高考数学理复习讲议 命题及其关系充分条件与必要条件人教A 9页

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1．考查四种命题的意义及相互关系．‎ ‎2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．‎ ‎3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．‎ ‎【复习指导】‎ 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．　　‎ 基础梳理 ‎1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题 命　题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若綈p，则綈q 逆否命题 若綈q，则綈p ‎(2)四种命题间的逆否关系 ‎(3)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．‎ 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．‎ 两条规律 ‎(1)逆命题与否命题互为逆否命题；‎ ‎(2)互为逆否命题的两个命题同真假．‎ 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 ‎(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②‎ ‎“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．‎ 解析　①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；‎ ‎②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；‎ ‎③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；‎ ‎∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．‎ 答案　②③‎ ‎2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)．‎ ‎A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|‎ C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 解析　“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．‎ 答案　D ‎3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，‎ ‎∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.‎ 答案　B ‎4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)．‎ A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析　原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.‎ 答案　D ‎5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .‎ 答案 若a≤b，则有2a≤2b－1‎ 考向一　命题正误的判断 ‎【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：‎ ‎①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；‎ ‎②A⃘B⇔A∩B＝∅；‎ ‎③A⃘B⇔B⃘A；‎ ‎④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.‎ 其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．‎ ‎[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．‎ 解析　①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.‎ ‎②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．‎ ‎③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.‎ ‎④正确．‎ 答案　④‎ ‎ 正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．‎ ‎【训练1】 给出如下三个命题：‎ ‎①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；‎ ‎②设a，b∈R，且ab≠0，若＜1，则＞1；‎ ‎③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．‎ 其中不正确命题的序号是(　　)．‎ A．①②③ B．①②‎ C．②③ D．①③‎ 解析　对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②‎ ‎，可举反例：如a、b异号，虽然＜1，但＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数，故选B.‎ 答案　B 考向二　四种命题的真假判断 ‎【例2】►已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)．‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 ‎[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．‎ 解析　f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.‎ 答案　D ‎ 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．‎ ‎【训练2】 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是(　　)．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析　由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝，g(x)＝ex 都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．‎ 答案　C 考向三　充要条件的判断 ‎【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．‎ ‎(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；‎ ‎(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；‎ ‎(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；‎ ‎(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，‎ q：(x－1)(y－2)＝0.‎ ‎[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．‎ 解　(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．‎ ‎(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．‎ ‎(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，‎ 所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．‎ ‎ 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．‎ ‎【训练3】 (2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{an ‎}递增；反之亦然．‎ 答案：C 难点突破2——高考中充要条件的求解 从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．‎ 判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．‎ 一、充要条件与不等式的解题策略 ‎【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、充要条件与方程结合的解题策略 ‎【示例】► (2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.‎ 三、充要条件与数列结合的解题策略 ‎【示例】► (2010·山东)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 四、充要条件与向量结合的解题策略 ‎【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 五、充要条件与三角函数结合的解题策略 ‎【示例】► (2010·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件