• 258.50 KB
  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(文)(等差数列及其前n项和)一轮复习学案

  • 8页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
学案29 等差数列及其前n项和 导学目标: 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.‎ 自主梳理 ‎1.等差数列的有关定义 ‎(1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n∈N*,d为常数).‎ ‎(2)数列a,A,b成等差数列的充要条件是__________,其中A叫做a,b的__________.‎ ‎2.等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=________,an=am+________ (m,n∈N*).‎ ‎(2)前n项和公式:Sn=__________=____________.‎ ‎3.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=n2+n.‎ 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=__________.‎ ‎4.等差数列的性质 ‎(1)若m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则有__________,特别地,当m+n=2p时,______________.‎ ‎(2)等差数列中,Sm,S‎2m-Sm,S‎3m-S‎2m成等差数列.‎ ‎(3)等差数列的单调性:若公差d>0,则数列为____________;若d<0,则数列为__________;若d=0,则数列为________.‎ 自我检测 ‎1.(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13的值为 (  )‎ A.130 B.260‎ C.156 D.168‎ ‎2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 (  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎3.(2010·泰安一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于 (  )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D. ‎4.(2010·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7等于 (  )‎ A.12 B.‎13 ‎ C.14 D.15‎ ‎5.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=________.‎ 探究点一 等差数列的基本量运算 例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50,‎ ‎(1)求通项an;‎ ‎(2)若Sn=242,求n.‎ 变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d (d≠0),它的前10项和S10=110,且a1,a2,a4成等比数列,求公差d和通项公式an.‎ 探究点二 等差数列的判定 例2 已知数列{an}中,a1=,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn= (n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由.‎ 变式迁移2 已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).‎ ‎(1)求a2,a3的值.‎ ‎(2)是否存在实数λ,使得数列{}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ 探究点三 等差数列性质的应用 例3 若一个等差数列的前5项之和为34,最后5项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数.‎ 变式迁移3 已知数列{an}是等差数列.‎ ‎(1)前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n;‎ ‎(2)若Sn=20,S2n=38,求S3n;‎ ‎(3)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.‎ 探究点四 等差数列的综合应用 例4 (2011·厦门月考)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.‎ 变式迁移4 在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.‎ ‎(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值.‎ ‎(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.‎ ‎1.等差数列的判断方法有:‎ ‎(1)定义法:an+1-an=d (d是常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(2)中项公式:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(3)通项公式:an=pn+q (p,q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式,在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩余的量,而a与d是最基本的,它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式.‎ ‎3.要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用,如an=am+(n-m)d,S2n-1=(2n-1)an等.‎ ‎4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a+d;③a-d,a+d,a+3d等可视具体情况而定. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2010·重庆)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为 (  )‎ A.5 B.‎6 ‎ C.8 D.10‎ ‎2.(2010·全国Ⅱ)如果等差数列中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= (  )‎ A.14 B.‎21 ‎ C.28 D.35‎ ‎3.(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是 (  )‎ A.4 B.‎5 ‎ C.6 D.7‎ ‎4.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 (  )‎ A.14 B.‎15 ‎ C.16 D.17‎ ‎5.等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,下列结论中正确的是 (  )‎ A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值 C.S30=0 D.S60=0‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________.‎ ‎7.(2009·海南,宁夏)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S‎2m-1=38,则m=________.‎ ‎8.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(2011·莆田模拟)设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110,且a=a‎1a4.‎ ‎(1)证明:a1=d;‎ ‎(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.‎ ‎10.(12分)(2010·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为 Sn.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎11.(14分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).‎ ‎(1)证明数列{}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项;‎ ‎(3)若λan+≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.‎ 答案 自主梳理 ‎1.(1)2 差 an+1-an=d (2)A= 等差中项 ‎2.(1)a1+(n-1)d (n-m)d (2)na1+d  3.An2+Bn 4.(1)am+an=ap+aq am+an=2ap (3)递增数列 递减数列 常数列 自我检测 ‎1.A 2.C 3.A 4.B 5.24‎ 课堂活动区 例1 解题导引 (1)等差数列{an}中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;(2)由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.‎ 解 (1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,‎ 得方程组 解得 所以an=2n+10.‎ ‎(2)由Sn=na1+d,Sn=242.‎ ‎ 得12n+×2=242.‎ 解得n=11或n=-22(舍去).‎ 变式迁移1 解 由题意,知 即 ‎∵d≠0,∴a1=d.解得a1=d=2,∴an=2n.‎ 例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法:‎ 第一种是利用定义,即an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即2an=an+1+an-1 (n≥2).‎ ‎2.解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断.‎ ‎(1)通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.‎ ‎(2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.‎ ‎3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.‎ ‎(1)证明 ∵an=2- (n≥2,n∈N*),bn=,‎ ‎∴当n≥2时,bn-bn-1=- ‎=- ‎=-=1.‎ 又b1==-.‎ ‎∴数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知,bn=n-,则an=1+ ‎=1+,设函数f(x)=1+,‎ 易知f(x)在区间和内为减函数.‎ ‎∴当n=3时,an取得最小值-1;‎ 当n=4时,an取得最大值3.‎ 变式迁移2 解 (1)∵a1=5,∴a2=‎2a1+22-1=13,‎ a3=‎2a2+23-1=33.‎ ‎(2)假设存在实数λ,使得数列{}为等差数列.‎ 设bn=,由{bn}为等差数列,则有2b2=b1+b3.‎ ‎∴2×=+.‎ ‎∴=+,‎ 解得λ=-1.‎ 事实上,bn+1-bn=- ‎=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.‎ 综上可知,存在实数λ=-1,使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列.‎ 例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质:若m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用;也可用整体思想(把a1+d看作整体).‎ 解 方法一 设此等差数列为{an}共n项,‎ 依题意有a1+a2+a3+a4+a5=34,①‎ an+an-1+an-2+an-3+an-4=146. ②‎ 根据等差数列性质,得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an.‎ 将①②两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+an)=180,‎ ‎∴a1+an=36.‎ 由Sn===360,得n=20.‎ 所以该等差数列有20项.‎ 方法二 设此等差数列共有n项,首项为a1,公差为d,‎ 则S5=‎5a1+d=34,①‎ Sn-Sn-5=[+na1]-[(n-5)a1+d]‎ ‎=‎5a1+(5n-15)d=146.②‎ ‎①②两式相加可得‎10a1+5(n-1)d=180,‎ ‎∴a1+d=18,‎ 代入Sn=na1+d ‎=n=360,‎ 得18n=360,∴n=20.‎ 所以该数列的项数为20项.‎ 变式迁移3 解 (1)依题意,知a1+a2+a3+a4=21,‎ an-3+an-2+an-1+an=67,‎ ‎∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88.‎ ‎∴a1+an==22.‎ ‎∵Sn==286,∴n=26.‎ ‎(2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,‎ ‎∴S3n=3(S2n-Sn)=54.‎ ‎(3)设项数为2n-1 (n∈N*),则奇数项有n项,偶数项有n-1项,中间项为an,则 S奇==n·an=44,‎ S偶==(n-1)·an=33,‎ ‎∴=.‎ ‎∴n=4,an=11.‎ ‎∴数列的中间项为11,项数为7.‎ 例4 解题导引 若{an}是等差数列,‎ 求前n项和的最值时,‎ ‎(1)若a1>0,d<0,且满足,前n项和Sn最大;‎ ‎(2)若a1<0,d>0,且满足,前n项和Sn最小;‎ ‎(3)除上面方法外,还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意n∈N*.‎ 解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列.‎ 设{an}的首项为a1,公差为d,由a3=10,S6=72,‎ 得,∴.‎ ‎∴an=4n-2.则bn=an-30=2n-31.‎ 解得≤n≤.‎ ‎∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前15项为负值. ∴S15最小.‎ 可知b1=-29,d=2,‎ ‎∴S15==-225.‎ 方法二 同方法一求出bn=2n-31.‎ ‎∵Sn==n2-30n=(n-15)2-225,‎ ‎∴当n=15时,Sn有最小值,且最小值为-225.‎ 变式迁移4 解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ ‎∵a16+a17+a18=‎3a17=-36,‎ ‎∴a17=-12,∴d==3,‎ ‎∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,‎ an+1=3n-60,‎ 令,得20≤n≤21,‎ ‎∴S20=S21=-630,‎ ‎∴n=20或21时,Sn最小且最小值为-630.‎ ‎(2)由(1)知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数.‎ 当n≤21时,Tn=-Sn=-n2+n.‎ 当n>21时,Tn=Sn-2S21=n2-n+1 260.‎ 综上,Tn=.‎ 课后练习区 ‎1.A 2.C 3.B 4.C 5.D ‎6.15 7.10 8.27‎ ‎9.(1)证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又a=a‎1a4,于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即a+‎2a1d+d2=a+‎3a1d (d≠0).化简得a1=d.…………………………(6分)‎ ‎(2)解 由条件S10=110和S10=‎10a1+d,得到‎10a1+45d=110.‎ 由(1)知,a1=d,代入上式得55d=110,‎ 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.‎ 因此,数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*.…………………………………………(12分)‎ ‎10.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,‎ 所以a1+2d=7,‎2a1+10d=26,‎ 解得a1=3,d=2.…………………………………………………………………………(4分)‎ 由于an=a1+(n-1)d,Sn=,‎ 所以an=2n+1,Sn=n(n+2).…………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)因为an=2n+1,所以a-1=4n(n+1),‎ 因此bn==.………………………………………………………(8分)‎ 故Tn=b1+b2+…+bn ‎= ‎==.‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn=.…………………………………………………(12分)‎ ‎11.(1)证明 将3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得-=3(n≥2).‎ 所以数列{}为以1为首项,3为公差的等差数列.…………………………………(4分)‎ ‎(2)解 由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,‎ 所以an=.……………………………………………………………………………(7分)‎ ‎(3)解 若λan+≥λ对n≥2的整数恒成立,‎ 即+3n+1≥λ对n≥2的整数恒成立.‎ 整理得λ≤………………………………………………………………(9分)‎ 令cn= cn+1-cn=-=.………………………(11分)‎ 因为n≥2,所以cn+1-cn>0,‎ 即数列{cn}为单调递增数列,所以c2最小,c2=.‎ 所以λ的取值范围为(-∞,].……………………………………………………(14分)‎