+3+…+（2n－1）=n2‎ ‎∴.‎ 点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。‎ ‎85. ‎ 说明：本题考查用三角函数值反求角，同时运用余弦函数在0度到180度上严格单调来解题.‎ ‎86. ‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ 说明：本题考查正弦定理。‎ ‎87. ‎ 说明：本题考查正弦定理和余弦定理及一元二次方程。‎ ‎88. ‎ 解：(1)cosB=‎ ‎(2)‎ 说明：本题考查余弦定理，和角公式以及三角函数值域求法。‎ ‎89‎ 解答：当火车运行速度为0时，火车停车。‎ v＝s'＝(27t－0.45t2)'＝27－0.9t，‎ 令27＝0.9t＝0，得t＝30（秒），‎ 则s＝27×30－0.45×302＝405（米），‎ 故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了‎405米。‎ 说明：考查导数与实际问题的联系 ‎90. ‎ ‎ 解答：(Ⅰ)因 所以 即当 因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12， 所以解得 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 说明：考查导数的几何意义及利用导数求单调区间 ‎91. ‎ 解答：（Ⅰ）根据求导法则有，‎ 故，于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．‎ 于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．‎ 故当时，恒有．‎ 说明：考查学生综合运用导数知识分析问题、解决问题的能力 ‎92.解答：（1）已知两点均在曲线C上.∴∵ ∴，可求出 ∴曲线：（2）设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：∵过点，∴‎ 解得：或，当时，切点为，切线方程为：‎ 当时，切点为，切线方程为：‎ 说明：对导数几何意义的深度考查 ‎93.‎ 解答：（1）由奇函数的定义，应有，，‎ 即，∴ ，∴，∴，由条件为的极值，必有，故，‎ 解得，，∴，，∴，‎ 当时，，故在单调区间上是增函数；‎ 当时，，故在单调区间上是减函数；‎ 当时，，故在单调区间上是增函数，‎ 所以，在处取得极大值，极大值为．‎ ‎（2）由（1）知，是减函数，‎ 且在上的最大值，最小值，‎ 所以，对任意的，，恒有．‎ 说明：考查导数的基本知识及对题目含义的理解 ‎94. ‎ 解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。‎ 当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：‎ ① 函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时 ② ‎ ‎ 或， 解得1≤a≤5或a= ‎ ‎②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 ‎ ‎ ‎ 或解得a5或a<‎ 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为 ‎(-∞, ]∪[1, +∞)‎ ‎95. ‎ 分析：‎ 欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．‎ ‎(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①‎ 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．‎ 令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 ‎0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．‎ ‎(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．‎ f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，‎ ‎3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．‎ 令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．‎ R恒成立．‎ 说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：‎ 分离系数由k·3＜-3+9+2得 上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．‎ ‎96.‎ P A B C D F E ‎·‎ 解：（1）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.‎ 所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. …………………3分 又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. …………… 4分 所以FD⊥平面PAF. ………………………… 5分 故PF⊥FD. ………………………………………6分 ‎(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 ‎ ‎ AH=AD. …………………………8分 再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………………10分 所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, …………………………………………12分 从而点G满足AG=PA. ……………………………………………………………… 13分 ‎[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分；②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]‎ ‎97. ？‎ P A B C D F E ‎·‎ H G ‎（证明：（Ⅰ）在中，‎ ‎∵，，，∴．‎ ‎∴． 2分 又 ∵平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面． 4分 ‎（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面． 5分 证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．‎ ‎∵，所以四边形是梯形．‎ ‎∵，∴．‎ 又 ∵，‎ ‎∴，∴MN． 7分 ‎∵平面，∴平面． 9分 ‎（Ⅲ）过作交于，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面．‎ 即为四棱锥的高． 11分 又 ∵是边长为4的等边三角形，∴． 12分 在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．‎ ‎∴梯形的面积． 14分 故． 15分 ‎98.‎ ‎（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=， ‎ ‎ ∴d＜r，∴对m直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内） （ 4分）‎ ‎（2）设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）‎ ‎∴，又，kABKNC=-1，‎ ‎∴，整理得；x2+y2-x-2y+1=0，‎ 即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；（4分）‎ ‎（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组 得（1+m2）x2‎-2m2‎x+m2-5=0，∴，① 又 ‎∴（x2-1，y2-1）=2（1-x1，1-y1），即：2x1+x2=3 ②‎ 联立①②解得，则，即A（）‎ 将A点的坐标带入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x-y=0和x+y-2=0‎ ‎99. 与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程得．‎ 整理得　　　①‎ 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，‎ 解得或．即的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，．　　　②‎ 又．　　　　③‎ 而．‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．‎ ‎100. ‎ 解：（1） …………………………………………4分 ‎ （2）曲线C上点处的切线的斜率为，‎ 故得到切线的方程为 ……………………………………6分 联立方程消去y,得：‎ 化简得： 所以：………………8分 由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为－2的等比数列所以： …………………………………………10分 ‎（3）由（2）知：‎ 所以直线的方程为：‎ 化简得： …………………………………………12分 所以 ‎ ‎∴≥ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com