高考数学复习讲练14数列的概念与简单表示法学生 12页

个性化教学辅导教案 学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 ‎ 姓名 阳丰泽 年级 高三 性别 男 教学课题 ‎ 数列的概念与简单表示法 教学 目标 1． 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；通过对一列数的观察、归纳， 　 写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几 　 项写出它的一个通项公式。 3．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；‎ ‎ 理解数列的前n项和与的关系.‎ 重点 难点 数列的通项公式及其应用，数列的递推公式，数列的前n项和与的关系。‎ 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________‎ ‎ 第 讲 数列的概念与简单表示法 知识点一：数列的概念 1．数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是 　　　不同的数列； 　　⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。 　注意：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号。 3. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为。其中是数列的第项 　注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项。 知识点二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 　　有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 　　无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 　　递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 　　递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 　　常数数列：各项相等的数列。 　　摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。 知识点三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 　　如数列：的通项公式为（‎ ‎）； 　　的通项公式为（）； 　　的通项公式为（）； 　　注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。 　　　如数列：1，0，1，0，1，0，… 　　　它的通项公式可以是，也可以是. 　　⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 　　⑷数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 2. 数列的前项和： 　　数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 3．与的关系：当时； 　　当时， 　　故. 知识点四：数列的表示方法 1．通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 2．列表法：相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ 3．图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 　　具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 4．递推公式法： 　　递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 　　递推公式也是给出数列的一种方法。如：数列：-3，1，5，9，13，…， 　　可用递推公式：‎ 表示。 　　数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 　　可用递推公式：表示。 规律方法指导 1．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： 　　（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； 　　（2）可重复性：数列中的数可以重复； 　　（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2．数列与函数的关系 　　（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…， ，…； 　　（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 　　（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点，数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点 ，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 　　（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.‎ 类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 　【例1】写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: 　　(1) 0, ,,,…；(2) 1, ,,,…；(3) 9, 99,999, 9999,…；　(4) 6, 1, 6,1,…. 　　解： 　　（1）将数列改写为，，，，…， 故. 　　（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示； 　　　　 其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故. 　　（3）将数列改写为, , , ，…，故 ‎. 　　（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…， 　　　　 故或 　　总结升华：写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数； 　　②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数； 　　③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。 　　④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化. 　　⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如： 　　　数列-1，1，-1，1，…的通项公式为；数列1，2，3，4，…的通项公式为； 　　　数列1，3，5，7，…的通项公式为；数列2，4，6，8，…的通项公式为； 　　　数列1，4，9，16，…的通项公式为；数列1，，，，…的通项公式为。 　　【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： 　　(1) 3, 5, 9, 17, 33,…； 　(2), , , , , …；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…；‎ ‎(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, …；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…. ‎ ‎ 类型二：通项公式的应用 ‎　【例2】设数列满足，写出这个数列的前五项。 　　思路点拨：只需在给出数列的通项公式中依次取，便可以求解. 　　解析：数列的前五项为：；；；；. 　　总结升华：根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。 　　【变式1】设数列满足，写出这个数列的前五项。 ‎ ‎ 　　【变式2】根据下列数列的通项公式，写出它的第五项. 　　（1）； （2）， 　‎ ‎ 　【例3】已知数列的通项公式, 试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？ 　　(1) 94；(2) 71. 　　思路点拨：先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标，那么是数列中的项，否则，不是. 　　解析：（1）设, 解得.故94是数列的第32项. 　　（2）设，解得.故71不是数列的项. 　　【变式】已知数列的通项公式, 　　（1）若，试问是第几项？ 　　（2）56和28是否为数列的项？ 　　 ‎ ‎ 类型三：递推公式的应用 　【例4】 设数列满足：，，写出这个数列的前五项。 　　思路点拨：题中已给出的第1项和递推公式：，故可以依次写出下列各项. 　　解析：据题意可知：，，，，，‎ ‎ 　　　　　故数列的前5项为:1，2，，，. 　　总结升华：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。 　　【变式1】已知数列满足：，，，写出前6项. ‎ ‎ ‎ ‎ 　　【变式2】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想． 　　‎ ‎ 类型四：前项和公式与通项的关系 　【例5】已知数列的前项和公式，求通项. 　　（1），　 (2). 　　思路点拨：先由时，，求出；再由当时，，求出，并验证是否符合所求出的. 　　解析：(1) 当时，， 　　　　当时，， 　　　　∴ 　　(2) 当时，， 　　　　当时，，　　∴()为所求. 　　总结升华：已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.‎ ‎ 　　【变式1】已知数列的前项和，求通项. 　　‎ ‎ 　　【变式2】已知数列的前项积，求通项 　‎ ‎ 类型五：数列的单调性 　【例6】已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明. 　　思路点拨：选择数列中任意相邻两项作差比较即可. 　 解析：∵， 　　　　　∴（） 　　　　　∴数列是递增数列. 　　总结升华：数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明. 　　【变式1】数列中：,（） 　　（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； 　　（2）判断它的单调性. ‎ ‎ 　　【变式2】数列中：（，且为常数），判断数列 的单调性. 　　‎ ‎ 　　1．填空:(1)已知数列的前n项和Sn=3+2n, 则an=__________. 　　(2)已知数列前n项和Sn=5n2-n, 则a6+a7+a8+a9+a10=_________. 　　(3)已知数列中，, . 那么数列的前5项依次为_________. 　　(4) 数列{an}的通项公式an=n2+n+1; 则273是这个数列的第_______项. 　　2．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是: 　(1) ，-，， -，…；(2) ，， ， ，…；(3) 5，55， 555， 5555， …；(4) 3，5，3，5，… ‎ ‎ 　　3．已知数列{an}的通项公式为an=n2+ln, 若数列{an}为递增数列，试求最小的整数l.‎ ‎ 　　4．已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n， 求an.‎ ‎ 　　5．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 　　(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N+)；(2) ＝3, ＝3－2 (n∈N+).‎ ‎ ‎ ‎ 　　6．在数列{an}满足且a1=2，则其中一项是( ) 　　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D． 　　7．已知正数数列{an}的前n项的和Sn满足，则它的第2项的值是( ) 　　A．　　　 B．1　　　 C． 　　　D． 　　8．共有30项的数列{an}通项公式是，其中最大值项与最小值项分别是( ) 　　A．a30，a1 　　　B．a10，a9　　　 C．a10，a30 　　　D．a1，a9 　　9．已知数列中，，且（≥2），则（ ） 　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 　　10．数列中，，，且，则（ ） 　　A. 3 　　　B. 　　　C. 　　　D. 6 　　11．已知数列的通项公式，则数列的最大项为（ ）. 　　A. 第12项　　　　　　　 B. 第13项 C. 第12或第13项 　　　　D. 不存在 　　12．数列，，，，…的一个通项公式是________，是该数列的第________项. 　　13．已知数列的前项和，则数列的通项公式__________. 　　14．数列0，1，0，2，0，3，0，4……的一个通项公式是________. 　　15．数列{an}的前项的和Sn=n3+1，则数列的通项公式是an=________. 　　16．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式. 　　(1)； (2)；　(3)； 　　(4)； 　(5)1，3，1，3，1，3……‎ ‎ 　　17．根据下列条件，求数列{an}的通项公式. 　　(1)a1=3，nan=(n+1)an－1，n≥2； 　　(2)a1=1，an=an-1+an-2+……+a1，n≥2.‎ ‎ 　　18．(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n+1，求an. 　　　　(2)已知数列{an}中，，前n项和Sn=n2·an，求an.‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案：1. (1) ; 　　(2) 370; (3) 1, ,,,; 　　(4) 16. 　　2．(1);　(2);　 (3);　　(4) an=4+(-1)n 　　3．解析：依题意有:an+1-an＞0, 即[(n+1)2+l(n+1)]-(n2+ln)＞0.，解得 l＞-(2n+1), n∈N+. 　　　　　　　∵-(2n+1)( n∈N+)的最大值为-3，∴ 满足条件的最小整数l=-2. 　　4． 　　5．解析：　(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ； 　　(2) ,,,, 　　　　∴. 　　6．D 7．A 8．B 9. A 10. B 11. A ‎ 　　12．，10 13. 14． 　　15． 　　16．(1)； (2) 　　　　(3)；　(4)；(5)an=2+(-1)n或 　　17．解析：(1) 　　　　同理：个式子叠乘 　　　　得：a2·a3·……·an=·a1·……·an-1 即； 　　(2) ∵an=an-1+an-2+…+a1 (n≥2) ① 　　　　∴an-1=an-2+an-3+…+a1 (n≥3) ② 　　　　故将②代入①有an=2an－1 (n≥3) 　　　　由①式a2=a1=1，故an=2n-2·a2=2n-2 (n≥3) 　　　　∴. 　　注：①本题②式中对n的限定为n≥3；②本小题亦可用(1)题用叠乘的方法做. 　　18．解析： 　　(1) 　　(2) 　　　 当n≥2时 an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1‎ ‎ 　　　 式叠乘，得： 　　　 当n=1时，符合上述公式，∴，n∈N*‎ 课后反思：‎ 课堂检测 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.‎ 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；‎ 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□‎ 课后巩固 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________‎ 签字 教学组长签字： 学习管理师:‎ 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方：‎ 老师想知道的事情：‎ 老师的建议：‎