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- 2021-05-13 发布
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2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)
第1卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=( )
A.∅ B.(0,1) C.[0,1) D.[0,1]
2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=( )
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=( )
A.1 B.﹣1 C. D.
4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为( )
A. B.2 C. D.1
6.(5分)(2018•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为( )
A. B. C. D.
8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=( )
A.45 B.180 C.﹣180 D.720
9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为( )
A.16 B.8+6 C.16 D.16+6
10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为( )
A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥
12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围( )
A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)
第2卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)
13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为 .
14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n= .
15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为 .
16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0
(1)求C的大小;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.
18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;
(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.
19.(12分)(2018•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.
(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.
20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.
(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
[选修4-5:不等式选讲]
24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.
(I)解不等式f(x)≤6;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=( )
A.∅ B.(0,1) C.[0,1) D.[0,1]
【解答】解:A={x|x2<1}={x|﹣1<x<1},B={y|y=|x|≥0},
则A∩B=[0,1),
故选:C.
2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=( )
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),
∴μ=3,得对称轴是x=3.
∵P(ξ>4)=0.2
∴P(3<ξ≤4)=0.5﹣0.2=0.3.
故选:C
3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=( )
A.1 B.﹣1 C. D.
【解答】解:复数z=,
可得=﹣=cos+isin.
则3=cos4π+isin4π=1.
故选:A.
4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【解答】解:如图若∠PFQ=π,
则由对称性得∠QFO=,
则∠QOx=,
即OQ的斜率k==tan=,
则双曲线渐近线的方程为y=±x,
故选:B
5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为( )
A. B.2 C. D.1
【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,
∴r1+r2+r3=1,
故选:D.
6.(5分)(2018•衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:第一次循环,sin>sin0,即1>0成立,a=1,T=1,k=2,k<6成立,
第二次循环,sinπ>sin,即0>1不成立,a=0,T=1,k=3,k<6成立,
第三次循环,sin>sinπ,即﹣1>0不成立,a=0,T=1,k=4,k<6成立,
第四次循环,sin2π>sin,即0>﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k<6成立,
第五次循环,sin>sin2π,即1>0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k<6不成立,输出T=3,
故选:B
7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn=,则数列{bn}的前8项和为( )
A. B. C. D.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,a3=7,a5=11,
∴,
解得a1=3,d=2,
∴an=3+2(n﹣1)=2n+1,
∴,
∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=
故选B.
8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=( )
A.45 B.180 C.﹣180 D.720
【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,
∴,
故选:D.
9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为( )
A.16 B.8+6 C.16 D.16+6
【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体.
三棱锥的三条边长分别为,
∴表面积为4×=16.
故选:C.
10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:设右焦点为Q,
由F(﹣3,0),可得Q(3,0),
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a,
即|PF|=2a﹣|PQ|,
则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,
当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,
由|MQ|==5,可得2a+5=17,
所以a=6,
则e===,
故选:A.
11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为( )
A.k≤0 B.k≤0或k≥1 C.k≤0或k≥e D.k≤0或k≥
【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,
作出函数f(x)和y=kx的图象如图,
由图象知当k≤0时,函数f(x)和y=kx恒有一个交点,
当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)的导数f′(x)=,则f′(0)=1,
当x<0时,函数f(x)=ex﹣1的导数f′(x)=ex,则f′(0)=e0=1,
即当k=1时,y=x是函数f(x)的切线,
则当0<k<1时,函数f(x)和y=kx有3个交点,不满足条件.
当k≥1时,函数f(x)和y=kx有1个交点,满足条件.
综上k的取值范围为k≤0或k≥1,
故选:B.
12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn=,若在数列{cn}中c6<cn(n∈N*,n≠6),则p的取值范围( )
A.(11,25) B.(12,22) C.(12,17) D.(14,20)
【解答】解:∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4,
∴an﹣bn随着n变大而变小,
又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小,
bn=2n﹣4随着n变大而变大,
∴,
(1)当
(2)当,
综上p∈(14,20),
故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)
13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上的投影为 ﹣1 .
【解答】解:根据条件,
=
=7;
∴;
∴在上的投影为.
故答案为:﹣1.
14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,则数列{an}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1 .
【解答】解:∵数列{an}满足a1=a2=1,an+2=,
∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;
n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.
∴.
故答案为:2n+n2﹣1.
15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分,则的最大值为 2 .
【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,
则得,即直线恒过C(﹣1,2),
若将区域分成面积相等的两部分,则直线过AB的中点D,
由得,即A(1,6),
∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,
得4a﹣2=0,
则,则的几何意义是区域内的点到点(﹣2,0)的斜率,
由图象过AC的斜率最大,此时最大值为2.
故答案为:2.
16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为 (﹣∞,﹣2] .
【解答】解:由f′(x)=+x,
得f′(1)=3a+1,
所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a<﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,
令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,
等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,
故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,
所以恒成立,
得a≤﹣2.
故答案为:(﹣∞,﹣2].
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0
(1)求C的大小;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.
【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0
可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0
即:sinA﹣acosC=0.
由正弦定理可知:,
∴,c=1,
∴asinC﹣acosC=0,
sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C是三角形内角,
∴C=.
(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,
得1=a2+b2﹣ab
又,
∴,
即:.
当时,a2+b2取到最大值为2+.
18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;
(Ⅱ)设点N是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.
【解答】证明:(1)取PC的中点E,则连接DE,
∵ME是△PBC的中位线,
∴ME,又AD,
∴MEAD,
∴四边形AMED是平行四边形,∴AM∥DE.
∵PA=AB,M是PB的中点,
∴AM⊥PB,
∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,
∴BC⊥AM,
又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,
∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,
∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,
∴平面PBC⊥平面PCD.
(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).
∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),
∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),
==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).
∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB的一个法向量,
∴cos<>====
=
设MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=.
∴当 即时,sinθ取得最大值,
∴MN与平面PAB所成的角最大时.
19.(12分)(2018•衡中模拟)如图是两个独立的转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对的区域为x,转盘(B)指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ.
(Ⅰ)求x<2且y>1的概率;
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望.
【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域的事件为A1,A2,A3,
同理转盘B指针指向1,2,3区域的事件为B1,B2,B3,
∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
P=P(A1)P(1﹣P(B1))
=×(1﹣)==.…(5分)
(2)由已知得ξ的可能取值为2,3,4,5,6,
P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,
P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,
P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,
P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,
P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,
∴ξ的分布列为:
ξ
2
3
4
5
6
P
Eξ==.…(12分)
20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,
)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,
两式相减,
故a2=3b2…(2分)
当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,
∵,,则,解得,
故点A(或C)的坐标为.
代入椭圆方程,得…4分
a2=3,b2=1,
所以方程为…(6分)
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)
由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),
…①
同理可得…②…(8分)
由①②得:…③
将点A、B的坐标代入椭圆方程得,
两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
于是3(y1+y2)kAB=﹣(x1+x2)…④
同理可得:3(y3+y4)kCD=﹣(x3+x4),…(10分)
于是3(y3+y4)kAB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴kAB=kCD)
所以3λ(y3+y4)kAB=﹣λ(x3+x4)…⑤
由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]kAB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]
把③代入上式得3(1+λ)kAB=﹣2(1+λ),
解得:,
当λ变化时,kAB为定值,.…(12分)
21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.
(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,
故,则,函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),
而,又函数g(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴在(1,+∞)上恒成立,
∴当x∈(1,+∞)时,的最大值.
而,即右边的最大值为,
∴,故实数a的最小值;
(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),
要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,
亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.
构造函数,则,
(1)当k≤0时,h'(x)<0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,
∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.
又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)>0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,
同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,
故k≤0满足条件;
(2)当k>0时,.
①若0<k<2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.
又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;
又,而,故在内有一个零点,∴0<k<2不满足条件;
②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)>0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;
③若k>2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.
又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.
易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=ϕ(k),
则ϕ'(k)=2(ek﹣k)>0,则ϕ(k)在k>2为增函数,∴ϕ(k)>ϕ(2)=2e2﹣6>0.
故函数h(x)在内有一零点,k>2不满足.
综上:k≤0或k=2.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥AB;
(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.
【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为的中点,所以BD=DC.
因为E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°,
所以AB∥DE.…(5分)
(Ⅱ)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,
因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
【解答】解:(1)由曲线C的极坐标方程为ρ=
得ρ2sin2θ=2ρcosθ.
∴由曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.
由直线l的参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,
所以直线l的普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
所以|AB|===,
因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=,
所以△AOB的面积是|AB|d==12.…(10分)
[选修4-5:不等式选讲]
24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.
(I)解不等式f(x)≤6;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 的图象如图所示,
(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.
解①求得x∈∅,解②求得3<x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.
综上可得,原不等式的解集为[﹣1,5].
(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)的图象
不能在y=ax﹣1的图象的下方.
如图所示:
由于图中两题射线的斜率分别为﹣2,2,点B(3,2),
∴3a﹣1≤2,且 a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.