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- 2021-05-13 发布
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第十章圆锥曲线
第1节椭圆及其性质
题型113 椭圆的定义与标准方程
1.(2014 大纲理 6)已知椭圆:的左、右焦点为,,离心率为,过的直线交于,两点,若的周长为,则的方程为().
A. B. C. D.
2.(2014 安徽理 14)设分别是椭圆:的左、右焦点,过点的直线交椭圆于,两点,若,轴,则椭圆的方程为.
3.(2014 辽宁理 15)已知椭圆:,点与的焦点不重合.若关于的焦点的对称点分别为,,线段的中点在上,则.
4.(2014 福建理 19)(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为,.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图所示,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.
5.(2016北京理19(1))已知椭圆的离心率为,,,,的面积为1.求椭圆的方程;
5.解析可先作出本题的图形:
由题设,可得
解得.所以椭圆的方程是.
6.(2016山东理21(1))平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率是,抛物线:的焦点是的一个顶点.求椭圆的方程;
6.解析由题意知,可得:.因为抛物线的焦点为,所以,所以椭圆的方程为.
7.(2016天津理19(1))设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.求椭圆的方程.
7.解析由,即,可得.
又,所以,因此,所以椭圆的方程为
8.(2017浙江2)椭圆的离心率是().
A. B. C. D.
8.解析由椭圆方程可得,,所以,所以,,.故选B.
9.(2017江苏17(1))如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.求椭圆的标准方程.
9.解析设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此
,所以椭圆的标准方程为.
10.(2017山东理21(1))在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为.求椭圆的方程.
10.解析由题意知,,所以,,因此椭圆的方程为.
11.(2107全国1卷理科20(1))已知椭圆,四点,,
,中恰有三点在椭圆上.求的方程;
11. 解析根据椭圆对称性,必过,,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过
三点.将代入椭圆方程得,解得,
,所以椭圆的方程为.
题型114 椭圆离心率的值及取值范围
1.(2013江苏12)在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为.
2.(2013福建理14)椭圆的左右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____
3.(2014 湖北理 9)已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().
A. B. C.3 D.2
4.(2014 江西理 15)过点作斜率为的直线与椭圆:相交于两点,若是线段的中点,则椭圆的离心率等于.
5.(2014 江苏理 17)F1
F2
O
x
y
B
C
A
如图,在平面直角坐标系中,,分别是椭圆的左、右焦点,顶点
的坐标为,连结并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连结.
(1)若点的坐标为,且,求椭圆的方程
(2)若,求椭圆离心率的值.
6.(2014 北京理 19)(本小题14分)
已知椭圆,
(1) 求椭圆的离心率.
7.(2015安徽理20)设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的
坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线
的斜率为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点的坐标为,为线段的中点,点关于直线的对称点的纵
坐标为,求椭圆的方程.
7.解析(1)由题设条件知,点的坐标为,又,从而,
即,所以,故.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线的方程为,
点的坐标为.设点关于直线的对称点的坐标为,
则线段的中点的坐标为.
又点在直线上,且,从而有,
解得,所以,所以椭圆的方程为.
8.(2015重庆理21)如图所示,椭圆的左、右焦点分别为,,
过的直线交椭圆于,两点,且.
(1)若,,求椭圆的标准方程.
(2)若,求椭圆的离心率.
8.解析(1)由椭圆的定义,故.
设椭圆的半焦距为,由已知,因此
,即,从而.
故所求椭圆的标准方程为.
(2)如图所示,连接,由椭圆的定义,,,
从而由,有.
又由,,知,
因此,,得.
从而.
由,知,
因此.
9.(2016浙江理7)已知椭圆与双曲线的焦点重合,,分别为,的离心率,则().
A.且 B.且
C.且 D.且
9. A 解析因为两个圆锥曲线的焦点重合,所以,即.
因为,,所以,故,故选A.
10.(2016江苏10)如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是.
10.解析由题意得,直线与椭圆方程联立,
可得,.由,
可得,,,
则,由,
可得,则.
评注另外也可以结合,得,
,
而,解得,
进而.设与轴的交点为,则经典转化以为直径的圆
过点.
11.(2016全国丙理11)已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为().
A. B. C. D.
11. A 解析根据题意,作出图像,如图所示.因为点为的中点,所以,又,所以,得,即.故选A.
12.(2016浙江理19)如图所示,设椭圆.
(1)求直线被椭圆截得的线段长(用、表示);
(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
12.解析(1)设直线被椭圆截得的线段为,联立方程,
得,解得,.
因此.
(2)联立圆与椭圆的方程,观察易知圆与椭圆的公共点至多有个.当有个公共点时,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足.
记直线,的斜率分别为,,所以,,.所以直线,的方程为,.由(1)知,
,所以,
变形得.
由于得因此①
因为式①关于的方程有解的充要条件是,即.
因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为,
由,得所求离心率的取值范围为.
13.(2107全国3卷理科10)已知椭圆的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为().
A. B. C. D.
13.解析因为以为直径的圆与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,又因为,则上式可化简为.因为,可得,即,所以.故选A.
题型115 椭圆焦点三角形——暂无
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