高考数学第一轮专题复习测试卷等差数列 6页

第二十八讲　等差数列 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)‎ ‎1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是(　　)‎ A．S7　　　　　　　　　 B．S8‎ C．S13 D．S15‎ 解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，‎ ‎∴‎3a1＋18d＝p，解a7＝p.‎ ‎∴S13＝＝‎13a7＝p.‎ 答案：C ‎2．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为(　　)‎ A．48 B．49‎ C．50 D．51‎ 解析：∵a2＋a5＝‎2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.‎ 答案：C ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝‎5a3≤15，a3≤3，则a4＝≤4，a4的最大值为4.故选C.‎ 答案：C ‎4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴＝＝×5＝＝，故选D.‎ 答案：D ‎5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　)‎ A．11 B．19‎ C．20 D．21‎ 解析：∵<－1，且Sn有最大值，‎ ‎∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，‎ ‎∴S19＝＝19·a10>0，‎ S20＝＝10(a10＋a11)<0.‎ 所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.‎ 答案：B ‎6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：‎ a1‎ a2‎ a3‎ a4‎ a5‎ a6‎ a7‎ a8‎ a9‎ a10‎ a11‎ a12‎ x1‎ y1‎ x2‎ y2‎ x3‎ y3‎ x4‎ y4‎ x5‎ y5‎ x6‎ y6‎ 按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于(　　)‎ A．1003 B．1005‎ C．1006 D．2011‎ 解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.‎ 答案：B 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)‎ ‎7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.‎ 解析：S9＝‎9a5＝－9，‎ ‎∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.‎ 答案：－72‎ ‎8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.‎ 解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论＝求得．‎ 答案： ‎9．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．‎ 解析：∵f(x)＝，‎ ‎∴f(1－x)＝＝＝，‎ ‎∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.‎ 设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，‎ 则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，‎ ‎∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋‎ ‎[f(－5)＋f(6)]＝6，‎ ‎∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3.‎ 答案：3 ‎10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M ‎，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．‎ 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ ‎∵a4－a2＝8，∴d＝4.‎ 又∵a3＋a5＝26，即‎2a1＋6d＝26，∴a1＝1.‎ ‎∴Sn＝n＋×4＝2n2－n，‎ 则Tn＝＝2－<2.‎ ‎∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.‎ ‎∴M的最小值为2.‎ 答案：2‎ 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)‎ ‎11．已知：f(x)＝－，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足＝＋16n2－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}是等差数列．‎ 解：(1)由y＝－，‎ 点Pn在曲线y＝f(x)上，‎ ‎∴－＝f(an)＝－，‎ 并且an>0，∴＝，‎ ‎∴－＝4(n∈N*)．‎ 数列{}是等差数列，首项＝1，公差d为4，‎ ‎∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，a＝.‎ ‎∵an>0，∴an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由an＝，＝＋16n2－8n－3得 ‎(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，‎ ＝＋1.‎ 令cn＝，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，‎ ‎∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*，‎ 则Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*，‎ ‎∴bn＝8n－7，n∈N*，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．‎ ‎12．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.‎ ‎(1)求a1，a2；‎ ‎(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)n＝2时，a2＝‎3a1＋32－1‎ n＝3时，a3＝‎3a2＋33－1＝95，‎ ‎∴a2＝23.‎ ‎∴23＝‎3a1＋8，∴a1＝5.‎ ‎(2)当n≥2时，‎ bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t)‎ ‎＝(an＋t－3an－1－3t)‎ ‎＝(3n－1－2t)＝1－.‎ 要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－，‎ 即存在t＝－，使{bn}为等差数列．‎ ‎13．设f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.‎ ‎(1)证明数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)求数列{bn}的前n项和．‎ 分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．‎ 解：(1)证明：an＋1＝f(an)＝＝，‎ ‎∴＝＋，即－＝.‎ ‎∴是首项为1，公差为的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知是等差数列，‎ ‎∴＝1＋(n－1).整理得an＝.‎ ‎(3)bn＝an·an＋1＝·＝a2.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则Tn＝a2 ‎＝a2＝a2·＝.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为.‎