高考数学题分类汇编3函数与导数 28页

2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第 3 部分:函数与导数 一、选择题: 1．（2010 年高考山东卷文科 3）函数    2log 3 1xf x   的值域为 A.  0, B. 0, C.  1, D. 1, 【答案】A 【解析】因为3 1 1x   ，所以    2 2log 3 1 log 1 0xf x     ，故选 A。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 2 ． （ 2010 年 高 考 山 东 卷 文 科 5 ） 设 ( )f x 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 0x  时 ， ( ) 2 2xf x x b   （b 为常数），则 ( 1)f   （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 【答案】A 【解析】因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 0f(0)=2 +2 0+b=0 ,解得 b=-1,所以 当 x 0 时, xf(x)=2 +2x-1,即 f(-1)=-f(1)= 12 +2 1-1 =-3-（ ） ,故选 D. 【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 3．（2010 年高考山东卷文科 8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单 位：万件）的函数关系式为 31 81 2343y x x    ，则使该生产厂家获得最大年利润的年 产量为 （A）13 万件 (B)11 万件 (C) 9 万件 (D)7 万件 【答案】C 【解析】令导数 ' 2 81 0y x    ，解得 0 9x  ；令导数 ' 2 81 0y x    ，解得 9x  ， 所以函数 31 81 2343y x x    在区间 (0,9) 上是增函数，在区间 (9, ) 上是减函数，所 以在 9x  处取极大值，也是最大值，故选 C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。 4．（2010 年高考山东卷文科 10）观察 2 '( ) 2x x ， 4 ' 3( ) 4x x ， '(cos ) sinx x  ，由归 纳推理可得：若定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数， 则 ( )g x = （A） ( )f x (B) ( )f x (C) ( )g x (D) ( )g x 【答案】D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数 ( )f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数， 因为定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x  ，即函数 ( )f x 是偶函数，所以它的导函数 是奇函数，即有 ( )g x = ( )g x ，故选 D。 【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。 5．（2010 年高考山东卷文科 11）函数 22xy x  的图像大致是 【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - 2x =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - 2x = 1 4<04  ， 故排除 D，所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力。 6．（2010 年高考天津卷文科 4）函数 f（x）= 2xe x  的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C 【解析】因为 0(0) 2 1 0f e     ， 1(1) 1 2 1 0f e e      ，所以选 C。 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。 7．（2010 年高考天津卷文科 6）设 5 5 4a log 4 b log c log  2 5， （ 3）， ，则 (A)a0 f     （ 的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】当 0x  时，令 2 2 3 0x x   解得 3x   ； 当 0x  时，令 2 ln 0x   解得 100x  ，所以已知函数有两个零点，选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 10 ． (2010 年 高 考 北 京 卷 文 科 4) 若 a,b 是 非 零 向 量 ， 且 a b ， a b ， 则 函 数 ( ) ( ) ( )f x xa b xb a    是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 11．(2010 年高考北京卷文科 6)给定函数① 1 2y x ，② 1 2 log ( 1)y x  ，③ | 1|y x  ，④ 12xy  ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 12．(2010 年高考江西卷文科 4)若函数 4 2( )f x ax bx c   满足 '(1) 2f  ，则 '( 1)f   A． 1 B． 2 C．2 D．0 【答案】B 【命题意图】本题考查函数与导数。 【解析】 ' 3( ) 4 2 ,f x ax bx  则此函数为奇函数，所以 ' '( 1) (1) 2f f     。 13．(2010 年高考江西卷文科 8)若函数 1 axy x   的图像关于直线 y x 对称，则 a 为 A．1 B． 1 C． 1 D．任意实数 14. (2010 年高考浙江卷文科 2)已知函数 1( ) log ( 1),f x x  若 ( ) 1,f    = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析： +1=2，故 =1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 15. (2010 年高考浙江卷文科 9)已知 x 是函数 f(x)=2x+ 1 1 x 的一个零点.若 1x ∈（1， 0x ）， 2x ∈（ 0x ，+  ），则 （A）f( 1x )＜0，f( 2x )＜0 （B）f( 1x )＜0，f( 2x )＞0 （C）f( 1x )＞0，f( 2x )＜0 （D）f( 1x )＞0，f( 2x )＞0 解析：选 B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题 16．(2010 年高考安徽卷文科 6)设 0abc  ,二次函数 2( )f x ax bx c   的图像可能是 【答案】D 【解析】当 0a  时，b 、c 同号，（C）（D）两图中 0c  ，故 0, 02 bb a    ，选项（D） 符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 0a  或 0a  两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 17．(2010 年高考安徽卷文科 7)设 2 3 2 5 5 53 2 2 5 5 5a b c  （ ）, （ ）， （ ），则 a，b，c 的大小关系 是 （A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 【答案】A 【解析】 2 5y x 在 0x  时是增函数，所以 a c ， 2( )5 xy  在 0x  时是减函数，所以 c b 。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 18．（2010 年高考上海卷文科 17）若 0x 是方程式 lg 2x x  的解，则 0x 属于区间 [答]（ ） （A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 解析： 04 1 4 7lg)4 7()75.1(,2lg)(  ffxxxf 由构造函数 02lg)2( f 知 0x 属于区间（1.75，2） 19．（2010 年高考辽宁卷文科 10）设 2 5a b m  ，且 1 1 2a b   ，则 m  （A） 10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选 A. 21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b        又 0, 10.m m   20．（2010 年高考辽宁卷文科 12）已知点 P 在曲线 4 1xy e   上， 为曲线在点 P 处的切 线的倾斜角，则 的取值范围是 (A)[0, 4  ) (B)[ , )4 2   （C） 3( , ]2 4   (D) 3[ , )4   解析：选 D. 2 4 4 12 1 2 x x x x x ey e e e e         ， 1 2, 1 0x xe ye      ， 即 1 tan 0   ， 3[ , )4    21. (2010 年高考宁夏卷文科 4)曲线 2y 2 1x x   在点（1,0）处的切线方程为 （A） 1y x  （B） 1y x   （C） 2 2y x  （D） 2 2y x   【答案】A 解析： 23 2y x   ，所以 1 1xk y   ，所以选 A． 22. (2010 年高考宁夏卷文科 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x  0），则   2 0x f x   = （A） 2 4x x x  或 （B） 0 4 x x x 或 （C） 0 6 x x x 或 （D） 2 2 x x x  或 【答案】B 解析：当 0x  时， ( ) 2 4 0 2xf x x     ，又由于函数是偶函数，所以 x R 时， ( ) 0f x  的解集为{ 2x x   或 2}x  ，故 ( 2) 0f x   的解集为{ 0x x  或 4}x  ． 另解：根据已知条件和指数函数 2xy  的图像易知 ( ) 2 4 0xf x    的解集为{ 2x x   或 2}x  ，故 ( 2) 0f x   的解集为{ 0x x  或 4}x  ． 23. (2010 年高考宁夏卷文科 12)已知函数 f(x)= lg 1,0 10 1 6, 02 x x x x         若 a，b，c 均不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，则 abc 的取值范围是 （A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24) 【答案】C 解 析 ： 不 妨 设 a b c  ， 取 特 例 ， 如 取 1( ) ( ) ( ) 2f a f b f c   ， 则 易 得 1 1 2 210 , 10 , 11a b c     ，从而 11abc  ，选 C． 另解：不妨设 a b c  ，则由 ( ) ( ) 1f a f b ab   ，再根据图像易得10 12c  ，故选 C． 24．（2010 年高考广东卷文科 2）函数 )1lg()(  xxf 的定义域是 A. ),2(  B. ),1(  C. ),1[  D. ),2[  解： 01 x ，得 1x ，选 B. 25. （2010 年高考广东卷文科 3）若函数 xxxf  33)( 与 xxxg  33)( 的定义域均为 R，则 A. )(xf 与 )(xg 与均为偶函数 B. )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数 C. )(xf 与 )(xg 与均为奇函数 D. )(xf 为偶函数， )(xg 为奇函数 解:由于 )(33)( )( xfxf xx   ,故 )(xf 是偶函数,排除 B、C 26．（2010 年高考重庆卷文科 4）函数 16 4xy   的值域是 （A）[0, ) （B）[0,4] （C）[0,4) （D） (0,4) 【答案】C 【解析】  4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x        . 27．（2010 年高考陕西卷文科 10）某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y＝[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为 [B] （A）y＝[ 10 x ] （B）y＝[ 3 10 x  ] （C）y＝[ 4 10 x  ] （D）y＝[ 5 10 x  ] 【答案】B 【解析】（方法一）当 x 除以10 的余数为 6,5,4,3,2,1,0 时，由题设知     10 xy ，且易验证 知此时         10 3 10 xx ,当 x 除以10的余数为 9,8,7 时，由题设知 110     xy ，且易验证 知此时         10 3110 xx ，故综上知，必有      10 3xy ,故选 B . 28．（2010 年高考陕西卷文科 7）下列四类函数中，个有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x) 满足 f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C] （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 【答案】C 29．（2010 年高考湖北卷文科 3）已知函数 3log , 0 ( ) 2 , 0x x x f x x    ，则 1( ( ))9f f  A.4 B. 1 4 C.-4 D- 1 4 【答案】B 【解析】根据分段函数可得 3 1 1( ) log 29 9f    ，则 21 1( ( )) ( 2) 29 4f f f     ， 所以 B 正确. 30．（2010 年高考湖北卷文科 5）函数 0.5 1 log (4 3) y x   的定义域为 A.( 3 4 ,1) B( 3 4 ,∞) C（1，+∞） D. ( 3 4 ,1)∪（1，+∞） 【答案】A 31．（2010 年高考湖南卷文科 8）函数 y=ax2+ bx 与 y= | | log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是 D 32．（ 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 10）设 1 2 3log 2, ln 2, 5a b c    则 （A） a b c  （B）b c a  (C) c a b  (D) c b a  10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3log 2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 2 2log 3 log 1e  ,所以 a1)的反函数是 （A）y= 1xe  -1(x>0) (B) y= 1xe  +1(x>0) (C) y= 1xe  -1(x R) (D）y= 1xe  +1 (x R) 【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数 Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴ 1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e        35．（2010 年高考四川卷文科 2）函数 y=log2x 的图象大致是 (A) (B) (C) (D) 解析：本题考查对数函数的图象和基本性质. 答案：C 36．（2010 年高考四川卷文科 5）函数 2( ) 1f x x mx   的图像关于直线 1x  对称的 充要条件是 （A） 2m   （B） 2m  （C） 1m   （D） 1m  解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的对称 轴为 x＝－ 2 m w 于是－ 2 m ＝1  m＝－2 答案：A 二、填空题： 1．（2010 年高考天津卷文科 16）设函数 f(x)=x- 1 x ,对任意 x [1, ），f(mx)+mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 【答案】 ( , 1)  【解析】因为对任意 x [1, )  ， f(mx)+mf(x)=2mx- 1 0m mx x   恒成立，所以 当 0m  时，有 2 2 22 1 0m x m   对任意 x [1, )  恒成立，即 2 22 1 1 0m m    ，解 得 2 1m  ，即 1m   ；当 0m  时，有 2 2 22 1 0m x m   对任意 x [1, )  恒成立，x 无 解，综上所述实数 m 的取值范围是 1m   。 【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。 2．(2010 年高考北京卷文科 14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ( )y f x ，则 ( )f x 的最小正周期为 ； ( )y f x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 。 说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正 方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心 顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 3．（2010 年高考上海卷文科 9）函数 3( ) log ( 3)f x x  的反函数的图像与 y 轴的交点坐 标是 (0,2) 。 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数 3( ) log ( 3)f x x  的反函数为 33  xy ，另 x=0，有 y=-2 法二：函数 3( ) log ( 3)f x x  图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 3( ) log ( 3)f x x  的反函数的图像与 y 轴的交点为（0，-2） 4．（2010 年高考陕西卷文科 13）已知函数 f（x）＝ 2 3 2, 1, , 1, x x x ax x      若 f（f（0））＝4a， 则实数 a＝ . 【答案】2 三、解答题： 1．（2010 年高考山东卷文科 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx      （I）当 1a   时，求曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程； （II）当 1 2a  时，讨论 ( )f x 的单调性. 【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力， 考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。 【解析】解：（Ⅰ） 当  )(1 xfa 时， ),,0(,12ln  xxxx 所以 )(' xf 因此， ，）（ 12 f 即 曲线 .1))2(2)( ，处的切线斜率为，在点（ fxfy  …………………… 又 ,22ln)2( f 所以曲线 .02ln ,2)22(ln))2(2)(   yx xyfxfy 即 处的切线方程为，在点（ （Ⅱ）因为 11ln)(  x aaxxxf ， 所以 2 11)(' x aaxxf  2 2 1 x axax  ),0( x ， 令 ,1)( 2 axaxxg  ),,0( x （1） 当 a=0 时，g(x)=-x+1，x∈（0，+∞）， 所以 当 x∈(0，1)时，g(x)>0，此时 f(x)<0，函数 f(x)单调递减 （2） 当 a≠0 时，由f(x)=0， 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 ① 当 a=1/2 时，x1= x2, g(x)≥0 恒成立，此时 f(x)≤0，函数 f(x)在（0，+∞） 上单调递减; ② 当 01>0 x∈(0，1)时，g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减 x∈(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时 f(x)0，此时 f(x)0,此时 f,(x)<0 函数 f(x)单调递减； x∈（1 ，∞）时，g(x)<0 此时函数 f,(x)<0 单调递增。 综上所述： 当 a≤ 0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当 00. （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间 1 1,2 2     上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围. 【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等 式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【解析】（Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= 3 23x x 12   ，f（2）=3；f’(x)= 23 3x x , f’(2)=6. 所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9. （Ⅱ）解：f’(x)= 23 3 3 ( 1)ax x x ax   .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= 1 a . 以下分两种情况讨论： （1） 若 1 10 a 2 a 2   ，则 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： X 1 02     ， 0 1 2      0， f’(x) + 0 - f(x)  极大值  当 1 1x f x2 2      ， 时， （ ）>0 等价于 5 a1 0,( ) 0, 82 1 5 a( ) 0, 0.2 8 f f            即 ， 解不等式组得-52，则 1 10 a 2   .当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X 1 02     ， 0 1 a      0， 1 a 1 1 a 2      ， f’(x) + 0 - 0 + f(x)  极大值  极小值  当 1 1x 2 2      ， 时，f（x）>0 等价于 1f(- )2 1f( )>0,a     >0, 即 2 5 8 11- >0.2 a a     >0, ，解不等式组得 2 52 a  或 2 2a   .因此 20 等价于 5 a1 0,( ) 0, 82 1 5 a( ) 0, 0.2 8 f f            即 解不等式组得-50,所以“ 3 2( ) 3 af x x bx cx d    在（-∞，+∞）内无极值点”等价于 “ 2( ) 2 0f x ax bx c     在（-∞，+∞）内恒成立”。 由（*）式得 2 9 5 , 4b a c a   。 又 2(2 ) 4 9( 1)( 9)b ac a a      解 0 9( 1)( 9) 0 a a a       得  1,9a 即 a 的取值范围 1,9 5．(2010 年高考江西卷文科 17)（本小题满分 12 分） 设函数    3 26 3 2 2f x x a x ax    ． （1）若  f x 的两个极值点为 1x ， 2x ，且 1 2 1x x  ，求实数 a 的值； （2）是否存在实数 a ，使得  f x 是 ,  上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不 存在，说明理由． 【答案】解： 2'( ) 18 6( 2) 2f x x a x a    （1）由已知有 1 2'( ) '( ) 0f x f x  ，从而 1 2 2 118 ax x   ，所以 9a  ； （2）由 2 236( 2) 4 18 2 36( 4) 0a a a         ， 所以不存在实数 a ，使得 ( )f x 是 ( , )  上的单调函数． 6. (2010 年高考浙江卷文科 21)（本题满分 15 分）已知函数 2( ) ( )f x x a  （a-b） ( , ,a b R a 0), 由已知得 x =alnx， 1 2 x = a x ， 解德 a= 2 e ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f’(e2)= 1 2e , 切线的方程为 y-e= 1 2e (x- e2). （2）由条件知 Ⅰ 当 a.>0 时，令 h ' (x)=0,解得 x= 24a , 所以当 0 < x< 24a 时 h ' (x)<0，h(x)在（0， 24a ）上递减； 当 x> 24a 时，h ' (x)>0，h(x)在（0， 24a ）上递增。 所以 x> 24a 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值 点。 所以Φ （a）=h( 24a )= 2a-aln 24a =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a) 则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1 也是Φ（a）的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1 12．（2010 年高考湖北卷文科 21）（本小题满分 14 分） 设函数 3 21 ax x bx c3 2f   （x）= ，其中 a＞0，曲线 xy f （ ）在点 P（0， 0f（ ）） 处的切线方程为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值 （Ⅱ）设曲线 xy f （ ）在点（ 1 1x xf，（ ））及（ 2 2x xf，（ ））处的切线都过点（0,2） 证明：当 1 2x x 时， 1 2'( ) '( )f x f x （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 xy f （ ）的三条不同切线，求 a 的取值范围。 13．（2010 年高考湖南卷文科 21）（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax      其中 a<0,且 a≠-1. （Ⅰ）讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）设函数 3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1 ( ), 1 ( ) { xx ax ax a a e x e f x x g x          （e 是自然数的底数）。 是否存在 a，使 ( )g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围； 若不存在，请说明理由。 14．（ 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数 4 2( ) 3 2(3 1) 4f x ax a x x    （I）当 1 6a  时，求 ( )f x 的极值; （II）若 ( )f x 在 1,1 上是增函数，求 a 的取值范围 解：（Ⅰ）     24 1 3 3 1f x x ax ax     当 1 6a  时，   22( 2)( 1)f x x x    ， ( )f x 在 ( , 2)  内单调减，在 2  （ ， ）内单调 增，在 2x   时， ( )f x 有极小值. 所以 ( 2) 12f    是 ( )f x 的极小值. 15．（2010 年高考全国卷Ⅱ文科 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=x 3 -3ax 2 +3x+1。 （Ⅰ）设 a=2，求 f（x）的单调期间； （Ⅱ）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识。 （1）求出函数的导数，由导数大于 0，可求得增区间，由导数小于 0，可求得减区间。 （2）求出函数的导数 ( )f x ，在（2，3）内有极值，即为 ( )f x 在（2，3）内有一个零点， 即可根据 (2) (3) 0f f   ，即可求出 A 的取值范围。 16．（2010 年高考四川卷文科 22）（本小题满分 14 分） 设 1 1 x x af ( x ) a   （ 0a  且 1a  ），g(x)是 f(x)的反函数. （Ⅰ）求 ( )g x ； （Ⅱ）当 [2,6]x 时，恒有 2( ) log ( 1)(7 )a tg x x x    成立，求 t 的取值范围； （Ⅲ）当 0＜a≤1 2 时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 4n  的大小，并说明理由.