湖州市高考科目适应性考试 11页

湖州市2018届高考科目适应性考试 数学试题卷 ‎ 注意事项：‎ ‎ 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．‎ ‎ 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足方程(为虚数单位),则复数的共轭复数对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 正视图 俯视图 侧视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎(第3题图)‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．一个棱锥的三视图如图（单位：），则该棱锥的表面积是 ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎4.下列命题正确的是 A．若平面内存在无数条直线平行于直线，则直线平行于平面；‎ B．若平面内存在无数条直线垂直于直线，则直线垂直于平面； ‎ C．若平面内存在无数条直线平行于平面，则平面平行于平面；‎ D．若平面内存在无数条直线垂直于平面，则平面垂直于平面.‎ ‎5．在的展开式中，含的项的系数是 ‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎6．已知实数，满足则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数且，则下列描述正确的是 A．函数为偶函数 B．函数在上有最大值无最小值 C．函数有个不同的零点 D．函数在上单调递减 8． 已知，随机变量满足．若，‎ 则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎(第9题图)‎ ‎9. 如图，已知三棱锥满足AC>AB>BC，D在底面的投影O为的外心，分别记直线DO与平面ABD、ACD、BCD所成的角为，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 正方体的棱长为，正方体所在空间的动点满足，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）‎ 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）‎ ‎11．双曲线的实轴长是 ▲ ，焦点到渐近线的距离是 ▲ ．‎ ‎12．若实数，且，则 ▲ ， ▲ ．‎ ‎（第14题）‎ ‎13．等差数列的前项和为，若，，且成等比数列，‎ 则 ▲ ， ▲ ．‎ ‎14．已知抛物线，是其焦点，是上的一条弦．若点的坐标为，点在第一象限上，且，则直线的斜率为 ▲ ，的外接圆的标准方程为 ▲ .‎ 15． 将不同颜色的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多可以放一个小球，‎ 则三个空盒中恰有两个空盒相邻的方法共有 ▲ 种.（用数字回答）‎ 16． 在中，，，点在线段上，且，‎ 则的最大值是 ▲ .‎ 17． 已知函数，若对任意的，‎ 恒成立，则的取值范围是 ▲ .‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18．(本小题满分14分)已知函数（）‎ 的最小正周期为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间及取值范围.‎ ‎19. (本小题满分15分)‎ 如图，三棱柱所有的棱长均为，．‎ ‎（第19题图）‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线和平面所成角的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分15分)‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎21．(本小题满分15分)‎ 椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值.‎ ‎22．(本小题满分15分)‎ 设数列满足，，记．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）证明：当且时，．‎ ‎2018年5月高三数学调研测试卷参考答案 一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D C A D B C B B D A 二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11.， ； 12.，； ‎ ‎13. ，； 14.， ；‎ ‎15.； 16.； 17.．‎ 三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．(本题满分14分)已知函数（）‎ 的最小正周期为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的单调区间及取值范围.‎ 解：（Ⅰ）…………………………2分 ‎…………………4分 ‎，.……………………5分 ‎…………………………6分 ‎………………………………7分 ‎（Ⅱ）当时，……………………8分 当即时单调递减，所以的减区间为,……10分 当即时单调递增，所以的增区间为,…12分 ‎.…………………………14分 ‎19．（本题满分15分）如图，三棱柱所有的棱长均为，．‎ ‎（第19题图）‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线和平面所成角的余弦值．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：取中点，连接，‎ ‎………………………………………2分 连接交于点，连接，则 ‎，‎ ‎； ……………………………4分 又，面，‎ ‎，………………6分 所以，. …………………………………7分 ‎（Ⅱ）直线和平面所成的角等于直线和平面所成的角.……………8分 因为三棱柱所有的棱长均为，故，‎ ‎，‎ ‎.…………………………………10分 ‎，，‎ 为直线和平面所成的角.…………12分 ‎，‎ 由于，所以，在中，.‎ 直线和平面所成角的余弦值为. ‎ 即直线和平面所成的角的余弦值为. ……………………15分 ‎20.(本题满分15分)已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：．‎ 考点分析：1.导数的概念及求导公式；2.导数在研究函数中的应用；‎ 解：（Ⅰ）已知函数，导函数为． ..............3分 令，，‎ 当时，；当时，，‎ 所以，即，当且仅当时等号成立. ‎ 由已知，得，，所以. ...............6分 所以，函数的单调递减区间为. ...............7分 ‎ (Ⅱ)等价于 ...............9分 令，，‎ ‎，..............12分 由第1小题，易得，所以，. ..............14分 所以，当时，有，即，‎ 故. ..............15分 ‎21. (本小题共15分)‎ 椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为，则由题意得 得 或 （舍去）…………4分 所以椭圆方程为． …………5分 ‎(Ⅱ)方法一：‎ 因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，直线不过原点，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，‎ 由 消去，并整理，得 ‎. …………7分 设，，又,‎ 所以， …………9分 因为,所以，即 所以，即， …………11分 因为，所以．　　 ‎ 又点到直线的距离，因为，‎ 所以　 …………14分 所以，即的最大值为． …………15分 ‎(Ⅱ)方法二：‎ 因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，直线不过原点，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，‎ 由，消去，并整理，得.‎ 设，，，，又，‎ 所以，. …………9分 因为，所以.‎ 因为，所以， …11分 所以，又点到直线的距离，所以.‎ 所以. ‎ 设，则， …………14分 所以，即的最大值为． …………15分 22． ‎(本题满分15分)设数列满足，，记．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）证明：当且时，．‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，……………3分 故，……………5分 所以．……………7分 也可用数学归纳法证明，酌情给分．‎ ‎（Ⅱ）下面用数学归纳法证明：当且时，．‎ ‎（1）当时，，显然，命题成立．‎ ‎（2）假设（）时，成立，……………9分 那么时，因为，‎ 若，则．……………11分 若，则，‎ 因为，所以，且，……………13分 故． ……………14分 由（1）、（2）可知，对一切且时，成立． ……………15分 也可用利用第一小题结论，再去证明成立，酌情给分．‎