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  • 2021-05-13 发布

高考数学模拟试卷衡水中学理科

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‎2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)‎ 第1卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.(0,1) C.[0,1) D.[0,1]‎ ‎2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=(  )‎ A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2‎ ‎3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=(  )‎ A.1 B.﹣1 C. D.‎ ‎4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为(  )‎ A. B.2 C. D.1‎ ‎6.(5分)(2018•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=(  )‎ A.45 B.180 C.﹣180 D.720‎ ‎9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为(  )‎ A.16 B.8+6 C.16 D.16+6‎ ‎10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为(  )‎ A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥‎ ‎12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围(  )‎ A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)‎ 第2卷 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为    .‎ ‎14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n=    .‎ ‎15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为    .‎ ‎16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为    .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0‎ ‎(1)求C的大小;‎ ‎(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.‎ ‎18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;‎ ‎(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.‎ ‎19.(12分)(2018•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.‎ ‎(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;‎ ‎(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.‎ ‎20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.‎ ‎21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.‎ ‎(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE∥AB;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.‎ ‎(I)解不等式f(x)≤6;‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.(0,1) C.[0,1) D.[0,1]‎ ‎【解答】解:A={x|x2<1}={x|﹣1<x<1},B={y|y=|x|≥0},‎ 则A∩B=[0,1),‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=(  )‎ A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2‎ ‎【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),‎ ‎∴μ=3,得对称轴是x=3.‎ ‎∵P(ξ>4)=0.2‎ ‎∴P(3<ξ≤4)=0.5﹣0.2=0.3.‎ 故选:C ‎ ‎ ‎3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=(  )‎ A.1 B.﹣1 C. D.‎ ‎【解答】解:复数z=,‎ 可得=﹣=cos+isin.‎ 则3=cos4π+isin4π=1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【解答】解:如图若∠PFQ=π,‎ 则由对称性得∠QFO=,‎ 则∠QOx=,‎ 即OQ的斜率k==tan=,‎ 则双曲线渐近线的方程为y=±x,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为(  )‎ A. B.2 C. D.1‎ ‎【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,‎ ‎∴r1+r2+r3=1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2018•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:第一次循环,sin>sin0,即1>0成立,a=1,T=1,k=2,k<6成立,‎ 第二次循环,sinπ>sin,即0>1不成立,a=0,T=1,k=3,k<6成立,‎ 第三次循环,sin>sinπ,即﹣1>0不成立,a=0,T=1,k=4,k<6成立,‎ 第四次循环,sin2π>sin,即0>﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k<6成立,‎ 第五次循环,sin>sin2π,即1>0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k<6不成立,输出T=3,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,a3=7,a5=11,‎ ‎∴,‎ 解得a1=3,d=2,‎ ‎∴an=3+2(n﹣1)=2n+1,‎ ‎∴,‎ ‎∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=(  )‎ A.45 B.180 C.﹣180 D.720‎ ‎【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,‎ ‎∴,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为(  )‎ A.16 B.8+6 C.16 D.16+6‎ ‎【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体.‎ 三棱锥的三条边长分别为,‎ ‎∴表面积为4×=16.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设右焦点为Q,‎ 由F(﹣3,0),可得Q(3,0),‎ 由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a,‎ 即|PF|=2a﹣|PQ|,‎ 则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,‎ 当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,‎ 由|MQ|==5,可得2a+5=17,‎ 所以a=6,‎ 则e===,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为(  )‎ A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥‎ ‎【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,‎ 作出函数f(x)和y=kx的图象如图,‎ 由图象知当k≤0时,函数f(x)和y=kx恒有一个交点,‎ 当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)的导数f′(x)=,则f′(0)=1,‎ 当x<0时,函数f(x)=ex﹣1的导数f′(x)=ex,则f′(0)=e0=1,‎ 即当k=1时,y=x是函数f(x)的切线,‎ 则当0<k<1时,函数f(x)和y=kx有3个交点,不满足条件.‎ 当k≥1时,函数f(x)和y=kx有1个交点,满足条件.‎ 综上k的取值范围为k≤0或k≥1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围(  )‎ A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)‎ ‎【解答】解:∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4,‎ ‎∴an﹣bn随着n变大而变小,‎ 又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小,‎ bn=2n﹣4随着n变大而变大,‎ ‎∴,‎ ‎(1)当 ‎(2)当,‎ 综上p∈(14,20),‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为 ﹣1 .‎ ‎【解答】解:根据条件,‎ ‎=‎ ‎=7;‎ ‎∴;‎ ‎∴在上的投影为.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1 .‎ ‎【解答】解:∵数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,‎ ‎∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;‎ n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.‎ ‎∴.‎ 故答案为:2n+n2﹣1.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为 2 .‎ ‎【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,‎ 则得,即直线恒过C(﹣1,2),‎ 若将区域分成面积相等的两部分,则直线过AB的中点D,‎ 由得,即A(1,6),‎ ‎∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,‎ 得4a﹣2=0,‎ 则,则的几何意义是区域内的点到点(﹣2,0)的斜率,‎ 由图象过AC的斜率最大,此时最大值为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为 (﹣∞,﹣2] .‎ ‎【解答】解:由f′(x)=+x,‎ 得f′(1)=3a+1,‎ 所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a<﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0<x1<x2,‎ 则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,‎ 令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,‎ 等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,‎ 所以恒成立,‎ 得a≤﹣2.‎ 故答案为:(﹣∞,﹣2].‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0‎ ‎(1)求C的大小;‎ ‎(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.‎ ‎【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0‎ 可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0‎ 即:sinA﹣acosC=0.‎ 由正弦定理可知:,‎ ‎∴,c=1,‎ ‎∴asinC﹣acosC=0,‎ sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C是三角形内角,‎ ‎∴C=.‎ ‎(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,‎ 得1=a2+b2﹣ab 又,‎ ‎∴,‎ 即:.‎ 当时,a2+b2取到最大值为2+.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;‎ ‎(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.‎ ‎【解答】证明:(1)取PC的中点E,则连接DE,‎ ‎∵ME是△PBC的中位线,‎ ‎∴ME,又AD,‎ ‎∴MEAD,‎ ‎∴四边形AMED是平行四边形,∴AM∥DE.‎ ‎∵PA=AB,M是PB的中点,‎ ‎∴AM⊥PB,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,‎ ‎∴BC⊥AM,‎ 又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,‎ ‎∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,‎ ‎∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,‎ ‎∴平面PBC⊥平面PCD.‎ ‎(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).‎ ‎∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),‎ ‎∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),‎ ‎==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).‎ ‎∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB的一个法向量,‎ ‎∴cos<>====‎ ‎=‎ 设MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=.‎ ‎∴当 即时,sinθ取得最大值,‎ ‎∴MN与平面PAB所成的角最大时.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2018•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.‎ ‎(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;‎ ‎(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.‎ ‎【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域的事件为A1,A2,A3,‎ 同理转盘B指针指向1,2,3区域的事件为B1,B2,B3,‎ ‎∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,‎ P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,‎ P=P(A1)P(1﹣P(B1))‎ ‎=×(1﹣)==.…(5分)‎ ‎(2)由已知得ξ的可能取值为2,3,4,5,6,‎ P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,‎ P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,‎ P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,‎ P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,‎ P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P Eξ==.…(12分)‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,‎ ‎)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,‎ 两式相减,‎ 故a2=3b2…(2分)‎ 当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,‎ ‎∵,,则,解得,‎ 故点A(或C)的坐标为.‎ 代入椭圆方程,得…4分 a2=3,b2=1,‎ 所以方程为…(6分)‎ ‎(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)‎ 由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),‎ ‎…①‎ 同理可得…②…(8分)‎ 由①②得:…③‎ 将点A、B的坐标代入椭圆方程得,‎ 两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,‎ 于是3(y1+y2)kAB=﹣(x1+x2)…④‎ 同理可得:3(y3+y4)kCD=﹣(x3+x4),…(10分)‎ 于是3(y3+y4)kAB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴kAB=kCD)‎ 所以3λ(y3+y4)kAB=﹣λ(x3+x4)…⑤‎ 由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]kAB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]‎ 把③代入上式得3(1+λ)kAB=﹣2(1+λ),‎ 解得:,‎ 当λ变化时,kAB为定值,.…(12分)‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.‎ ‎(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,‎ 故,则,函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),‎ 而,又函数g(x)在(1,+∞)上是减函数,‎ ‎∴在(1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴当x∈(1,+∞)时,的最大值.‎ 而,即右边的最大值为,‎ ‎∴,故实数a的最小值;‎ ‎(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),‎ 要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,‎ 亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.‎ 构造函数,则,‎ ‎(1)当k≤0时,h'(x)<0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,‎ ‎∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.‎ 又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)>0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,‎ 同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,‎ 故k≤0满足条件;‎ ‎(2)当k>0时,.‎ ‎①若0<k<2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.‎ 又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;‎ 又,而,故在内有一个零点,∴0<k<2不满足条件;‎ ‎②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.‎ 又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)>0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;‎ ‎③若k>2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.‎ 又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.‎ 易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=ϕ(k),‎ 则ϕ'(k)=2(ek﹣k)>0,则ϕ(k)在k>2为增函数,∴ϕ(k)>ϕ(2)=2e2﹣6>0.‎ 故函数h(x)在内有一零点,k>2不满足.‎ 综上:k≤0或k=2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE∥AB;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.‎ 因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.‎ 因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,‎ 所以AB∥DE.…(5分)‎ ‎(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,‎ 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.‎ 又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.‎ 所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,‎ 因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.‎ ‎【解答】解:(1)由曲线C的极坐标方程为ρ=‎ 得ρ2sin2θ=2ρcosθ.‎ ‎∴由曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.‎ 由直线l的参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,‎ 所以直线l的普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 所以|AB|===,‎ 因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=,‎ 所以△AOB的面积是|AB|d==12.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.‎ ‎(I)解不等式f(x)≤6;‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 的图象如图所示,‎ ‎(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.‎ 解①求得x∈∅,解②求得3<x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.‎ 综上可得,原不等式的解集为[﹣1,5].‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)的图象 不能在y=ax﹣1的图象的下方.‎ 如图所示:‎ 由于图中两题射线的斜率分别为﹣2,2,点B(3,2),‎ ‎∴3a﹣1≤2,且 a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.‎ ‎ ‎