高考数学一轮复习共87节201曲线与方程求曲线的方程 9页

第二部分 （理科加试内容）‎ ‎20、曲线与方程 ‎20．1 曲线与方程 求曲线的方程 ‎【知识网络】‎ ‎1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义．‎ ‎2．体会曲线与方程的对应关系．．‎ ‎3．进一步感受数形结合的基本思想．‎ ‎【典型例题】‎ ‎[例1]（1）圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎（2）已知两点M（1，），N（－4，－），给出下列曲线方程：‎ ‎①4x＋2y－1=0 ②x2＋y2=3 ③＋y2=1 ④＋y2=1‎ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是 （ ）‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④‎ ‎（3）条件A：曲线C上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上．则A与B关系是（ ）‎ A．A是B的充分不必要条件 B．A是B的必要不充分条件 C．A是B的充要条件 D．A既不是B的充分条件也不是B的必要条件 ‎（4）已知曲线C：xy＋2x－ky＋3=0经过点（－1，2），则k=．‎ ‎（5）点（m,n)在圆x2＋y2－2x＋4y=0外，则m，n满足的条件是．‎ ‎[例2]求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．‎ ‎[例3] 已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a，t)，F(a,0),其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点M满足=0，且∣∣=∣∣+2．‎ ‎（1）求动点M的轨迹；‎ ‎（2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S，T，求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上．‎ ‎[例4]已知点P(-3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足 （1） 当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；‎ （1） 设轨迹C的准线为l，焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n，且nl=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．‎ ‎【课内练习】‎ ‎1．方程表示的图形是（ ）‎ A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对．‎ ‎2．下列各组方程中表示同一曲线的是 （ ）‎ A．x2=y与x=B．y－2x＋1=0与 C．y=|x|与x2－y2=0 D．y－1=与y2＋x－xy＋1=0‎ ‎3．到x轴y轴距离之积等于常数k（k＞0）的点的轨迹所在象限是（ ）‎ A．一、三象限 B．二、四象限 C．第一象限 D．第一、二、三、四象限 ‎4．长为m的一条线段AB，其两段分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，则线段的中点轨迹是 （ ）‎ A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．一个以原点为圆心半径为的圆．‎ ‎5． 到两定点（1，0），（－1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是． 6．已知动抛物线以x轴为准线，且经过点（0，1），则抛物线的焦点的轨迹方程是．‎ ‎7．椭圆上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于．‎ ‎8．已知动点P到定点(－3，0)的距离比它到直线x－1=0的距离大2，求动点P的轨迹方程．‎ ‎9．抛物线y2=2px(p＞0)有一内接直角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x，斜边长为5，求抛物线的方程．‎ ‎10．已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且 的最小值为．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程； ‎ ‎（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．‎ ‎20．1 曲线与方程 求曲线的方程 A组 ‎1．方程表示的图形是 （ ）‎ A．一条直线 B．两条平行线段 C．一个正方形 D．一个正方形（除去四个顶点）‎ ‎2．已知线段AB=2，动点M到A，B两点的距离的平方差是10，则动点的轨迹是（ ）‎ A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线 ‎3．已知直角△ABC的斜边BC的两个端点分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动，顶点A和原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是 （ ）‎ A．线段 B．射线 C．一段圆弧 D．一段抛物线 ‎4．抛物线y2=6x的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是．‎ ‎5．点Q是双曲线x2－4y2=16上任意一点，定点A（0，4），则内分所成比为的点P的轨迹方程是．‎ ‎6．已知动圆过点F1（－5，0）且与定圆x2＋y2－10x－11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎7．已知常数。经过原点O以为方向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于P，其中。试问：是否存在两个定点E、F，使得为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎8．A、B是两个定点，且|AB|=8，动点M到A点的距离是10，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）试求P点的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线mx－y－‎4m=0(m∈)与点P所在曲线C交于弦EF，当m变化时，试求 ‎△AEF的面积的最大值.‎ B组 ‎1．已知点P（x,y)在以原点为圆心的的单位圆上运动，则点Q（x＋y,xy)的轨迹是（ ）‎ A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 ‎2．点P与两定点F1（－a,0),F2(a,0)（a＞0)的连线的斜率乘积为常数k，当P点的轨迹是离心率为2的双曲线时，k的值是（ ）‎ A．3 B． C．± D．4‎ ‎3．方程表示的曲线是（ ）‎ A． 直线 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线 ‎4．过点M（－2，0）作直线l交双曲线x2－y2=1于A，B两点，以OA，OB为一组邻边作□OAPB，则P点的轨迹方程是．‎ ‎5．从直线y=x上一点P引抛物线y=x2＋1的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB中点的轨迹方程是．‎ ‎6．已知两个定点A，B距离是6，动点M满足∠MBA=2∠MAB，求动点M的轨迹方程．‎ ‎7．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=‎4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎8．已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab．请针对椭圆，求解下列问题：‎ ‎（1）若m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆内的概率以及点P落在椭圆上的概率．‎ ‎（2）若m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆外的概率以及点P落在椭圆上的概率．‎ ‎20．1 曲线与方程 求曲线的方程 ‎【典型例题】‎ 例1、D．提示：过抛物线的焦点（，0）作x轴的垂线，与抛物线的交点即为圆心，半径是1．‎ ‎（2）D．提示：看MN的中垂线与曲线有没有公共点．‎ ‎（3）D．提示：联想曲线方程的定义．‎ ‎（4）－．提示：坐标代入．‎ ‎（5）m2＋n2－‎2m＋4n＞0．提示：（m,n)到圆心的距离大于半径．‎ 例2、以两不同定点A，B所在的直线为x轴，ＡＢ的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．设Ｐ（x,y）是轨迹上任一点，A(-a,0)，B(a,0)，（a＞０）．‎ 由题设得，即 ，‎ ‎∴ 当时，方程x=0表示一条直线．‎ 当时，方程为，表示一个圆．‎ 所以当时，点的轨迹是一条直线；当时，点的轨迹是一个圆．‎ 例3、 (1)∵=0 ∴ 又∣∣=∣∣+2‎ ‎∴M在以F为焦点,x=-a为准线的抛物线上 ∴动点M的轨迹方程：y2=4ax ‎（2）证明：过S、T分别作准线x=-a的垂线，垂足分别为S1、T1，设S(x1,y1)，T(x2,y2)‎ 则∣SF∣+∣TF∣=∣SS1∣+∣TT1∣= x1+x2+‎‎2a 由得x2+(‎2a-8)x+a(a+8)=0 ∴x1+x2=8‎‎-2a ‎∴∣SF∣+∣TF∣=8‎ 即∣SF∣+∣TF∣=∣CS∣+∣CT∣∴C落在以S、T为焦点，且过F的椭圆上．‎ 例4、（1）设点M的坐标为(x,y)，则由得A(0,-)‎ 得(3,)=0y2=4x ‎∴所求动点M的轨迹C的方程：y2=4x ‎(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，对称轴为x轴，‎ ‎①当直线m的倾角为90º时，直线m的方程为x=1，代入y2=4x，得y=±2，H(1,2),G(1,-2),n∩l=E(-1,-2),显然E，O，H三点共线．‎ ‎②当直线的倾角不为90º时，直线m的方程为y=k(x-1)，代入y2=4x，得y2-y-4=0‎ 设H、G的坐标分别为()，()，则y1y2=-4．‎ ‎∴nl=E(-1,y2)‎ ‎∴y2), ‎∵-y2-y2=-y2+y2=0‎ ‎∴E，O，H三点共线．‎ ‎【课内练习】‎ ‎1．C． 提示：将问题转化成一个方程组．‎ ‎2．D．提示：注意：变量的取值范围．‎ ‎3．D．提示：取一个具体的k=1，画图观察．‎ ‎4．B．提示：动点移动有范围．‎ ‎5．3x2＋3y2－10x＋3=0．提示：直接设动点坐标建立方程并化简．‎ ‎6．x2＋y2－2y=0(y≠0)．提示：用抛物线定义．‎ ‎7．8－．提示：联想椭圆的两个定义．‎ ‎8．由已知动点P到定点(－3，0)的距离等于到定直线x=3‎ 的距离，根据抛物线定义，P点的轨迹是以(－3，0)为焦点，x=3为准线的抛物线． ‎ 故P点轨迹方程为：y2=－12x．‎ ‎9．由得，由得交点坐标为（8p,－4,p),用勾股定理得p2=,因p＞0，故抛物线的方程是 ‎10．(1)由题意，设（），由余弦定理 得．‎ 又·，‎ 当且仅当时，· 取最大值，‎ 此时取最小值，令，解得 ，，∴，故所求的轨迹方程为．‎ ‎（2）设，，则由，可得 ，故， ‎ ‎∵、在动点的轨迹上，故且，‎ 消去可得，解得，‎ 又，∴，解得，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎20．1 曲线与方程 求曲线的方程 A组 ‎1．D．提示：注意：字母的取值范围．‎ ‎2．A．提示：建立坐标系设动点的坐标，求轨迹方程．‎ ‎3．A．提示：用参数法．设角为参数．‎ ‎4．y=(x＞)．提示：参数法求轨迹．‎ ‎5．．提示：用定比分点及坐标转移法．‎ ‎6．根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点．根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程．‎ 故所求轨迹方程为： ‎7．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.‎ ‎∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.‎ 因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .‎ 消去参数λ，得点的坐标满足方程.‎ 整理得……① 因为所以得： ‎ ‎（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；‎ ‎ （ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；‎ ‎ （iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点 ‎8．（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，则A（－4，0），B（4，0）‎ ‎|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 ‎ ‎∴‎2a=10,‎2c=8,‎ ‎∴a=5,c=4‎ ‎∴P点轨迹为椭圆=1 ‎ ‎（Ⅱ）mx－y－‎4m=0，过椭圆右焦点B（4，0）‎ (∵m≠0)‎ ‎∴(25+)y2+y－81=0‎ ‎∴|y1－y2|== ‎∵m为直线斜率 ‎∴可令m=tanθ,代入上式得:|y1－y2|= (∵sinθ＞0)‎ ‎=，‎ 当且仅当sinθ=,|y1－y2|max= ‎∴(S△AEF)max=．‎ B组 ‎1．B．提示：用参数法．‎ ‎2．A．提示：求出双曲线方程及其离心率（含k），再用离心率计算公式．‎ ‎3．B．点（x,y)到定点（－2，2）的距离与到定直线x－y＋3=0的距离之比是．‎ ‎4．x2－y2＋4x=0(x≠0)．提示：利用平行四边形对角线互相平分求解．‎ ‎5．y=2x2－x＋2．提示：用△法结合韦达定理．‎ ‎6．以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设出点的坐标，用二倍角的正切公式得到方程，化简得：y=0(－3＜x＜3)或3x2－y2＋6x－9=0‎ ‎7．按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，‎4a），D（－2，‎4a）‎ 设，‎ 由此有E（2，4ak），F（2－4k，‎4a），G（－2，‎4a－4ak）.‎ 直线OF的方程为：， ①‎ 直线GE的方程为：.②‎ 从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，‎ 整理得.‎ 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.‎ 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.‎ 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.‎ 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之 和为定值.．‎ ‎8．（1）当m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积是80．‎ 椭圆围成的区域在其内部，且面积为20π．‎ 故点P（m，n）落在椭圆内的概率为= 由于椭圆是条曲线，线上点所占面积为0，故点P（m，n）落在椭圆上的概率为0．‎ ‎（2）当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时．点P（m，n）共有11×9=99个 其中点（0，4），（0，－4），（5，0），（－5，0）四点落在椭圆上．‎ 故点P（m，n）落在椭圆上的概率为．‎ 当m＞0，n＞0时，点（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9点在椭圆外．‎ 由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时，共有4×9=36个点在椭圆外．‎ 故点P（m，n）落在椭圆外的概率是=．‎