高考数学新课标1卷理科试卷 精美解析版 11页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）‎ 理科数学 本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎1．【解析】，则，选C．‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．【解析】，故选B．‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ ‎6%‎ ‎4%‎ ‎30%‎ ‎60%‎ 第三产业收入 其他收入 养殖收入 种殖收入 建设前经济收入构成比例 ‎28%‎ ‎5%‎ ‎30%‎ ‎37%‎ 第三产业收入 其他收入 养殖收入 种殖收入 建设后经济收入构成比例 则下面的结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A．‎ ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．【解析】令的公差为，由，得，则，故选B．‎ ‎5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．【解析】，，则，则，，所以，在点处的切线方程为，故选D．‎ ‎6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ A B C D E ‎6．【解析】，‎ 则，故选A．‎ A B ‎7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．‎ 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面 上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，‎ 从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ N(B)‎ M N ‎2‎ ‎16‎ ‎4‎ M(A)‎ ‎7．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点到点的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为，故选B．‎ ‎8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．【解析】由方程组，解得或，不妨记．又为，所以，故选D．‎ ‎9．已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ y x O ‎1‎ ‎1‎ y=lnx y=ex ‎9．【解析】若存在2个零点，即有2个不同的实数根，即与的图像有两个交点，由图可知直线不在直线的上方即可，即，则．故选C．‎ ‎10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（ ）‎ B C A A． B． C． D．‎ ‎10．【解析】令角分别对应的边长为，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ对应的面积分别为．则；；，因为，所以．所以，故选A．‎ ‎11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，（ ）‎ A． B． C． D．‎ y x O M N F ‎11．【解析】如图所示，不妨记，为，渐近线为，所以，则，故选B．‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．【解析】正方体中，连接顶点，三棱锥为正三棱锥，侧棱与底面所成的角都相等，所以正方体的每条棱与平面所成的角均相等，不妨令平面平面．易知，当平面截得正方体的截面为如图所示的平行六边形时截面的面积可以取到最大值．不妨取，则，，且，等腰梯形、的高分别为和，所以 ‎．‎ 当时，截面面积的最大值为．故选A．‎ M N P Q A B C D E F F A B C E D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若满足约束条件，则的最大值为 ．‎ y x A B C O ‎－1‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎13．【解析】可行域为及其内部，当直线经过点时，．‎ ‎14．记为数列的前项和．若，则 ．‎ ‎14．【解析】由得，当时，，即，所以是等比数列，．‎ ‎15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）‎ ‎15．【解析】恰有1位女生的选法有种，恰有2位女生的选法有种，所以不同的选法共有16种．‎ ‎16．已知函数，则的最小值是 ．‎ ‎16．【解析】因为是奇函数，且，即周期为，所以只需要研究在上的图像．又，则在上的极值点为，因为，所以．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 在平面四边形中，，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎17．【解析】（1）如图所示，在中，由正弦定理，‎ A B C D 得，‎ ‎，为锐角，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ 若，‎ 则在中，由余弦定理，‎ 得．‎ A B P C F E D ‎18．（12分）‎ 如图，四边形为正方形，分别为的中点，‎ 以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．【解析】（1）证明：四边形为正方形，分别为的中点，‎ A B P C F E D O 且，‎ ‎，平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎（2）方法1：由（1）知平面，，‎ ‎，．‎ 令正方形的边长为2，‎ ‎，．‎ 作交于点，连接，‎ 由（1）知平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，斜线在平面内的射影为，‎ 等于与平面所成的角．‎ ‎，，即且，‎ 在中，．‎ 在中，，即与平面所成角的正弦值为．‎ 方法2：作交于点，连接，‎ 由（1）知平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，斜线在平面内的射影为，‎ 等于与平面所成的角，‎ 令正方形的边长为2，，‎ 则，，，‎ 由得，解得．‎ ‎，，则，即与平面所成角的正弦值为．‎ A B P C F E D O x y z 方法3：作交于点，‎ 由（1）知平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 令正方形的边长为2，，‎ 则 ‎，，‎ 即，‎ 即，解得．‎ 所以，‎ 易知平面的一个法向量为，故，‎ 即与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．（12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：．‎ y x A B O F M ‎19．【解析】（1）右焦点为，当与轴垂直时有，则为或，‎ 直线的方程为：或；‎ ‎（2）方法1：令直线的斜率分别为，‎ ‎①当与轴重合时有，所以；‎ ‎②当与轴不重合时，令，‎ 由得，则，‎ 因为，‎ 所以，即直线的倾斜角互补，得．‎ 综合①②所述，得．‎ 方法2：令直线的斜率分别为，‎ ‎①由（1）知，当与轴垂直时有，即直线的倾斜角互补，得；‎ ‎②当不与轴垂直时，令，‎ 由得，则，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即直线的倾斜角互补，得．‎ 综合①②所述，得．‎ ‎20．（12分）‎ 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．‎ ‎（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；‎ ‎（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎20．【解析】（1）由n次独立重复事件的概率计算得，‎ 且，‎ 时，得．‎ 又当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ 所以是在上唯一的极大值点，也是最大值点，即．‎ ‎（2）（ⅰ）已检验的20件产品的检验费用为元．‎ 该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布，估计不合格品件数为，‎ 若不对该箱余下的产品作检验，余下的产品的赔偿费用估计为元．‎ 所以，若不对该箱余下的产品作检验，则．‎ ‎（ⅱ）若对该箱余下的产品都作检验，则只需支付检验费用，．‎ 因为，所以应该对这箱余下的所有产品都作检验．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：．‎ ‎21．【解析】（1）‎ 令，．‎ ‎①时，，恒成立，‎ 所以在定义域上始终单调递减．‎ ‎②或时，．‎ 由即解得，且．‎ 时，，恒成立，所以在定义域上始终单调递减．‎ 时，，‎ 在上，单调递减；在上，单调递增．‎ 综上所述，时，在定义域上始终单调递减；‎ 时，在上递减，在上递增．‎ ‎（2）证明：方法1：由（1）知时存在两个极值点，且．‎ 欲证明等价于证明．‎ 即证明，其中是方程的两个根．‎ 令，则满足，即．‎ ‎，，在上为减函数．‎ 因为，所以，即，得证．‎ 方法2：由（1）知，，，从而有．‎ ‎，‎ 要证明等价于证明，即证明．‎ ‎，只需证明，即证明成立即可．‎ 令，‎ 则，在上为减函数．‎ 所以，根据，证得成立，得证．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎22．【解析】（1），‎ 所以的直角坐标方程为；‎ x O ‎2‎ y ‎（2）曲线：，其图像是关于轴对称且以为端点的两条射线．‎ ‎：，其图像是以为圆心，半径为2的圆．‎ 若与有且仅有三个公共点，‎ 则且与相切(如图)．‎ 由且，解得，则的方程为：．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎23．【解析】（1）当时，，则 时，，则无解；‎ 时，，则的解集为；‎ 时，，则的解集为．‎ 综上所述，所求解集为．‎ ‎（2）时不等式成立，即，则成立．‎ 所以．‎ 因为时，有，所以．‎