高考北京理科数学试题及答案(word解析版) 7页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（理科）‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）【2017年北京，理1，5分】若集合，，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎（2）【2017年北京，理2，5分】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B．‎ ‎（3）【2017年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环， ‎ ‎，成立，第三次进入循环， 否，输出，‎ 故选C．‎ ‎（4）【2017年北京，理4，5分】若，满足 则的最大值为（ ）‎ ‎（A）1 （B）3 （C）5 （D）9‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，‎ 目标函数取得最大值，故选D．‎ ‎（5）【2017年北京，理5，5分】已知函数，则（ ）‎ ‎ （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎ ‎（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选A．‎ ‎（6）【2017年北京，理6，5分】设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为 ，KS5U并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A．‎ ‎（7）【2017年北京，理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，，故选B．‎ ‎（8）【2017年北京，理8，5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可 观测宇宙中普通物质的原子总数N约为．则下列各数中与最接近的是（ ）‎ ‎（参考数据：）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D．‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）【2017年北京，理9，5分】若双曲线的离心率为，则实数 ． ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】．‎ ‎（10）【2017年北京，理10，5分】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则= ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】．‎ ‎（11）【2017年北京，理11，5分】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为，则的最小值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎（12）【2017年北京，理12，5分】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎（13）【2017年北京，理13，5分】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_______．‎ ‎【答案】-1，-2，-3‎ ‎【解析】．‎ ‎（14）【2017年北京，理14，5分】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________．②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________．‎ ‎【答案】；．‎ ‎【解析】作图可得中点纵坐标比，中点纵坐标大，所以第一位选，分别作，，关于原点的对称点，，，比较直线，，斜率，可得最大，所以选．‎ ‎ 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（15）【2017年北京，理15，13分】在中，，． ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ 解：（1），由正弦定理得：．‎ ‎ （2），，为锐角，由得：，‎ 又，．‎ ‎（16）【2017年北京，理16，14分】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解：（1）取、交点为，连结．∵面，面 面面，∴，‎ 在中，为中点，∴为中点．‎ ‎（2）解法一：‎ 取中点为，中点为，连结，，∵，∴，‎ 又面面，面面，∴面，‎ 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标，可知，，，‎ ‎，易知面的法向量为，且，‎ ‎，设面的法向量为，‎ ‎，‎ 由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角大小为．‎ 解法二：‎ 过点作，交于点，连结，∵平面，∴，‎ ‎∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，‎ ‎，可求得，，∴．‎ ‎（3）解法一：‎ 点，，∴，由（2）题面的一个法向量，‎ 设与平面所成角为，∴．‎ 解法二：‎ 记，取中点，连结，，，取中点，连，易证点是中 点，∴，∵平面平面，，∴平面，∴平面．‎ 连结，，，∴．∵，，，‎ 由余弦定理知，∴，∴．‎ 设点到平面的距离为，，又，求得，‎ 记直线与平面所成角为，∴．‎ ‎（17）【2017年北京，理17，13分】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者．‎ ‎（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值 小于60的概率；‎ ‎（2）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U．选出两人，记 ‎ 为选出的两人中指标x的值大于1．7的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）‎ 解：（1）50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标的值小于60概率为．‎ ‎（2）的可能取值为：0，1，2，，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。‎ ‎（18）【2017年北京，理18，14分】已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：A为线段BM的中点．‎ 解：（1）由抛物线过点，代入原方程得，所以，原方程为．‎ 由此得抛物线焦点为，准线方程为．‎ ‎（2）解法一：‎ ‎∵轴，设，根据题意显然有，若要证为中 点，只需证即可，左右同除有，即只需证明成立．‎ 其中，当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足 题意，所以直线斜率存在且不为零．‎ 设直线，联立有，‎ 考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．‎ 由韦达定理可知：……①， ……②‎ 将①②代入上式，有 即，所以恒成立，∴为中点，得证．‎ 解法二：‎ 当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存 在且不为零．设为点，过的直线方程为，设，显然，‎ 均不为零．联立方程得，考虑，由题可知有两交点，所以判别 式大于零，所以．由韦达定理可知：……①， ……②‎ 由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，‎ 又在直线：上，所以，若要证明为中点，‎ 只需证，即证，即证，将代入上式，‎ 即证，即，‎ 将①②代入得，化简有恒成立，所以恒成立，所以为中点．‎ ‎（19）【2017年北京，理19，13分】已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 解：（1）∵，，‎ ‎∴∴在处的切线方程为，即．‎ ‎（2）令，，‎ ‎∵时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴时，，即，∴在上单调递减 ‎∴时，有最大值；时，有最小值．‎ ‎（20）【2017年北京，理20，13分】设和是两个等差数列，记 ‎ ‎，其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（1）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得 是等差数列．‎ 解：（1）易知，，且，，．∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 下面我们证明，对且，都有．当且时，‎ ‎，‎ ‎∵且，∴．‎ 因此，对且，，则．‎ 又∵，故对均成立，从而为等差数列．‎ ‎（2）设数列与的公差分别为，，下面我们考虑的取值．对，，…，，‎ 考虑其中任意项（且），‎ 下面我们分，，三种情况进行讨论．‎ ‎1）若，则 ‎①若，则，则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故为等差数列．‎ ‎②若，则 则对于给定正整数而言，．此时，故为等差数列．‎ 此时取，则是等差数列，命题成立．‎ ‎2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，（，）．‎ 因此，当时，．此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．‎ ‎3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，，‎ 则当时，（，），‎ 因此，当时，．此时，‎ 令，，，‎ 下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ ‎①若，则取（表示不大于的最大整数），当时，‎ ‎，此时命题成立．‎ ‎②若，则取，当时，‎ ‎．‎ 此时命题也成立．因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ 综合以上三种情况，命题得证．‎