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  • 2021-05-13 发布

高考椭圆综合题做题技巧与方法总结

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‎2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理:‎ ‎1. 椭圆定义:‎ ‎(1)第一定义:平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.‎ 当时, 的轨迹为椭圆 ; ; ‎ 当时, 的轨迹不存在; ‎ 当时, 的轨迹为 以为端点的线段 ‎(2)椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆 ‎(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).‎ ‎2.椭圆的方程与几何性质:‎ 标准方程 性 质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 离心率 准线 ‎ ‎ 考点1 椭圆定义及标准方程 ‎ 题型1:椭圆定义的运用 ‎[例1 ] ‎ 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是 O x y D P A B C Q A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 ‎ [解析]按小球的运行路径分三种情况:‎ ‎(1),此时小球经过的路程为2(a-c);‎ ‎(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);‎ ‎(3)此时小球经过的路程为4a,故选D 总结:考虑小球的运行路径要全面 练习 ‎1.短轴长为,离心率的椭圆两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为 ( )‎ ‎ A.3 B.6 C.12 D.24‎ ‎[解析]C. 长半轴a=3,△ABF2的周长为4a=12‎ ‎2.已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为( ) ‎ A. 5 B. 7 C .13 D. 15 ‎ ‎[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点,,的最小值为10-1-2=7‎ 题型2 求椭圆的标准方程 ‎ ‎[例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为-4,求此椭圆方程.‎ ‎【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来 ‎[解析]设椭圆的方程为或,‎ 则,‎ 解之得:,b=c=4.则所求的椭圆的方程为或.‎ 总结:准确把握图形特征,正确转化出参数的数量关系.‎ ‎[警示]易漏焦点在y轴上的情况.‎ 练习:‎ ‎3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________.‎ ‎[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上,则>2,即k<1.‎ 又k>0,∴00 (*)‎ x1+x2=, x1x2=  ‎ ‎∵=3 ∴-x1=3x2 ∴ 消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0‎ 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0  ‎ m2=时,上式不成立;m2≠时,k2=,‎ 因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=>0,∴-12m2-2成立,所以(*)成立 即所求m的取值范围为(-1,-)∪(,1) ‎ 总结:椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能 例7.椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且.‎ ‎⑴、求该椭圆的离心率.‎ ‎⑵、若该椭圆的准线方程是,求椭圆方程.‎ ‎[解析] ⑴、 ,∥,△∽△,‎ ‎, ‎ 又,, ‎ 而. ‎ ‎ ⑵、为准线方程,, ‎ 由. 所求椭圆方程为.‎ 练习 ‎14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是 ( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎[解析] ,选A.‎ ‎15. 如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=。一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点。‎ ‎ (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;‎ ‎ (2)设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角,求k的取值范围。‎ 解:(1)以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0)‎ 由题设可得 ‎∴动点P的轨迹方程为,‎ 则 ‎∴曲线E方程为 ‎(2)直线MN的方程为 由 ‎∴方程有两个不等的实数根 ‎∵∠MBN是钝角 即 解得:‎ 又M、B、N三点不共线 综上所述,k的取值范围是 课后作业 ‎1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎[解析] B . ‎ ‎2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,的值为 A、0  B、1  C、2  D、3‎ ‎[解析] A . , P的纵坐标为,从而P的坐标为,0, ‎ ‎3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎[解析] D. ,,两式相减得:,‎ ‎,‎ ‎4.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .‎ ‎[解析]‎ ‎5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.‎ ‎ [解析] [三角形三边的比是]‎ ‎6.在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= .‎ ‎[解析]‎ ‎7、已知椭圆与过点A(2,0),B(0,1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率.求椭圆方程 ‎[解析]直线l的方程为:   由已知 ① ‎ 由 得: ‎ ‎  ∴,即 ② ‎ 由①②得:   故椭圆E方程为 ‎8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点,O为坐标原点,点P)在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求的值。‎ ‎[解析](1)∵点是线段的中点 ‎ ‎∴是△的中位线 又∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1 ‎ ‎ (2)∵点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点 ‎∴AC+BC=2a=,AB=2c=2 ‎ 在△ABC中,由正弦定理, ‎ ‎∴= ‎ ‎9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;‎ O A B C D 图8‎ ‎(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.‎ 设椭圆的标准方程是.‎ ‎.‎ 椭圆的标准方程是 ‎(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.‎ 设M,N两点的坐标分别为 联立方程: ‎ 消去整理得, ‎ 有 若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,‎ 所以,,‎ 即 所以,‎ 即 得 所以直线的方程为,或.‎ 所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ‎