高考数学一轮复习讲义—10空间中的平行关系 11页

一．【课标要求】 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出 空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线； ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 2．空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论 证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认， 归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 二．【命题走向】 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难 点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察 重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低， 重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点， 因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。 预测 2019 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题； （2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系 的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主 三．【要点精讲】 1．平面概述 （1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 （3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行 四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面 AC。 2．三公理三推论: 公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内： A,B,A,B 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线。 公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面 3．空间直线: （1）空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共 面直线。 异面直线的画法常用的有下列三种： （2）平 行直线： 在平面 几 何 中 ， 平行于同一 条 直 线 的 两条直线互 相 平 行 ， 这个结论在空间也是成立的。即公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点 的直线是异面直线。推理模式： 与 a 是异面直线。 4．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为 ， ， 。 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。推理模式： ． 线面平行的性 α⊂l , , ,A B a B aα α α∉ ∈ ⊂ ∉ ⇒ AB a α⊂ a Aα = //a α a α a Aα a α , , // //a b a b aα α α⊄ ⊂ ⇒ a b a b a bβ α α α b a b a αα PP a b β α 质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行 推理模式： ． 5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没 有公共点） （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面， 那么这两个平面平行。 定理的模式： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分 别平行 于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推论模式： （2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平 行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 四．【典例解析】 题型 1：共线、共点和共面问题 例 1．（1）如图所示，平面 ABD 平面 BCD ＝直线 BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线 段 AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形 MNPQ 是以 PN 、QM 为腰的梯形。 试证明三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 证明：∵　四边形 MNPQ 是梯形，且 MQ 、NP 是腰， ∴直线 MQ 、NP 必相交于某一点 O 。 ∵　O 直线 MQ ；直线 MQ 平面 ABD ， ∴O 平面 ABD。 // , , //a a b a bα β α β⊂ = ⇒ // // // a b a b P a b β β α β α α ⊂  ⊂ = ⇒     , , , , , , // , // //a b P a b a b P a b a a b bα α β β α β′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⊂ ⊂ = ⊂ ⊂ ⇒  c baβ α 同理，O 平面 BCD ，又两平面 ABD 、BCD 的交线为 BD ， 故由公理二知，O 直线 BD ，从而三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 点评：由已知条件，直线 MQ 、NP 必相交于一点 O ，因此，问题转化为求证点 O 在直线 BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线 BD 是这两个平面的交线，同时 点 O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证 明“点在直线上”的问题。 （2）如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平 面α相交于点 E，G，H，F．求证：E，F，G，H 四点必定共线 证明：∵AB∥CD， ∴AB，CD 确定一个平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即 E 为平面α与β的一个公共点。 同理可证 F，G，H 均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H 四点必定共线。 点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理 2，即先证明这些点都 是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。 例 2．已知：a，b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d 共面。 证明：1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a，b，c 相交于一点 A， 但 A∉d，如图 1 所示： ∴直线 d 和 A 确定一个平面α。 又设直线 d 与 a，b，c 分别相交于 E，F，G， 则 A，E，F，G∈α。 ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。 同理可证 bα，cα。 ∴a，b，c，d 在同一平面α内。 2o 当四条直线中任何三条都不共点时， 如图 2 所示： α D C B A E F H G α ba d cGFE A a b c d α H K 图 1 图 2 ∵这四条直线两两相交，则设相交直线 a，b 确定一个平面α。 设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，则 H，K∈α。 又 H，K∈c，∴cα。 同理可证 dα。 ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面α内． 点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理 3 或推论，由题 给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个 平面内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此，在分析题意时，应仔细推敲 问题中每一句话的含义。 题型 2：异面直线的判定与应用 例 3．已知：如图所示，αβ ＝a ，bβ ，ab ＝A ，cα ，c∥a 。求证直线 b 、c 为 异面直线 证法一：假设 b 、c 共面于γ ．由 Aa ，a∥c 知，Ac ，而 ab ＝A，αβ ＝a ， ∴Aγ ，Aα。 又 cα ，∴γ 、α 都经过直线 c 及其外的一点 A， ∴γ 与α 重合，于是 aγ ，又 bβ。 又γ 、β 都经过两相交直线 a 、b ，从而γ 、β 重合。 ∴α 、β 、γ 为同一平面，这与αβ ＝a 矛盾 ∴b 、c 为异面直线． 证法二：假设 b 、c 共面，则 b ，c 相交或平行。 （1）若 b∥c ，又 a∥c ，则由公理 4 知 a∥b ，这与 ab ＝A 矛盾。 （2）若 bc ＝P ，已知 bβ ，cα ，则 P 是α 、β 的公共点，由公理 2，Pa ，又 bc ＝P ，即 Pc ，故 ac ＝P ，这与 a∥c 矛盾 综合（1）、（2）可知，b 、c 为异面直线。 证法三：∵αβ ＝a ，ab ＝A ，∴Aa 。 ∵a∥c ，∴Ac ， 在直线 b 上任取一点 P（P 异于 A），则 Pα（否则 bα ，又 aα ，则α 、β 都经过两 相交直线 a 、b ，则α 、β 重合，与αβ ＝a 矛盾）。 又 cα ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线”知，b 、c 为异面直线。 点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论 “过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。异面直 线又有两条途径：其一是直接假设 b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设 b 、c 平行与相 交；分别产生矛盾。判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路； 若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为四个步 骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论． 宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如 立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结 论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方 程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的 一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。 例 4．（1）已知异面直线 a,b 所成的角为 70，则过空间一定点 O，与两条异面直线 a,b 都成 60 角的直线有( )条 A．1 B．2 C．3 D．4 （2）异面直线 a,b 所成的角为,空间中有一定点 O，过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角 都是 60，则的取值可能是（ ） A．30 B．50C．60 D．90 解析：（1）过空间一点 O 分别作∥a,∥b。 将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成 60 角 的直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 角的直线有 4 条，从而选 D。 （2）过点 O 分别作∥a、∥b，则过点 O 有三条直线与 a,b 所成角都为 60，等价于 过点 O 有三条直线与 所成角都为 60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为 C。 点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力 题型 3：线线平行的判定与性质 例 5．（2009 江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： ba ′′, ba ′′, （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； （2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行； （3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直； （4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）. 【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) 例 6．两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM=FN，求证：MN∥平面 BCE。 证法一：作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，则 MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又 AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ ∵PQ 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外， ∴MN∥平面 BCE。 证法二：如图过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC， ∴ 连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得 ∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE。 题型 4：线面平行的判定与性质 例 7．(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 ABCD-ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯 形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F 分别是棱 AD、 AA、AB 的中点。 （1） 证明：直线 EE//平面 FCC； （2） 求二面角 B-FC-C 的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱 ABCD-ABCD 中，取 A1B1 的中点 F1， 连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD， 所以 CDA1F1，A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1//A1D， 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点，所以 EE1//A1D， 所以 CF1//EE1，又因为 平面 FCC， 平面 FCC， AB AH AC AM = AB AH BF FN = 1EE ⊄ 1CF ⊂ Q PM N F E D C BA H M N F E D C BA E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以直线 EE//平面 FCC. （2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的 中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-ABCD 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB ⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, ,在 Rt△CC 1F 中, △OPF∽△CC 1F,∵ ∴ , 在 Rt△OPF 中, , ,所 以二面角 B-FC-C 的余弦值为 . 解法二:（1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）, C1 （ 0,2,2 ） ,E （ , ,0 ） ,E1 （ ,-1,1 ） , 所 以 , , 设平面 CC1F 的法向量为 则 所 以 取 ,则 ,所以 , 所以直线 EE//平面 FCC. （ 2 ） , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 , 则 所 以 ,取 ,则 , 3OB = 1 1 OP OF CC C F = 2 2 1 22 22 2 OP = × = + 2 2 1 1432 2BP OP OB= + = + = 2 72cos 714 2 OPOPB BP ∠ = = = 7 7 3 2 1 2 − 1 3 1( , ,1)2 2EE = − ( 3, 1,0)CF = − 1 (0,0,2)CC = 1 ( 3,1,2)FC = − ( , , )n x y z= 1 0 0 n CF n CC  ⋅ = ⋅ =     3 0 0 x y z  − = = (1, 3,0)n = 1 3 11 3 1 0 02 2n EE⋅ = × − × + × =  1n EE⊥  (0,2,0)FB = 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 0 0 n FB n FC  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 0 3 2 0 y x y z =− + + = 1 (2,0, 3)n = 1 2 1 3 0 0 3 2n n⋅ = × − × + × =  E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M B A C D E F , , 所以 ,由图可知二面角 B-FC-C 为锐角,所以二面角 B-FC-C 的余弦值为 . 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空 间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 例 8．（2008 四川 19，理 21） （本小题满分 12 分） 如 图 ， 平 面 平 面 ， 四 边 形 与 都 是 直 角 梯 形 ， ， ∥ ，∥ ． （Ⅰ）证明：、、、四点共面； （Ⅱ）设 ，求二面角 的大小． 解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面 面 ， ∴ 面 ． ∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ． 不妨设 ， ， ，则 ， ， ， ， ， ． ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴C、D、E、F 四点共面． （Ⅱ）设 ，则 ， ∴ ， ， ． 设平面 的法向量为 ， 由 ，得 ， 设平面 的法向量为 由 ，得 ， 2| | 1 ( 3) 2n = + = 2 2 1| | 2 0 ( 3) 7n = + + = 1 1 1 2 7cos , 7| || | 2 7 n nn n n n ⋅〈 〉 = = = ×      7 7 ABEF ⊥ ABCD ABEF ABCD 90BAD FAB∠ =∠ = ° BC 1 2 AD 1 2 AF AB BC BE= = A ED B− − ABEF ⊥ ABCD 90AF AB⊥ = ° AF ⊥ ABCD A xyz− AB a= 2AD b= 2AF c= (0,0,0)A ( ,0,0)B a ( , ,0)C a b (0,2 ,0)D b ( ,0, )E a c (0,0,2 )F c (0, 2 ,2 )DF b c= − (0, , )CE b c= − 2DF CE=  //DF CE  E DF∉ //DF CE 1AB = 1BC BE= = (1,0,0)B (0,2,0)D (1,0,1)E AED 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 0 0 n AE n AD  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 0 2 0 x z y + =  = 1 (1,0, 1)n = − BED 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 1 0 0 n BE n BD  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 0 2 0 z x y = − + = 2 (2,1,0)n = 由图知，二面角 为锐角， ∴其大小为 ． 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心 浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过 17 题与 18 题用时之和． 题型 5：面面平行的判定与性质 例 9．如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a。证明：平面 ACD1∥平面 A1C1B 。 证明：如图，∵A1BCD1 是矩形，A1B∥D1C 。 又 D1C 平面 D1CA ，A1B 平面 D1CA ， ∴A1B∥平面 D1CA。 同理 A1C1∥平面 D1CA ，又 A1C1A1B ＝A1 ，∴ 平面 D1CA∥平面 BA1C1 ． 点评：证明面面平行，关键在于证明 A1C1 与 A1B 两相交直线分别与平面 ACD1 平行。 例 10．P 是△ABC 所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重 心。 （1）求证：平面 A′B′C′∥平面 ABC； （2）S△A′B′C′∶S△ABC 的值。 解析：(1)取 AB、BC 的中点 M、N， 则 ∴A′C′∥MNA′C′∥平面 ABC。 同理 A′B′∥面 ABC， ∴△A′B′C′∥面 ABC. (2) A′C′= MN= · AC= AC ， 同理 ∴ 五．【思维总结】 在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置 关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的 应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并 1 2cos ,n n< >  1 2 1 2 n n n n ⋅= ⋅     2 2 5 = ⋅ 10 5 = A ED B− − 10arccos 5 3 2=′=′ PN AP PM CP 3 2=′=′′ PN AP MN CA 3 2 3 2 2 1 3 1 3 1=′′ AC CA BC CB AC BA ′′==′′ 3 1 9 1)( 2 =′′= ∆ ′′′∆ AC CA S S ABC CBA 探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、 空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。 2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化 3．注意下面的转化关系： 4．直线和平面相互平行 证明方法：○1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2 证明这条直线的方 向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量 相互垂直。 5．证明两平面平行的方法： （1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。 （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平 行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥ β，b∥β，则α∥β。 （3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。 （4）平行于同一个平面的两个平面平行。 两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可 简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则 a∥β。 （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可 简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则 a∥b。 （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可 用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则 a⊥β。 （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。 // , // //α β α γ β γ⇒