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  • 2021-05-13 发布

高考一轮复习专题导数及其应用含答案

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导数及其应用 考点一:导数概念与运算 ‎(一)知识清单 ‎1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。‎ 即f(x)==。‎ 说明:‎ ‎(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。‎ ‎(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。‎ 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:‎ ‎(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);‎ ‎(2)求平均变化率=;‎ ‎(3)取极限,得导数f’(x)=。‎ ‎2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。‎ ‎3.几种常见函数的导数: ‎ ‎① ② ③; ④;‎ ‎⑤⑥; ⑦; ⑧.‎ ‎4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),‎ 即: (‎ 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:‎ 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: ‎ 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:‘=(v0)。‎ 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'|= y'| ·u'|‎ ‎(二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1. 如果质点A按规律运动,则在t=3 s时的瞬时速度为( )‎ A. ‎6m/s B. ‎18m/s C. ‎54m/s D. ‎81m/s 变式:定义在D上的函数,如果满足:,常数,‎ 都有≤M成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.‎ ‎【文】(1)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.‎ ‎【理】(2)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.‎ 例2. 已知的值是( )‎ ‎ A. B. ‎2 C. D. -2‎ 变式1:( )‎ ‎ A.-1 B.-‎2 ‎C.-3 D.1‎ 变式2:( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 例1. ‎ 求所给函数的导数:‎ 变式:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )‎ A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3)‎ C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)‎ 题型二:导数的几何意义 ① 已知切点,求曲线的切线方程;‎ 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可.‎ 例2. 曲线在点处的切线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ② 已知斜率,求曲线的切线方程;‎ 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.‎ 例3. 与直线的平行的抛物线的切线方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ① 已知过曲线外一点,求切线方程;‎ 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.‎ 例1. 求过点且与曲线相切的直线方程.‎ 变式1、已知函数的图象在点处的切线方程是,则 。‎ 变式2、‎ 考点二:导数应用 ‎(一)知识清单 1. 单调区间:一般地,设函数在某个区间可导,‎ 如果,则为增函数;‎ 如果,则为减函数;‎ 如果在某区间内恒有,则为常数;‎ ‎2.极点与极值:‎ 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;‎ ‎3.最值:‎ 一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。‎ ‎①求函数ƒ在(a,b)内的极值;‎ ‎②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);‎ ‎③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。‎ ‎4.定积分 ‎(1)概念:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x01‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 课后作业 ‎1、曲线在点处的切线方程是 。‎ ‎2、.已知曲线C:,直线,且直线与曲线C相切于点,求直线的方程及切点坐标。‎ ‎3、设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为。(1)求,,的值;‎ ‎(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。‎ ‎4、设函数,已知是奇函数。‎ ‎(1)求、的值。‎ ‎(2)求的单调区间与极值。‎ ‎5、已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.‎ ‎6、已知函数 .‎ ‎ (I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值; ‎ ‎(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.‎ ‎7、已知函数.‎ (1) 设,求函数的极值;‎ (2) 若,且当时,‎12a恒成立,试确定的取值范围.‎ ‎8、若函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,求实数的取值范围.‎ 附加:1.(福建)已知对任意实数,有,且时,,则时( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.(海南)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(海南)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(江苏)已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若,则下列命题中正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(江西)若,则下列命题正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(辽宁)已知与是定义在上的连续函数,如果与仅当时的函数值为0,且,那么下列情形不可能出现的是(C )‎ A.0是的极大值,也是的极大值 B.0是的极小值,也是的极小值 C.0是的极大值,但不是的极值 D.0是的极小值,但不是的极值 ‎8.(全国一)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(全国二)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎10.(浙江)设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D )‎ ‎11. (北京)是的导函数,则的值是 ‎ ‎12.(广东)函数的单调递增区间是 ‎ ‎13.(江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则 ‎ ‎14.(福建)设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎15.(广东)已知是实数,函数.如果函数在区间 上有零点,求的取值范围.‎