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- 2021-05-13 发布
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导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x)=。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
3.几种常见函数的导数:
① ② ③; ④;
⑤⑥; ⑦; ⑧.
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即: (
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'|= y'| ·u'|
(二)典型例题分析
题型一:导数的概念及其运算
例1. 如果质点A按规律运动,则在t=3 s时的瞬时速度为( )
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
变式:定义在D上的函数,如果满足:,常数,
都有≤M成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
【文】(1)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【理】(2)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
例2. 已知的值是( )
A. B. 2 C. D. -2
变式1:( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
变式2:( )
A. B. C. D.
例1. 求所给函数的导数:
变式:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3)
C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)
题型二:导数的几何意义
① 已知切点,求曲线的切线方程;
注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可.
例2. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
② 已知斜率,求曲线的切线方程;
注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.
例3. 与直线的平行的抛物线的切线方程是( )
A. B. C. D.
① 已知过曲线外一点,求切线方程;
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
例1. 求过点且与曲线相切的直线方程.
变式1、已知函数的图象在点处的切线方程是,则 。
变式2、
考点二:导数应用
(一)知识清单
1. 单调区间:一般地,设函数在某个区间可导,
如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x01
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
课后作业
1、曲线在点处的切线方程是 。
2、.已知曲线C:,直线,且直线与曲线C相切于点,求直线的方程及切点坐标。
3、设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为。(1)求,,的值;
(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。
4、设函数,已知是奇函数。
(1)求、的值。
(2)求的单调区间与极值。
5、已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
6、已知函数 .
(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;
(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.
7、已知函数.
(1) 设,求函数的极值;
(2) 若,且当时,12a恒成立,试确定的取值范围.
8、若函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,求实数的取值范围.
附加:1.(福建)已知对任意实数,有,且时,,则时( )
A. B.
C. D.
2.(海南)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
3.(海南)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
4.(江苏)已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若,则下列命题中正确的是( )
A. B. C. D.
6.(江西)若,则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
7.(辽宁)已知与是定义在上的连续函数,如果与仅当时的函数值为0,且,那么下列情形不可能出现的是(C )
A.0是的极大值,也是的极大值
B.0是的极小值,也是的极小值
C.0是的极大值,但不是的极值
D.0是的极小值,但不是的极值
8.(全国一)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
9.(全国二)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(浙江)设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )
11. (北京)是的导函数,则的值是
12.(广东)函数的单调递增区间是
13.(江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则
14.(福建)设函数.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.
15.(广东)已知是实数,函数.如果函数在区间
上有零点,求的取值范围.