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  • 2021-05-13 发布

全国II卷文科数学高考真题

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‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则A∩B=‎ A.(-1,+∞) B.(-∞,2) ‎ C.(-1,2) D.‎ ‎2.设z=i(2+i),则=‎ A.1+2i B.-1+2i ‎ C.1-2i D.-1-2i ‎3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=‎ A. B.2‎ C.5 D.50‎ ‎4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B.‎ C. D.‎ ‎5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.‎ 甲:我的成绩比乙高.‎ 乙:丙的成绩比我和甲的都高.‎ 丙:我的成绩比乙高.‎ 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 ‎ C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 ‎6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=,则当x<0时,f(x)=‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 ‎8.若x1=,x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点,则=‎ A.2 B. ‎ C.1 D.‎ ‎9.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.8‎ ‎10.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.已知a∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 A. B. ‎ C.2 D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若变量x,y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.‎ ‎14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.‎ ‎15.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=___________.‎ ‎16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.‎ ‎(1)证明:BE⊥平面EB1C1;‎ ‎(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥的体积.‎ ‎18.(12分)‎ 已知是各项均为正数的等比数列,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎19.(12分)‎ 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.‎ 的分组 企业数 ‎2‎ ‎24‎ ‎53‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;‎ ‎(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)‎ 附:.‎ ‎20.(12分)‎ 已知是椭圆的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若为等边三角形,求C的离心率;‎ ‎(2)如果存在点P,使得,且的面积等于16,求b的值和a的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.证明:‎ ‎(1)存在唯一的极值点;‎ ‎(2)有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.‎ ‎(1)当时,求及l的极坐标方程;‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知 ‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若时,,求的取值范围.‎ ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 ‎1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.D ‎7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.A ‎13.9 14.0.98 15. 16.26;‎ ‎17.解:(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,‎ 故.‎ 又,所以BE⊥平面.‎ ‎(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以,故AE=AB=3,.‎ 作,垂足为F,则EF⊥平面,且.‎ 所以,四棱锥的体积.‎ ‎18.解:(1)设的公比为q,由题设得 ‎,即.‎ 解得(舍去)或q=4.‎ 因此的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得,因此数列的前n项和为.‎ ‎19.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 ‎.‎ 产值负增长的企业频率为.‎ 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.‎ ‎20.解:(1)连结,由为等边三角形可知在中,,,,于是,故的离心率是.‎ ‎(2)由题意可知,满足条件的点存在.当且仅当,,,即,①‎ ‎,②‎ ‎,③‎ 由②③及得,又由①知,故.‎ 由②③得,所以,从而故.‎ 当,时,存在满足条件的点P.‎ 所以,的取值范围为.‎ ‎21.解:(1)的定义域为(0,+).‎ ‎.‎ 因为单调递增,单调递减,所以单调递增,又,‎ ‎,故存在唯一,使得.‎ 又当时,,单调递减;当时,,单调递增.‎ 因此,存在唯一的极值点.‎ ‎(2)由(1)知,又,所以在内存在唯一根.‎ 由得.‎ 又,故是在的唯一根.‎ 综上,有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.‎ ‎22.解:(1)因为在C上,当时,.‎ 由已知得.‎ 设为l上除P的任意一点.在中,,‎ 经检验,点在曲线上.‎ 所以,l的极坐标方程为.‎ ‎(2)设,在中, 即.‎ 因为P在线段OM上,且,故的取值范围是.‎ 所以,P点轨迹的极坐标方程为 .‎ ‎23.解:(1)当a=1时,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以,不等式的解集为.‎ ‎(2)因为,所以.‎ 当,时,.‎ 所以,的取值范围是.‎