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  • 2021-05-13 发布

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

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‎ 平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、 考试内容要求:‎ ‎(一)、平面向量:‎ ‎(1)平面向量的实际背景及基本概念: ①了解向量的实际背景。 ②理解平面向量的概念,理解两个向量的相等含义。 ③理解向量的几何表示.‎ ‎(2)向量的线性运算: ①掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ ‎(3)平面向量的基本定理及坐标表示: ①了解平面向量的基本定理及其意义。‎ ‎ ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎(4)平面向量的数量积: ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎(5)向量的应用: ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ ‎(二)、(1)空间向量及其运算:①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。‎ ‎(2)空间向量的应用:①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量 语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。‎ 二、知识要点归纳:‎ ‎(一)、平面向量 ‎§2.1.1、向量的物理背景与概念 ‎1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量.‎ ‎§2.1.2、向量的几何表示 ‎1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.‎ ‎2、 向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作;长度为零的向量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.‎ ‎3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.‎ ‎§2.1.3、相等向量与共线向量 ‎1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.‎ ‎§2.2.1、向量加法运算及其几何意义 ‎1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.‎ ‎2、≤.‎ ‎§2.2.2、向量减法运算及其几何意义 ‎1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.‎ ‎§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 ‎1、 规定:实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:,它的长度和方向规定如下:‎ ‎ ⑴,‎ ‎⑵当时, 的方向与的方向相同;当时, 的方向与的方向相反.‎ ‎2、 平面向量共线定理:向量与 共线,当且仅当有唯一一个实数,使.‎ ‎§2.3.1、平面向量基本定理 ‎1、 平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量,有且只有一对实数,使.‎ ‎§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 ‎1、 .‎ ‎§2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设,则: ⑴, ⑵, ‎ ‎ ⑶,⑷.‎ ‎2、 设,则: .‎ ‎§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设,则 ‎⑴线段AB中点坐标为, ⑵△ABC的重心坐标为.‎ ‎§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎1、 . 2、 在方向上的投影为:.‎ ‎3、 . 4、 . 5、 .‎ ‎§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ‎1、 设,则:‎ ‎⑴ ⑵‎ ‎⑶ ⑷‎ ‎2、 设,则:.‎ 3、 两向量的夹角公式 ‎ ‎ ‎4、点的平移公式 ‎ 平移前的点为(原坐标),平移后的对应点为(新坐标),平移向量为, 则 ‎ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为 ‎§2.5.1、平面几何中的向量方法 ‎§2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳.‎ ‎ 高考试题(2010―2014)‎ 一、选择题(共 39 题)‎ ‎1、(2010全国2)中,点在上,平方.若,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D) 答案:B ‎2.(2011全国)设向量a,b,c满足= =1,=,=,则 最大值等于 A.2 B. C. D.1 答案:A ‎3.(2011全国新课标)已知a与b均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是 ‎ A. B. C. D. 答案:A ‎4、(2012全国)中,边的高为,若,,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D) 答案:D ‎5.(2012全国新课标)已知向量,若,则 ‎(A) (B) (C) (D) 答案:B.‎ ‎6.(2014全国)若向量满足:,,,则( )‎ A.2 B. C.1 D. 答案:B.‎ ‎7、(2014全国新课标2)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = ( )‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 5‎ 答案:A ‎8、(2010安徽)设向量,则下列结论中正确的是 ‎(A) (B)(C)垂直 (D) 答案: C ‎9、(2012安徽)在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是( )‎ ‎ 答案:‎ 10、 ‎(2013安徽)在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是 ‎(A) (B) (C) (D) 答案:D ‎11.(2010福建)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 A. [3- , )B. [3+ , ) C. [, ) D. [, )答案:B.‎ ‎12.(2011福建)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是(  )‎ A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] 答案: C ‎13.(2010湖北)已知和点M满足.若存在实数m使得成立,则m=‎ A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B.‎ ‎14.(2011湖北)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥  b.若x,y满足不等式,则z的取值范围为 A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] 答案:D ‎15、(2013湖北)已知点、、、,则向量在方向上的投影为( )‎ ‎ A. B. C. D. 答案:‎ ‎16.(2010湖南在中,,,则等于 ‎ A. B. C.8 D.16 答案:D ‎17.(2012湖南) 在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.‎ A. B. C. D. 答案:A ‎18. (2013湖南)已知是单位向量,.若向量满足 A. B. C. D. 答案:A ‎19.(2011辽宁)若,,均为单位向量,且,,则的最大值为 ‎ A. B.1 C. D.2 答案:B.‎ ‎20、(2013辽宁)已知点 ‎(A) (B) (C) (D) 答案:A ‎21、(2014辽宁)设是非零向量,学科 网已知命题P:若,,则;命题q:若,则,则下列命题中真命题是( )‎ A. B. C. D. 答案: C ‎22、(2010山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的。令⊙ 下面说法错误的是 ‎(A)若与共线,则⊙ (B)⊙⊙‎ ‎(C)对任意的⊙⊙ (D)⊙ 答案:B.‎ ‎23.(2011山东)设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R),(μ∈R),且,则称,调和分割, ,已知平面上的点C,D调和分割点A,B则下面说法正确的是 ‎(A).C可能是线段AB的中点 (B).D可能是线段AB的中点 ‎(C).C,D可能同时在线段AB上 (D).C,D不可能同时在线段AB的延长线上 答案:D ‎24.(2011陕西)设是向量,命题“若,则∣∣= ∣∣”的逆命题是 ‎ A.若,则∣∣∣∣ B.若,则∣∣∣∣‎ C.若∣∣∣∣,则 D.若∣∣=∣∣,则= - 答案:D ‎25.(2013陕西) 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 ‎(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案:C ‎26、(2011上海)设是空间中给定的5个不同的点,则使成立的点的个数为〖答〗( )‎ A 0 B 1 C 5 D 10 答案:B.‎ ‎27.(2013上海)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足( ). ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 答案:D.‎ ‎28、(2010四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,则 ‎(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1 答案:C 29、 ‎(2011四川)如图,正六边形ABCDEF中,=‎ 30、 ‎(A)0 (B) (C) (D) 答案:D ‎30 (2012四川)、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )‎ A、 B、 C、 D、且 答案:C ‎31.(2014四川)平面向量,,(),且与的夹角等于与的夹角,则 A. B. C. D. 答案:D ‎32、(2012天津)已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则 ‎(A) (B) (C)  (D) 答案:A ‎33、(2014天津)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) 答案:C ‎34.(2012浙江)设a,b是两个非零向量.‎ A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|‎ C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 答案:C ‎35.(2013浙江)设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有。则 A. B. C. D. 答案:D ‎36、(2010重庆)已知向量满足,则( )‎ A、0 B、 C、4 D、8 答案:B.‎ ‎37、(2012重庆)设R,向量且,则 ‎(A) (B) (C) (D)10 答案:B.‎ ‎38、(2013重庆)在平面上,,,.若,则的取值范围是( )‎ A、 B、 C、 D、 答案:D ‎39、(2014重庆).已知向量,且,则实数k=‎ ‎ C.3 D. 答案:B.‎ 二、填空题(共 题)‎ ‎1、(2012全国新课标)已知向量夹角为 ,且;则答案:‎ ‎2、(2013全国新课标1)已知两个单位向量,的夹角为60°,.若=0,则 =____________.答案:2‎ ‎3、(2013全国新课标2)已知正方形的边长为,为的中点,则 ‎_______。答案:‎ ‎4、(2014全国新课标1) 已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为 答案.‎ ‎5、(2011安徽)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 答案:‎ ‎6、(2014安徽)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).‎ ‎①S有5个不同的值 ②若a⊥b,则Smin与无关 ‎③若a∥b,则Smin与无关 ④若,则Smin>0‎ ‎⑤若,Smin=,则a与b的夹角为 答案;②④‎ ‎7.(2011北京)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,)。若a-2b与c共线,则k=___________________。答案:1‎ ‎8.(2012北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________,的最大值为______。答案:1,1‎ ‎9、(2013北京)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=‎ ‎ 答案:4‎ ‎10、(2014北京)已知向量、满足,,且,则 ‎________.答案:‎ ‎11.(2011福建)设V是全体平面向量构成的集合.若映射f:V→R满足:‎ 对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射f具有性质P.‎ 现给出如下映射:‎ ‎①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;‎ ‎②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V;‎ ‎③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.‎ 其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号 答案:①③‎ ‎12.(2014湖北)设向量,,若,则实数________.‎ 答案:±3‎ ‎13、(2011湖南)在边长为1的正三角形中,设,则。答案:‎ ‎14.(2014湖南)在平面直角坐标系中,O为原点 C(3 0)动点D满足 ,则 的最大值是__________。答案:‎ ‎15.(2010江西)已知向量,满足,, 与的夹角为60°,则 答案: ‎ ‎16.(2011江西)已知,·=-2,则与的夹角为 ‎ 答案: ‎ ‎17、(2013江西).设,为单位向量。且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 答案:5/2‎ ‎18、(2014江西).已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则= ‎ ‎19、(2013山东)已知向量与的夹角为,且若 且,则实数的值为 答案: ‎ ‎20、(2014山东)在中,已知,当时,的面积为 .答案:1/6‎ ‎21.(2010陕西)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 答案: m=-1 ‎ ‎22。(2010上海)如图所示,直线x=2与双曲线 的渐近线交于,两点,记,任取双曲 线上的点P,若,则a、b满足的 一个等式是 答案: 4ab=1 ‎ ‎23.(2012上海)若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)。‎ ‎24.(2012上海)在平行四边形中,,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 (2,5) 。‎ ‎25、(2013四川)在平行四边形中,对角线与交于点,,则____________。答案:2‎ ‎26、(2010天津)如图,在中,,, ‎ ‎,则 .答案:‎ ‎27、(2013天津)在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 答案:1/2‎ ‎28、(2010浙江)已知平面向量满足的夹角为120°则 。答案:‎ ‎29.(2011浙江)若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角的取值范围是 。答案:‎ ‎30.(2013浙江)设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________。答案:2‎ ‎31.(2011重庆)已知单位向量,的夹角为60°,则__________ 答案: ‎ A B C E F D ‎32、(2011江苏)已知是夹角为的两个单位向量, 若,则k的值为 答案:5/4‎ ‎33.(2012江苏)如图,在矩形ABCD中,‎ 点E为BC的中点,‎ 点F在边CD上,若,则的值是 ▲ .答案:.‎ ‎ ‎ 34、 ‎(2014江苏) 如图,在平行四边形中,‎ A B D C P ‎(第12题)‎ 35、 已知,,,,‎ 36、 则的值是 ▲ . 答案:22 ‎ 三、解答题 ‎1、(2010江苏)(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;‎ (2) 设实数t满足()·=0,求t的值。‎ ‎2.(201江苏本小题满分14分)已知,.‎ ‎(1)若,求证:; (2)设,若,求的值.‎