高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 12页

‎2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理：‎ ‎1. 椭圆定义：‎ ‎（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.‎ 当时, 的轨迹为椭圆 ; ; ‎ 当时, 的轨迹不存在; ‎ 当时, 的轨迹为 以为端点的线段 ‎（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆 ‎（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.‎ ‎2.椭圆的方程与几何性质:‎ 标准方程 性 质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 离心率 准线 ‎ ‎ 考点1 椭圆定义及标准方程 ‎ 题型1:椭圆定义的运用 ‎[例1 ] ‎ 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 O x y D P A B C Q A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 ‎ [解析]按小球的运行路径分三种情况:‎ ‎(1),此时小球经过的路程为2(a－c);‎ ‎(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);‎ ‎(3)此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 ‎1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）‎ ‎ A.3 B.6 C.12 D.24‎ ‎[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12‎ ‎2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） ‎ A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 ‎ ‎[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7‎ 题型2 求椭圆的标准方程 ‎ ‎[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.‎ ‎【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来 ‎[解析]设椭圆的方程为或，‎ 则，‎ 解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.‎ 总结：准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．‎ ‎［警示］易漏焦点在y轴上的情况．‎ 练习：‎ ‎3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.‎ ‎[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.‎ 又k>0，∴00 （*）‎ x1＋x2＝， x1x2＝　 ‎ ‎∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0‎ 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 ‎ m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，‎ 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） ‎ 总结：椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 例7．椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.‎ ‎⑴、求该椭圆的离心率.‎ ‎⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.‎ ‎[解析] ⑴、 ，∥，△∽△,‎ ‎， ‎ 又，, ‎ 而. ‎ ‎ ⑵、为准线方程，, ‎ 由． 所求椭圆方程为．‎ 练习 ‎14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎[解析] ，选A.‎ ‎15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。‎ ‎ （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；‎ ‎ （2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。‎ 解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）‎ 由题设可得 ‎∴动点P的轨迹方程为，‎ 则 ‎∴曲线E方程为 ‎（2）直线MN的方程为 由 ‎∴方程有两个不等的实数根 ‎∵∠MBN是钝角 即 解得：‎ 又M、B、N三点不共线 综上所述，k的取值范围是 课后作业 ‎1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎[解析] B . ‎ ‎2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为 A、0　　B、1　　C、2　　D、3‎ ‎[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， ‎ ‎3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎[解析] D. ,,两式相减得：，‎ ‎，‎ ‎4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎[解析]‎ ‎5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.‎ ‎ [解析] [三角形三边的比是]‎ ‎6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．‎ ‎[解析]‎ ‎7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程 ‎[解析]直线l的方程为： 　　由已知　① ‎ 由　得： ‎ ‎　　∴，即　② ‎ 由①②得： 　　故椭圆E方程为 ‎8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。‎ ‎[解析]（1）∵点是线段的中点 ‎ ‎∴是△的中位线 又∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1 ‎ ‎ （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点 ‎∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 ‎ 在△ABC中，由正弦定理， ‎ ‎∴＝ ‎ ‎9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;‎ O A B C D 图8‎ ‎(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.‎ 设椭圆的标准方程是.‎ ‎.‎ 椭圆的标准方程是 ‎(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.‎ 设M,N两点的坐标分别为 联立方程: ‎ 消去整理得, ‎ 有 若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,‎ 所以,,‎ 即 所以,‎ 即 得 所以直线的方程为,或.‎ 所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ‎