真题推荐2010全国高考数学试题分类汇编平面向量 25页

‎2010平面向量 ‎1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（ ）‎ A、-16 B、-8 C、8 D、16‎ ‎【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.‎ ‎【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.‎ ‎【规范解答】选D.=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.‎ ‎【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.‎ ‎2.（2010·安徽高考理科·Ｔ3）设向量， 则下列结论中正确的是（ ）‎ A、 B、‎ C、与垂直 D、∥‎ ‎【命题立意】本题主要考查向量的长度、数量积的坐标运算，考查向量平行、垂直的坐标判定方法，考查考生的向量坐标运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】利用向量的坐标运算逐项验证。‎ ‎【规范解答】选 C.向量， ， ‎ 由， ，所以，故A错误；‎ 由，故B错误；‎ 由，所以，故C正确；‎ 由，故D错误；‎ ‎3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ8）平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了平面向量的数量积，夹角公式，考查了三角恒等变换和三角形的面积公式以及运算能力。‎ ‎【思路点拨】‎cos‎ sin‎ S△OAB 化简整理 ‎【规范解答】选C，‎ ‎∴‎ ‎4.（2010·北京高考文科·Ｔ4）若是非零向量，且，，则函数是( )‎ ‎（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 ‎（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 ‎【命题立意】本题考查向量与一次函数的相关知识。‎ ‎【思路点拨】把转化为，再代入到中去。‎ ‎【规范解答】选A。函数，，。‎ ‎，，为一次函数且是奇函数。‎ ‎【方法技巧】一次函数，当时为非奇非偶函数；当时为奇函数 ‎5.（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（ ）‎ A.若与共线，则⊙ B.⊙⊙‎ C.对任意的，有⊙⊙ D. (⊙)2‎ ‎【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【思路点拨】根据所给定义逐个验证.‎ ‎【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙，‎ 而⊙，所以有⊙⊙ ，故选项B错误，故选B. ‎ ‎【方法技巧】自定义型信息题 ‎1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. ‎ ‎2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 ‎6.（2010·天津高考文科·Ｔ9）如图，在ΔABC中，，，，‎ 则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。：‎ ‎【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。‎ ‎【规范解答】选D，由图可得：‎ ‎【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。‎ ‎7.（2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=( )‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.‎ ‎【思路点拨】 先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出 ‎【规范解答】选. ，所以 ‎.即：，解得：，故选.‎ ‎8. （2010·湖南高考理科·Ｔ4） 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为（ ）‎ A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500‎ ‎【命题立意】条件简洁明了，内涵丰富，考查学生合情推理的能力.‎ ‎【思路点拨】要求向量a和b的夹角，因此由已知条件产生目标cosθ.‎ ‎【规范解答】选C.∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0，‎ ‎∴cosθ=-,∴θ=1200.‎ ‎【方法技巧】求向量的夹角常借助数量积.‎ ‎9.（2010·浙江高考理科·Ｔ16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .‎ ‎【命题立意】本题考查向量的相关知识，考查向量的模、夹角等。‎ ‎【思路点拨】利用向量的几何意义，作出图形，数列结合的方法求的取值范围。‎ ‎【规范解答】如图所示，，，又，‎ 点P在以AB为弦半径为的圆上的优弧APB上运动。因此。‎ ‎【答案】‎ ‎10.（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量则的值是。‎ ‎【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。‎ ‎【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。‎ ‎【规范解答】由题意可知，结合，解得，‎ 所以2=，开方可知答案为.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】（1）；（2）。‎ ‎11.（2010·天津高考理科·Ｔ１5）如图，在中，,,‎ ‎,则= ‎ ‎【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。‎ ‎【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。‎ ‎【规范解答】由图可得：‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。‎ ‎12.（2010·江苏高考·Ｔ１5）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎【命题立意】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】（1）将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长问题解决；‎ ‎（2）利用向量的坐标运算解决.‎ ‎【规范解答】（1）方法一：由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ 方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ ‎13.（2010·陕西高考理科·Ｔ１1）已知向量 ,若∥，‎ ‎ 则＝_____________.‎ ‎【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算及平行的条件，属送分题。‎ ‎【思路点拨】∥关于的方程 ‎【规范解答】由∥得: ‎ ‎【答案】‎ ‎2011平面向量 一、选择题 ‎1.（2011·福建卷理科·Ｔ10）已知函数.对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：‎ ‎①△ABC一定是钝角三角形 ‎②△ABC可能是直角三角形 ‎③△ABC可能是等腰三角形 ‎④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）‎ A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④‎ ‎【思路点拨】设出表示，结合A，B，C三个点的横坐标判断的符号，的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形，再 ‎【精讲精析】选B. 设 ，‎ ‎①正确，②不正确，对于③， ,‎ 选④，③错误..‎ ‎2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【思路点拨】，，将展开并化成与有关的式子，解关于的不等式，得的取值范围.‎ ‎【精讲精析】选A.，而 ，，解得，同理由，可得.‎ ‎3.（2011·广东高考理科·Ｔ3）若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=‎ ‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律.由两向量垂直数量积为零，然后运用数量积对加法的分配律可求解.‎ ‎【精讲精析】选D.且，，从而..故选D.‎ ‎4.（2011·辽宁高考理科·Ｔ10）若，，均为单位向量，且，（-）·（-）≤0，则|+-|的最大值为 ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎【思路点拨】先化简已知的式子，再将所求式子平方，然后利用化简的结果即可．‎ ‎【精讲精析】选B，由（-）·（-）≤0，得，又 ‎ 且，，均为单位向量，得，|+-|2=（+-）2=‎ =，故|+-|的最大值为1.‎ ‎5.（2011·辽宁高考文科·Ｔ3）已知向量=（2，1），=（-1，k），·（2-）=0，则k=‎ ‎（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12 ‎ ‎【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算．‎ ‎【精讲精析】选D，因为，所以．‎ ‎ 又，所以，得．‎ 二、填空题 ‎6.（2011·安徽高考理科·Ｔ13）已知向量、满足，且，，则与 的夹角为_____________________‎ ‎【思路点拨】可以求出，再利用夹角公式可求夹角.‎ ‎【精讲精析】答案:.,即则=1，所以所以.‎ ‎7.（2011·福建卷理科·Ｔ15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意∈R，均有 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射： ‎① ‎② ‎③ 其中，具有性质P的映射的序号为________.（写出所有具有性质P的映射的序号）‎ ‎【思路点拨】对三个映射分别验证是否满，满足则具有性质P，不满足则不具有.‎ ‎【精讲精析】①③ 由题意知 ，‎ 对于①： 而 .故①中映射具有性质P.‎ 对于②：，‎ 而，‎ ，故②中映射不具有性质P.‎ 对于③：，‎ ..故③中映射具有性质P.‎ 具有性质P的映射的序号为①③.‎ ‎8.（2011·福建卷文科·Ｔ13）若向量a=（1,1），b＝（-1,2），则a·b等于_____________.‎ ‎【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.‎ ‎【精讲精析】1. .‎ ‎9.（2011·江苏高考·Ｔ10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数k的值为________‎ ‎【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出，然后找到关于k的等式进行求解。‎ ‎【精讲精析】由题,可以解得 ‎【答案】.‎ ‎10.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_______ ‎ ‎【思路点拨】向量与向量垂直，展开用数量积公式求得的值.‎ ‎【精讲精析】1，，‎ 即， 又为两不共线单位向量，式可化为，‎ 若，则，这与，不共线矛盾；‎ 若，则恒成立.‎ 综上可知，时符合题意.‎ ‎11.（2011·湖南高考理科·T14）在边长为1的正三角形ABC中，设,‎ 则_______‎ ‎【思路点拨】本题主要考查向量的基本知识，关键是找好基底，再把向量用基底表示，再进行向量运算.‎ ‎【精讲精析】答案：选为基底.则，‎ ，()·()= ‎12.（2011·江西高考理科·Ｔ11） 已知＝＝2，·＝-2，则与的夹角为.‎ ‎【思路点拨】先根据条件求出与的数量积，再由数量积的定义求出两者的夹角.‎ ‎【精讲精析】答案: ‎13.（2011·江西高考文科·Ｔ11）已知两个单位向量，的夹角为，若向量， ‎【思路点拨】首先根据数量积的定义，将，再结合即得。‎ ‎【精讲精析】答案：-6‎ ‎14.（2011·浙江高考理科·Ｔ14）若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 ‎ ‎【思路点拨】利用平行四边形的面积可得出的范围,尽而求出夹角的范围.‎ ‎【精讲精析】由可得，，故． ‎ ‎2012平面向量 一、选择题 ‎1.（2012·江西高考理科·Ｔ7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝（ ）‎ A．2 B.4 C.5 D.10‎ ‎【解题指南】用向量法求解.‎ ‎【解析】选D .将各边均赋予向量，则 ‎.‎ ‎2.（2012·安徽高考理科·Ｔ8）在平面直角坐标系中，，将向量绕点O按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是（ ）‎ ‎【解题指南】先写出向量，在把向量按逆时针旋转，计算出向量，既得点的坐标.‎ ‎【解析】选.将向量按逆时针旋转后得，则 ‎.‎ ‎3.（2012·辽宁高考理科·Ｔ3）已知两个非零向量，满足|+|=||，则下面结论正确的是（ ）‎ ‎(A)∥ (B) ⊥ ‎(C)︱︱=︱︱ (D)+= ‎【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.‎ ‎【解析】选B. ‎ ‎.‎ ‎4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ1）已知向量，若，则（ ）‎ ‎【解题指南】按照数量积的坐标运算，展开即可解决问题.‎ ‎【解析】选D..‎ ‎5.（2012·福建高考文科·Ｔ3）已知向量，，则的充要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题指南】垂直表明数量积为0，结合平面向量的数量积的坐标运算公式进行求解 .‎ ‎【解析】选D .，解得.‎ ‎6.（2012·广东高考理科·Ｔ8）‎ 对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=( )‎ A． B.1 C. D. ‎ ‎【解题指南】解决本小题首先搞清的定义，然后根据,再结合确定是解决本题的关键。‎ ‎【解析】选C.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎7.（2012·广东高考文科·Ｔ10）对任意两个非零的平面向量，定义. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且和都在集合中，则=( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【解题指南】解决本小题首先搞清的定义，然后根据 ‎,再结合确定是解决本题的关键。‎ ‎【解析】选D.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎8.（2012·陕西高考文科·Ｔ7）设向量=（1，）与=（，2）垂直，则等于 （ ）‎ ‎(A) (B) (C)0 (D)‎ ‎【解题指南】由向量垂直关系，可计算的值，再由二倍角公式计算.‎ ‎【解析】选C. 已知=（1，），=（，2）， ∵，∴，∴，故选C.‎ ‎9.（2012·天津高考理科·Ｔ7）已知△为等边三角形，AB=2，设点P,Q满足若（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算.‎ ‎【解析】选A.‎ ‎∵=，=，‎ 又∵，且，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，又在等边三角形中：‎ ‎，所以，解得.‎ 二、填空题 ‎10.（2012·浙江高考文科·Ｔ15）与（2012·浙江高考理科·Ｔ15）相同 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.‎ ‎【解题指南】考查向量的数量积运算，要注意把所求向量往已知向量上去化。‎ ‎【解析】不妨设△ABC为等腰三角形，则，‎ ‎．‎ ‎【答案】-16.‎ ‎11.（2012·安徽高考理科·Ｔ14）若平面向量满足：；则的最小值是 ‎【解题指南】将两边同时平方，得，根据即可求得.‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】.‎ ‎12.（2012·北京高考文科·Ｔ13）与（2012·北京高考理科·Ｔ13）相同 己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则的值为，的最大值为_________.‎ ‎【解题指南】利用图形中的直角关系建系用坐标计算。也可以适当选取基向量进行计算.‎ ‎【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系，设，，则，B（1，0），C（1，1），，.‎ ‎.‎ 方法二：选取作为基向量，设，，则 ‎。‎ ‎【答案】1，1.‎ ‎13.（2012·湖南高考文科·Ｔ15）如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .‎ ‎【解题指南】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行线性运算，向量垂直时数量级为零。向量的平方等于模的平方。‎ ‎【解析】设，则，=‎ ‎.‎ ‎【答案】18.‎ ‎14.（2012·江苏高考·Ｔ9A B C D E F ）如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是 ‎【解题指南】先建立坐标系。再恰当的表示向量，最后用数量积公式.‎ ‎【解析】以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为 y轴建立直角坐标系xOy,则设，‎ 所以.‎ ‎【答案】.‎ ‎15. （2012·安徽高考文科·Ｔ1）‎ 设向量⊥,则||=____________‎ ‎【解题指南】根据向量的坐标运算，求出，由，得，从而求出.‎ ‎【解析】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎16.（2012·江西高考文科·Ｔ12）设单位向量 =（x，y），=（2，-1）。若，则=_______________‎ ‎【解题指南】由已知条件联立方程组求得向量的坐标，然后求.‎ ‎【解析】由可得，又因为为单位向量所以，联立解得或，故=.‎ ‎【答案】.‎ ‎17.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ15）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ13）相同 已知向量夹角为45。 ，且,则 ‎【解题指南】将|2a－b|平方展开，将|a|、代入展开式，将展开式看作关于|b|的方程，解得|b|.‎ ‎【解析】的夹角为，，，‎ ‎，.‎ ‎【答案】.‎ 三、解答题 ‎18. （2012·山东高考理科·Ｔ17）‎ 已知向量，函数的最大值为6.（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎【解题指南】（1）先利用数量积的坐标运算，再利用和差倍角公式化为的形式；（2）先利用图象变换法求出的解析式，再利用整体代入法求值域.‎ ‎【解析】(1) ‎ 所以的最大值为A，函数的最大值为6‎ 所以A=6.‎ ‎(2) 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.‎ 所以在上的值域为.‎ ‎2013平面向量 一、选择题 错误！未指定书签。 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足 （　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】 D．‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点 （　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】A 21世纪教育网 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则 （　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】D[21世纪教育网 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为 （　　）[来源:21世纪教育网]‎ A．B．C．5 D．10‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是 （　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】D 错误！未指定书签。 ．‎ ‎（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是 （　　）21世纪教育网 A．B．C．D．‎ ‎【答案】D 错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖南卷（理））已知是单位向量,.若向量满足 （　　）21世纪教育网 A．B． C．D． ‎【答案】A ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知向量,若,则 （　　）‎ A．B．C．D．21世纪教育网 ‎【答案】B 错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖北卷（理））已知点...,则向量在方向上的投影为 （　　）‎ A．B．C．D． ‎【答案】A [21世纪教育网]‎ 二、填空题21世纪教育网 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知正方形的边长为,为的中点,则_______.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量,.若,则实数 __________ ‎ ‎【答案】 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量与的夹角为°,且,,若,且,‎ 则实数的值为__________.‎ ‎【答案】 错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.21世纪教育网 ‎【答案】=.‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),则=_________.‎ ‎【答案】4 21世纪教育网 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.‎ ‎【答案】 错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形中,对角线与交于点,,则_________.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））设,为单位向量.且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 ___________‎ ‎【答案】 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为______.‎ ‎【答案】