辽宁高考文科数学 13页

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  • 2021-05-13 发布

辽宁高考文科数学

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则 ‎ ‎ ‎2. 复数的模长为 ‎ ‎ ‎3.已知点,,则与向量同方向的单位向量为 ‎ ‎ ‎4.下列关于公差的等差数列的四个命题:‎ 数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 数列是递增数列 其中真命题是 ‎ ‎ ‎5.某班全体学生参加英语测试,成绩分布的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:,,,。若低于60分的人数是15,则该班级学生人数是 ‎ ‎ ‎6.在中,内角所对的边分别为,若,且,则 ‎ ‎ ‎7.已知函数,则 ‎ ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出 ‎ ‎ ‎9.已知点,若为直角三角形,则必有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 ‎ ‎ ‎11. 已知椭圆的左焦点,与过原点的直线相交于两点,连结,若,,则的离心率为 ‎ ‎ ‎12. 已知函数满足,。设,(表示中的较大值,表示中的较小值),记的最小值为,的最大值为,则 ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 。‎ ‎14.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则= 。‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为 ‎ ‎16.为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 。‎ 三、解答题 ‎17.设向量,,。‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)设函数,求的最大值。‎ ‎18.如图,是圆的直径,圆所在的平面,是圆上的点。‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若为的中点,为的重心,求证:∥平面 P A B O C G Q ‎19.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答。‎ ‎(1)所取的2道题都是甲类题的概率;‎ ‎(2)所取的2道题不是同一类题的概率。‎ ‎20.如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于)。当时,切线的歇斜率为。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程(重合于时,中点为)。‎ ‎21.(1)证明:当时,;‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎22.(选修几何证明选讲)如图,为⊙的直径,直线与⊙相切于,垂直于,垂直于,垂直于于,连接,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ A B C D E F O ‎23.(选修4-4极坐标与参数方程)‎ 在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆,直线的极坐标方程分别为,。‎ (1) 求与交点的极坐标;‎ (2) 设为的圆心,为与交点连线的中点,已知直线的参数方程为(为参数),求的值。‎ ‎24. (选修4-5不等式选讲)‎ 已知函数,其中 (1) 当时,求不等式的解集;‎ (2) 已知关于的不等式的解集,求的值。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 参考答案 一.选择题 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】 由已知,所以,选B。‎ ‎2.【答案】B ‎ ‎【解析】由已知所以 ‎3.【答案】A ‎【解析】,所以,这样同方向的单位向量是 ‎4.【答案】D ‎【解析】设,所以正确;如果则满足已知,但并非递增所以错;如果若,则满足已知,但,是递减数列,所以错;,所以是递增数列,正确 ‎5.【答案】B ‎ ‎【解析】第一、第二小组的频率分别是、,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为,则,。‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【解析】边换角后约去,得,所以,但B非最大角,所以。‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】所以,因为,为相反数,所以所求值为2.‎ ‎8.【答案】A ‎ ‎【解析】的意义在于是对求和。因为,同时注意,所以所求和为=‎ ‎9.【答案】C ‎ 【解析】若A为直角,则根据A、B纵坐标相等,所以;若B为直角,则利用得,所以选C ‎10.【答案】C ‎【解析】由球心作面ABC的垂线,则垂足为BC中点M。计算AM=,由垂径定理,OM=6,所以半径R=‎ ‎11.【答案】B ‎ ‎【解析】由余弦定理,AF=6,所以,又,所以 ‎12.【答案】C ‎ ‎【解析】顶点坐标为,顶点坐标,并且与的顶点都在对方的图象上,图象如图, A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=‎ ‎【方法技巧】(1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。(2)并不是A,B在同一个自变量取得。‎ 二.填空题 ‎13. 【答案】 ‎ ‎【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。‎ ‎14. 【答案】63‎ ‎【解析】由递增,,所以,代入等比求和公式得 ‎15. 【答案】44‎ ‎【解析】两式相加,所以并利用双曲线的定义得,所以周长为 ‎16. 【答案】10 ‎ ‎【解析】设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得,,显然各个括号为整数。设分别为,,则。设=‎ ‎=,由已知,由判别式得,所以,所以。‎ 三.解答题 ‎ (17)【解析】‎ ‎ (I)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ (II)‎ ‎ ‎ ‎(18)【解析】由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.‎ ‎(II) 连OG并延长交AC与M,链接QM,QO.‎ 由G为∆AOC的重心,得M为AC中点,由G为PA中点,得QM//PC.‎ 又O为AB中点,得OM//BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO.所以QG//平面PBC. ‎ ‎(19)【解析】‎ ‎ (I)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道一类题依次编号为5.6,任取2道题,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.‎ ‎ 用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,所以 ‎ P(A)=‎ ‎ (II)基本事件向(I),用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8个,所以P(B)=.‎ ‎ (20)【解析】‎ ‎ (I)因为抛物线上任意一点(x,y)的切线斜率为,且切线MA的斜率为,所以A点坐标为,故切线MA的方程为 ‎ .‎ 因为点在切线MA 抛物线C上,于是 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②得p=2.‎ 设N(x,y),A ‎ ③‎ ‎ ④‎ 切线MA、MB的方程为 ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ 由⑤⑥得MA、MB的交点M()的坐标为 ‎ ⑦‎ 由③④⑦得 ‎ ‎ 当时,A、B重和于远点0,AB重点N为0,坐标满足因此AB中点N的轨迹方程为 ‎(21)【解析】记F(x)=‎ ‎(II)因为当时.‎ ‎(22)【解析】证明:‎ ‎(I)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB∠EAB,由AB为⨀O的直径,得AE⊥AB,得∠EAB+∠EBF=;‎ 又EF⊥AB,故∠FEB=∠CEB.‎ ‎(II)‎ ‎ ‎ ‎(23)【解析】‎ ‎ (I) 圆C的直角坐标方程为 ‎ 直线C的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎ 解 ‎ 所以交点的极坐标为,‎ 注:极坐标系下点的表示不唯一.‎ ‎(II)由(I)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ 由参数方程可得y=.‎ 所以 解得,‎ ‎(24)【解析】‎ ‎(I)当a=2时,‎ 当 ‎(II)记 ‎ 于是a=3‎