辽宁高考文科数学 13页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,，则 ‎ ‎ ‎2. 复数的模长为 ‎ ‎ ‎3.已知点，，则与向量同方向的单位向量为 ‎ ‎ ‎4.下列关于公差的等差数列的四个命题：‎ 数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 其中真命题是 ‎ ‎ ‎5.某班全体学生参加英语测试，成绩分布的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，。若低于60分的人数是15，则该班级学生人数是 ‎ ‎ ‎6.在中，内角所对的边分别为,若，且，则 ‎ ‎ ‎7.已知函数，则 ‎ ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出 ‎ ‎ ‎9.已知点，若为直角三角形，则必有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若,，,则球的半径为 ‎ ‎ ‎11. 已知椭圆的左焦点，与过原点的直线相交于两点，连结，若，，则的离心率为 ‎ ‎ ‎12. 已知函数满足，。设，（表示中的较大值，表示中的较小值），记的最小值为，的最大值为，则 ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 。‎ ‎14.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则= 。‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为 ‎ ‎16.为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 。‎ 三、解答题 ‎17.设向量，，。‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设函数，求的最大值。‎ ‎18.如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的重心，求证：∥平面 P A B O C G Q ‎19.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答。‎ ‎（1）所取的2道题都是甲类题的概率；‎ ‎（2）所取的2道题不是同一类题的概率。‎ ‎20.如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）。当时，切线的歇斜率为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）。‎ ‎21.（1）证明：当时，；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎22.（选修几何证明选讲）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于，垂直于，垂直于，垂直于于，连接，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ A B C D E F O ‎23.（选修4-4极坐标与参数方程）‎ 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆，直线的极坐标方程分别为，。‎ （1） 求与交点的极坐标；‎ （2） 设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为（为参数），求的值。‎ ‎24. （选修4-5不等式选讲）‎ 已知函数，其中 （1） 当时，求不等式的解集；‎ （2） 已知关于的不等式的解集，求的值。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 参考答案 一．选择题 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】 由已知，所以，选B。‎ ‎2.【答案】B ‎ ‎【解析】由已知所以 ‎3.【答案】A ‎【解析】，所以，这样同方向的单位向量是 ‎4.【答案】D ‎【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确 ‎5.【答案】B ‎ ‎【解析】第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】所以，因为，为相反数，所以所求值为2.‎ ‎8.【答案】A ‎ ‎【解析】的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=‎ ‎9.【答案】C ‎ 【解析】若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C ‎10.【答案】C ‎【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=‎ ‎11.【答案】B ‎ ‎【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以 ‎12.【答案】C ‎ ‎【解析】顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=‎ ‎【方法技巧】（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。‎ 二．填空题 ‎13. 【答案】 ‎ ‎【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。‎ ‎14. 【答案】63‎ ‎【解析】由递增，，所以，代入等比求和公式得 ‎15. 【答案】44‎ ‎【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为 ‎16. 【答案】10 ‎ ‎【解析】设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数。设分别为，，则。设=‎ ‎=，由已知，由判别式得，所以，所以。‎ 三．解答题 ‎ （17）【解析】‎ ‎ （I）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ （II）‎ ‎ ‎ ‎（18）【解析】由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.‎ ‎（II） 连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.‎ 由G为∆AOC的重心，得M为AC中点，由G为PA中点，得QM//PC.‎ 又O为AB中点，得OM//BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO.所以QG//平面PBC. ‎ ‎（19）【解析】‎ ‎ （I）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.‎ ‎ 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以 ‎ P（A）=‎ ‎ （II）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)=.‎ ‎ （20）【解析】‎ ‎ （I）因为抛物线上任意一点（x,y）的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为 ‎ .‎ 因为点在切线MA 抛物线C上，于是 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②得p=2.‎ 设N(x,y),A ‎ ③‎ ‎ ④‎ 切线MA、MB的方程为 ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ 由⑤⑥得MA、MB的交点M（）的坐标为 ‎ ⑦‎ 由③④⑦得 ‎ ‎ 当时，A、B重和于远点0，AB重点N为0，坐标满足因此AB中点N的轨迹方程为 ‎（21）【解析】记F（x）=‎ ‎（II）因为当时.‎ ‎(22)【解析】证明：‎ ‎（I）由直线CD与⊙O相切，得∠CEB∠EAB,由AB为⨀O的直径，得AE⊥AB,得∠EAB+∠EBF=；‎ 又EF⊥AB,故∠FEB=∠CEB.‎ ‎（II）‎ ‎ ‎ ‎（23）【解析】‎ ‎ (I) 圆C的直角坐标方程为 ‎ 直线C的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎ 解 ‎ 所以交点的极坐标为，‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一.‎ ‎（II）由（I）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ 由参数方程可得y=.‎ 所以 解得,‎ ‎(24)【解析】‎ ‎（I）当a=2时，‎ 当 ‎(II)记 ‎ 于是a=3‎