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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生考试(辽宁卷)
数 学(供文科考生使用)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x},B={x}},则AB=
A.{x} B.{x}
C.{x} D.{x}
2.为虚数单位,
A.0 B.2 C. D.4
3.已知向量,,,则
A. B. C.6 D.12
4.已知命题P:n∈N,2n>1000,则P为
A.n∈N,2n≤1000 B.n∈N,2n>1000
C.n∈N,2n≤1000 D.n∈N,2n<1000
5.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为
A.2 B.4 C.8 D.16
6.若函数为奇函数,则a=
A. B. C. D.1
7.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为
A. B.1 C. D.
8.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图
如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是
A.4 B. C.2 D.
9.执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P是
A.8
B.5
C.3
D.2
10.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,
∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为
A. B.
C. D.
11.函数的定义域为,,对任意,,
则的解集为
A.(,1) B.(,+)
C.(,) D.(,+)
12.已知函数=Atan(x+)(),y=的
部分图像如下图,则
A.2+ B.
C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为___________.
14.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.
15.Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=____________.
16.已知函数有零点,则的取值范围是___________.
三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(I)求;
(II)若c2=b2+a2,求B.
18.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)证明:PQ⊥平面DCQ;
(II)求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值.
19.(本小题满分12分)
某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(I)假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率;
(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数.
20.(本小题满分12分)
设函数=x+ax2+blnx,曲线y=过P(1,0),且在P点处的切斜线率为2.
(I)求a,b的值;
(II)证明:≤2x-2.
21.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(I)设,求与的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(I)证明:CD//AB;
(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=时,l与C1,C2的交点为
A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数=|x-2|x-5|.
(I)证明:≤≤3;
(II)求不等式≥x2x+15的解集.
参考答案
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题不给中间分.
一、选择题
1. 【解析】选D.利用数轴可以得到AB={x}{x}={x}
2. 【解析】选A,
3. 【解析】选D.因为,所以.
又,所以,得.
4. 【解析】选A.特称命题的否定是全称命题,“>”的否定是“≤”,故正确答案是A.
5. 【解析】选B.设等比数列{an}的公比为,∵anan+1=16n,∴an+1an+2=16n+1,
∴
6. 【解析】选A.∵ 函数为奇函数,
∴,解得.
7. 【解析】选C.设 A,B两点的横坐标分别为m,n,则由及抛物线的定义可知,∴即线段AB的中点到y轴的距离为
8. 【解析】选B.设棱长为,由体积为可列等式,,
所求矩形的底边长为,这个矩形的面积是
9. 【解析】选C,若输入n=4,则执行s=0,t=1,k=1,p=1,判断1<4成立,进行第一次循环;p=2,s=1,t=2,k=2,判断2<4成立,进行第二次循环;p=3,s=2,t=2,k=3,判断3<4成立,进行第三次循环;p=4,s=2,t=4,k=4,判断4<4不成立,故输出p=4
10. 【解析】选C,设球心为,则是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高,斜边故,且有,.
∴=.
11. 【解析】选B。设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= .因为对任意,,所以对任意,g’(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0,故g(x)>0,即f(x)>2x+4的解集为(-1,+).
12. 【解析】选B.如图可知,即,所以,再结合图像可得,即,所以,只有,所以,又图像过点(0,1),代入得Atan=1,所以A=1,函数的解析式为f(x)=tan(2x+),则f()= tan=.
答案:
二、填空题
13.
【解析】直线AB的斜率是kAB=,中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程,由得圆心坐标C(2,0),r=|AC|=
,故圆的方程为。
14.0.254
【解析】由于,当x增加1万元时,年饮食支出y增加0.254万元.
15.—1
【解析】设等差数列的公差为d,解方程组得d=-2,a5=a4+d=-1.
16.
【解析】函数有零点等价于 即有解. 等价于有解。令,∴。
当时,;当时,.
∴当时,取到最大值,∴的取值范围是.
三、解答题
17.解:(I)由正弦定理得,,即
故 ………………6分
(II)由余弦定理和
由(I)知故
可得 …………12分
18.解:(I)由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分
(II)设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高,所以棱锥Q—ABCD的体积
由(I)知PQ为棱锥P—DCQ的高,而PQ=,△DCQ的面积为,
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
19.解:(I)设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地中的两小块地编号为3,4,
令事件A=“第一大块地都种品种甲”.
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个;
(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
而事件A包含1个基本事件:(1,2).
所以 ………………6分
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
………………10分
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.
20.解:(I) …………2分
由已知条件得
解得 ………………5分
(II),由(I)知
设则
而 ………………12分
21.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设
设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得
………………4分
当表示A,B的纵坐标,可知
………………6分
(II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即
解得
因为
所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;
当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分
22.解:
(I)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA,
所以CD//AB. …………5分
(II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE,
又CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A,B,G,F四点共圆 …………10分
23.解:
(I)C1是圆,C2是椭圆.
当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.
(II)C1,C2的普通方程分别为
当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为
当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此,
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分
24.解:
(I)
当
所以 ………………5分
(II)由(I)可知,
当的解集为空集;
当;
当.
综上,不等式 …………10分