高考数学分类汇编之导数及其运用 25页

导数 选修1-1 　第3章 导数及其运用 ‎§3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．‎ 考纲要求：①了解导数概念的实际背景．‎ ‎②理解导数的几何意义．‎ 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x≠0)的导数．‎ 当堂练习：‎ ‎1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（ ）‎ ‎ A >0 B <‎0 C D =0 ‎ ‎2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（ ）‎ ‎ A 2 B ‎2 ‎C D 2+ ‎ ‎4、质点运动规律，则在时间中，相应的平均速度是（ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于 A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx ‎7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则 A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<‎0 ‎‎ C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 ‎8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．设函数f(x)在x0处可导，则等于 A．f′(x0) B．‎0 C．‎2f′(x0) D．－‎2f′(x0)‎ ‎10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于 A．0 B．‎1 C．－1 D．不存在 ‎11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是___．‎ ‎12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________．‎ ‎13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____．‎ ‎14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度________．‎ ‎15.已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，‎ ‎(1)当t=2，Δt=0.01时，求．‎ ‎(2)当t=2，Δt=0.001时，求．‎ ‎(3)求质点M在t=2时的瞬时速度．‎ ‎16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程．‎ ‎17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．‎ ‎18．设f(x)=,求f′(1)．‎ 选修1-1 　第3章 导数及其运用 ‎§3.2导数的运算 重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．‎ 考纲要求：①能根据导数定义，求函数的导数．‎ 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．‎ 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：‎ 法则1　 法则2　‎ 法则3　‎ 经典例题：求曲线y=在原点处切线的倾斜角.‎ 当堂练习：‎ ‎1.函数f（x）=a4+‎5a2x2－x6的导数为 ( )‎ A‎.4a3+10ax2－x6 B‎.4a3+‎10a2x－6x5‎ C‎.10a2x－6x5 D.以上都不对 ‎2.函数y=3x（x2+2）的导数是( )‎ A.3x2+6 B.6x‎2 ‎ C.9x2+6 D.6x2+6‎ ‎3.函数y=（2+x3）2的导数是( )‎ A.6x5+12x2 B.4+2x‎3 ‎ C.2（2+x3）3 D.2（2+x3）· 3x ‎4.函数y=x－（2x－1）2的导数是( )‎ A.3－4x B.3+4x C.5+8x D.5－8x ‎5.设函数f（x）=ax3+3x2+2,若f'（－1）=4，则a的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数y=的导数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数y=的导数是( )‎ A. B‎.0 ‎‎ C. D.‎ ‎8.函数y=的导数是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.函数f（x）=的导数是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎106.曲线y=－x3+2x2－6在x=2处的导数为( )‎ A.3 B‎.4 ‎ C.5 D.6‎ ‎11.曲线y=x2（x2－1）2+1在点（－1，1）处的切线方程为_________.‎ ‎12.函数y=xsinx－cosx的导数为_________.‎ ‎13.若f（x）=xcosx+,则f'（x）=_________.‎ ‎14.若f（x）=cotx,则f'（x）=_________.‎ ‎15.求曲线y=2x3－3x2+6x－1在x=1及x=－1处两切线的夹角.‎ ‎16.已知函数f（x）=x2（x－1）,若f'（x0）=f（x0）,求x0的值.‎ ‎17.已知函数y=,求在x=1时的导数.‎ ‎18.求函数y=的导数.‎ 选修1-1 　第3章 导数及其运用 ‎§3.3导数在研究函数中的应用 重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．‎ 考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．‎ ‎②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．‎ 经典例题：已知函数与的图象都过点P且在点P处有相 同的切线. ‎ ‎(1) 求实数的值;‎ ‎(2) 设函数, 求的单调区间, 并指出在该区间上的单调性. ‎ 当堂练习：‎ ‎1. 函数是减函数的区间为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 函数, 已知在时取得极值, 则 ( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎‎ ‎‎ ‎ C. 4 D. 5‎ ‎3. 在函数的图象上, 其切线的倾斜角小于的点中, 坐标为整数的点的个数是 ‎ ‎ ( )‎ ‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎4. 函数的图象与直线相切, 则 ( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎5. 已知函数(m为常数) 图象上点A处的切线与直线 ‎ 的夹角为, 则点A的横坐标为　 ( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎‎ ‎‎ C. 0或 D. 1或 ‎6. 曲线在处的切线的斜率为 ( )‎ A. 7 B. ‎6 C. 5 D. 4‎ ‎7. 已知某物体的运动方程是, 则当时的瞬时速度是 ( )‎ A. ‎10m /s B. ‎9m /s C. ‎4m /s D. ‎3m /s ‎8. 函数＝在区间上的最大值与最小值分别是 ( )‎ A. 5, 4 B. 13, ‎4 C. 68, 4 D. 68, 5‎ ‎9. 已知函数y＝－x 2－2x＋3在区间上的最大值为, 则a等于 ( )‎ A. － B. C. － D. －或－‎ ‎10. 若函数y＝x 3－2x 2＋mx, 当x＝时, 函数取得极大值, 则m的值为 ( )‎ A. 3 B. ‎2 C. 1 D. ‎ ‎11. 曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 . ‎ ‎12. 曲线在点处的切线方程是 .‎ ‎13. 与直线＝0平行, 且与曲线y＝相切的直线方程为 .‎ ‎14. 曲线y＝在点M处的切线的斜率为－1, 则a＝ .‎ ‎15. 已知函数 ‎ ‎(1) 求的单调递减区间;‎ ‎(2) 若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.‎ ‎ ‎ ‎16. 已知函数的图象过点P, 且在点M处的切线 方程为.‎ ‎(1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间.‎ ‎17. 已知函数当时, y的极值为3.‎ 求: (1) a, b的值; (2) 该函数单调区间.‎ ‎18. 设函数若对于任意都有成立, 求实数的 取值范围.‎ 选修1-1 　第3章 导数及其运用 ‎§3.4生活中的优化问题 重难点：会利用导数解决某些实际问题．‎ 考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．‎ 经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为‎6 cm.‎ ‎(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?‎ ‎(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?‎ 当堂练习：‎ ‎1.函数y=x3+x的单调增区间为( )‎ A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)‎ C.(-∞,0) D.不存在 ‎2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是（ ）‎ ‎3.右上图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ）‎ A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数 C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时f(x)取到极小值 ‎4.下列说法正确的是（ ）‎ A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 ‎5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )‎ A.a≥3 B.a=‎2 C.a≤3 D.00)在R上是增函数,则( )‎ A.b2‎-4ac>0 B.b>0,c>0‎ C.b=0,c>0 D.b2‎-3ac<0‎ ‎7.已知函数f(x)=ax3+(‎2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为( )‎ A.2 B.‎-2 C. D.4‎ ‎8.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x是( )‎ A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 ‎9.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e］上的最大值为( )‎ A.1-e B.‎-1 C.-e D.0‎ ‎10.函数y=x5-x3-2x，则下列判断正确的是( )‎ A.在区间（-1，1）内函数为增函数 B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数 C.在区间(-∞,1)内函数为减函数 D.在区间(1,+∞)内函数为增函数 ‎11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 .‎ ‎12.函数y=4x2+的单调增区间为　　　　　　.‎ ‎13.函数y=3x2-2lnx的单调减区间为 .‎ ‎14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .‎ ‎15.已知函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.‎ ‎16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.‎ ‎(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;‎ ‎(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?‎ ‎17.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).‎ ‎(1)求导数f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.‎ ‎18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?‎ 选修1-1 　第3章 导数及其运用 ‎§3.5导数及其运用单元测试 ‎1、设是可导函数，且 （ ）‎ A． 　　　　B．－‎1 ‎　　　　　C．0 　　　　　D．－2‎ ‎2、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3、下列函数中,在上为增函数的是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ A. 　　　　 B. ‎ ‎ C. 　　　　　　　　D. ‎ ‎5、已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、下列说法正确的是 （ ）‎ ‎ A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; ‎ B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;‎ C. 对于,若,则无极值;‎ D.函数在区间上一定存在最值.‎ ‎7、函数在处有极值10, 则点为 （ ）‎ ‎ A. B. C. 或 D.不存在 ‎8、定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点,且,则下列说法正确的是 （ ）‎ ‎ A.函数有最小值 B. 函数有最小值,但不一定是 C.函数的最大值也可能是 D. 函数不一定有最小值 ‎9、函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）‎ A. 5，15 B. 5， C. 5， D. 5，‎ ‎10、函数上最大值等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11、设函数，则′＝____________________‎ ‎12、函数的单调递减区间为 ‎ ‎13、函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是 ‎ ‎14、点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是 ‎ ‎15、已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且 （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线 和轴所围成的三角形的面积 ‎ ‎16、设函数 ‎ （Ⅰ）当求函数满足时的的集合；‎ ‎ （Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数 ‎17、设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)‎ ‎(Ⅰ)求导数f¢ (x); ‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x1)+ f(x2)£0成立，求a的取值范围 ‎ ‎18、已知在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间[－3，3]上的最大值和最小值.‎ ‎19、设函数 ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.‎ ‎（Ⅲ）已知当恒成立，求实数k的取值范围.‎ 选修1-1 　选修1-1综合测试 ‎1．已知命题甲：，命题乙：点是可导函数的极值点，则甲是乙的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分而不必要条件 ‎2、已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上的一点，且是的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、已知，点P在A、B所在的平面内运动且保持，则 的最大值和最小值分别是 ( )‎ A．、3 B．10、‎2　‎‎　 ‎ C．5、1 D．6、4‎ ‎4、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎5．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是 （ ）‎ ‎ A．(, 0) , (－, 0) B．(, 0), (－, 0) ‎ ‎ C．（－, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0)‎ ‎6、若双曲线与的离心率分别为，则当变化时，的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标可能是( )‎ A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)‎ ‎8. 函数在区间上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 （ ）‎ A、3 B、‎2 C、1 D、0 ‎ ‎10．已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )‎ ‎ ‎ ‎11．命题的否命题是 .‎ ‎12．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 条件。（填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要” ）‎ ‎13．若方程 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：‎ ‎①若C为椭圆，则14或t<1；‎ ‎③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上，则.其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上） ‎ ‎14．函数y=的单调增区间是 ，减区间是 . ‎ ‎15．求与椭圆有共同焦点，且过点的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率。‎ ‎16．设椭圆方程为=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.‎ ‎17．设f(x)=x3-x2-2x+5‎ ‎（1）求函数f(x)的单调区间。（2）求极值点与极值。‎ ‎18．已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。‎ ‎⑴求椭圆的方程；‎ ‎⑵已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。‎ 参考答案 第3章 导数及其运用 ‎§3.1导数概念及其几何意义 经典例题：解：∵y=|x|，∴x>0时，y=x，则∴=1．‎ 当x<0时，y=－x，，∴．‎ ‎∴y′= ．‎ 当堂练习：‎ ‎1.C; 2.D; 3.C; 4.A; 5.A; 6.B; 7.B; 8.B; 9.C; 10.B; 11.常数函数; 12.arctan; 13.(a+b)f′(x);‎ ‎14. ‎10 m/s;‎ ‎15. 分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度．‎ 解：∵=4t+2Δt ‎∴(1)当t=2，Δt=0.01时，=4×2+2×0.01=‎8.02 cm/s ‎(2)当t=2，Δt=0.001时，=4×2+2×0.001=‎8.002 cm/s ‎(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=‎8 cm/s．‎ ‎16. 解：(1)k=‎ ‎．∴点A处的切线的斜率为4．‎ ‎(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2‎ ‎17. 解：== (Δx+1)=1‎ ‎=‎ 若b≠1,则不存在 ‎∴b=1且a=1时，才有f(x)在x=0处可导 ‎∴a=1,b=1．‎ ‎18．解：f′(1)= = ‎ ‎==．‎ ‎§3.2导数的运算 经典例题：解:∵y'=, y'|x=0=1,∴tanθ=1,θ=为所求倾斜角.‎ 当堂练习：‎ ‎1.C; 2.C; 3.A; 4.D; 5.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.C; 10.C; 11. y=1; 12. 2sinx+xcosx; 13. cosx－xsinx+;14. ;‎ ‎15. 解:∵y'=6x2－6x+6,∴y'|x=1=6, y'|x=－1=18. 设夹角为α, 则tanα=||=,‎ ‎∴α=arctan.‎ ‎16. 解:∵f（x）=x3－x2,∴f'（x0）=3x02－2x0. 由f'（x0）=f（x0）,得3x02－2x0=x03－x02,‎ 即x03－4x02+2x0=0. 所以x0=0或x0=2±.‎ ‎17. 解:∵y'=（）'==,∴y'|x=1=－.‎ ‎18. 解:∵y===, ∴y'=.‎ ‎§3.3导数在研究函数中的应用 经典例题：解：(1) ‎ 由题意得: ‎ ‎(2) 由(1)得 由得:或 的递增区间是; 的递减区间是.‎ ‎ ‎ 当堂练习：‎ ‎1.D; 2.B; 3.D; 4.B; 5.C; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.C; 11. ; 12. ; 13. ;14.-3;‎ ‎15. 解: (1) 令或 所以函数的单调递减区间为, .‎ ‎(2) 因为 ‎ 所以. 因为在上, 所以在上单调递增, 又由于 在上单调递减, 因此和分别是在区间上的最大值和 最小值, 于是有. 故 因此, 即函数在区间上的最小值为.‎ ‎16. 解: (1) 由的图象经过P,知, 所以 ‎.即 由在处的切线方程是, 知 ‎,‎ 故所求的解析式是 ‎ ‎(2) 令即 解得 当 当 故在内是增函数, 在内是减函数, ‎ 在内是增函数.‎ ‎17. 解: (1) ‎ 当时, y的极值为3..‎ ‎(2) 令 令或 y在上为单调增函数;‎ y在上为单调减函数.‎ ‎18. 解: 令得或.‎ ‎∵当或时, ∴在和上为增函数,‎ 在上为减函数, ∴在处有极大值, 在处有极小值.‎ 极大值为, 而, ∴在上的最大值为7.‎ 若对于任意x都有成立, 得m的范围 .‎ ‎§3.4生活中的优化问题 经典例题： 分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.‎ 解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),00. ‎ 因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. ‎ ‎(1)半径为‎6 cm时,利润最大. ‎ ‎(2)半径为‎2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. ‎ 当堂练习：‎ ‎1.A; 2.A; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.A; 9.B; 10.D; 11. 7; 12. (,+∞); 13. (0,);14. 11;‎ ‎15. 解 ∵函数y=ax与y=-在区间（0，+∞)上是减函数，‎ ‎∴a<0,b<0. ‎ 由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.‎ 令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴0. ‎ 因此当x∈(-∞,)时，函数为减函数;‎ x∈(0,+∞)时，函数也为减函数.  ‎16. 分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力.‎ 解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000, ‎ b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0,‎ b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,‎ 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. ‎ ‎(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,‎ 由-2 000t+10 000<0,得t>5, ‎ 即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少. ‎ ‎17. 分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可.‎ 解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+‎4a,‎ ‎∴f′(x)=3x2-2ax-4. ‎ ‎(2)由f′(-1)=0,得a=. ‎ 此时有f(x)=(x2-4)(x-),‎ ‎∴f′(x)=3x2-x-4.‎ 由f′(x)=0,得x=或x=-1. ‎ 又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0, ‎ ‎∴f(x)在［-2,2］上的最大值为,最小值为. ‎ ‎18. 分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.‎ 解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. ‎ 依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］ ‎ ‎=-6x2+108x+378‎ ‎=-6(x-9)2+864(1≤x≤10), ‎ 显然,当x=9时,ymax=864(元),‎ 即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. ‎ 解法二 由上面解法得到y=-6x2+108x+378.‎ 求导数,得y′=-12x+108.‎ 令y′=-12x+108=0,‎ 解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.‎ ‎§3.5导数及其运用单元测试 ‎1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. ; 12.; 13. ;14. ;‎ ‎15、(I)解：‎ 令 得 ‎ 若 则，‎ 故在上是增函数，在上是增函数 ‎ 若 则，故在上是减函数 ‎ ‎(II) ‎ ‎16、解：（Ⅰ）当,化为 故，满足（Ⅰ）条件的集合为 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 要使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，必须，‎ ‎ 即 ，但时，为常函数，所以 ‎ ‎17、.解:（I） ‎ ‎ （II）因 ‎ ‎ 又由（I）知 ‎ ‎ 代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 ‎ ‎ ‎18、.解：（1）由条件知 ‎ ‎ ‎ （2）‎ x ‎－3‎ ‎(－3,－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ ‎6‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由上表知，在区间[－3，3]上，当时，时，‎ ‎19、解:（Ⅰ） ‎ ‎∴当，‎ ‎∴的单调递增区间是，单调递减区间是 当；当 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知图象的大致形状及走向（图略）‎ ‎∴当的图象有3个不同交点，‎ 即方程有三解（‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎∵上恒成立 令，由二次函数的性质，上是增函数，‎ ‎∴∴所求k的取值范围是 ‎ 选修1-1综合测试 ‎1.B; 2.C; 3.D; 4.A; 5.C; 6.B; 7.C; 8.A; 9.C; 10.A; 11. ; 12. 充分不必要; 13. （2）;14. ;‎ ‎15.‎ ‎16(1)在 上为单调递增区间,在上为单调递减区间.‎ ‎(2)x=1时,y=,x=时,y=‎ ‎17．解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，‎ ‎①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由 得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－y1+y2=，‎ 由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），‎ 即：‎ 消去k得：4x2+y2－y=0 ‎ 当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0。‎ ‎18.‎ ‎ ‎