全国历年高考试题真题集全国高考文科数学试题及答案新课标2 11页

绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若a为实数，且，则a = ‎ A．-4 B．‎-3 ‎ C．3 D．4‎ ‎3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是 ‎2004年 ‎2005年 ‎2006年 ‎2007年 ‎2008年 ‎2009年 ‎2010年 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎1900‎ ‎2000‎ ‎2100‎ ‎2200‎ ‎2300‎ ‎2400‎ ‎2500‎ ‎2600‎ ‎2700‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4．向量，，则 ‎ A．-1 B．‎0 ‎ C．1 D．3‎ ‎5．设Sn等差数列的前n项和。若a1 + a3 + a5 = 3，则S5 = ‎ ‎ A．5 B．‎7 ‎ C．9 D．11‎ ‎6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知三点，，，则ΔABC外接圆的圆心到原点的距离为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a = ‎ ‎ A．0 B．‎2 ‎ C．4 D．14‎ ‎9．已知等比数列满足，a‎3a5 = ，则a2 = ‎ ‎ A．2 B．‎1 ‎ C． D．‎ ‎10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 ‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎11．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB = x。将动点P到A，B 两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为 ‎12．设函数，则使得成立的x的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知函数的图象过点，则a = _________。‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的最大值为__________。‎ ‎15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________。‎ ‎16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a = __________。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 满意度评分 O ‎100‎ ‎0.005‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.035‎ 频率/组距 ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎0.040‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（1）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 O ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ 频率/组距 ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 满意度评分 ‎（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 D D1‎ C1‎ A1‎ E F A B C B1‎ 估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D‎1C1上，A1E = D‎1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。‎ ‎（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的离心率为，点在C上。‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于‎2a - 2时，求a的取值范围。‎ G A E F O N D B C M 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 ‎22．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 1：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。‎ ‎（1）证明：EF∥BC；‎ ‎（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：‎ ‎（1）若ab > cd；则；‎ ‎（2）是的充要条件。‎ 参考答案 一．选择题 ‎ （1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D ‎ （7）B （8）B （9）C （10）C （11）B （12）A 二．填空题 ‎ （13）-2 （14）8 （15） （16）8‎ 三．解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得 因为平分，所以 ‎（Ⅱ）因为，所以 由（Ⅰ）知，所以，即 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。‎ ‎（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。‎ 记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； 记表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”。‎ 由直方图得的估计值为 的估计值为 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为M，则 因为为正方形，所以 于是 因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意有，‎ 解得 所以的方程为 ‎（Ⅱ）设直线 将代入得 故 于是直线OM的斜率，即 所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为 若，则，所以在单调递增 若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为 因此等价于 令，则在单调递增，‎ 于是，当时，；当时，‎ 因此，的取值范围是 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线 又因为分别与AB，AC相切于点E，F，所以 ‎，故 从而 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故是的垂直平分线.又为的弦，所以在上 连结，则 由等于的半径得，所以，因此和都是等边三角形 因为，所以 因为，所以，于是 所以四边形的面积为 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为4‎ ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 由题设得 因此 ‎（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即 因为，所以 由（Ⅰ）得 ‎（ⅱ）若，则，即 因为，所以，于是 因此 综上，是的充要条件