版高考数学理直线平面垂直的判定及其性质二轮考点专练 18页

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 ‎1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则　(　　)‎ A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l ‎【解析】选D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D.‎ ‎2.(2013·浙江高考文科·T4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面　(　　)‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β ‎【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.‎ ‎【解析】选C. A选项中m与n还有可能相交或异面;B选项中α与β还有可能相交;D选项中m与β还有可能平行或m⊂β.‎ ‎3. （2013·山东高考理科·Ｔ4）已知三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B‎1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )  　A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求.‎ ‎【解析】选 B. 取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角. ‎ 因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.‎ ‎4. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ11）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ10）相同 已知正四棱柱的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解析】选A.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为.‎ 因为，即，解得.所以.‎ ‎5.(2013·浙江高考理科·T10)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则　(　　)‎ A.平面α与平面β垂直 B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°‎ C.平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°‎ ‎【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.‎ ‎【解析】选A.由于P是空间任意一点,不妨设P∈α,如图所示,‎ 则Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P),Q2=fα[fβ(P)]=fα(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A.‎ 二、解答题 ‎6. （2013·重庆高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，， ．‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．‎ ‎【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明⊥平面,通过转化可求解三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为⊥底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以⊥平面.‎ ‎（Ⅱ）三棱锥的底面的面积 由⊥底面，得 由,得三棱锥的高为,故 所以 ‎7.（2013·广东高考文科·Ｔ18）如图①，在边长为1的等边中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图②所示的三棱锥，其中．‎ ‎ ‎ ‎① ② ‎ ‎(1) 证明：//平面；‎ ‎(2) 证明：平面；‎ ‎(3) 当时，求三棱锥的体积．‎ ‎【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.‎ ‎【解析】（1）在等边中，，所以,‎ 在折叠后的三棱锥中也成立，所以.‎ 因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）在等边中，是的中点，所以①，.‎ 因为在三棱锥中，，所以②‎ 因为，所以平面；‎ ‎（3）由（1）可知，结合（2）可得平面.‎ ‎.‎ ‎8. （2013·辽宁高考文科·Ｔ18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.‎ 求证：平面平面;‎ 设为的中点, 为的重心,求证: ∥平面.‎ ‎【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。‎ ‎【证明】由是圆的直径，得；‎ 由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；‎ 又 所以 连接并延长交于,‎ 连接 由为的重心,知为的中点，‎ 由为的中点,则∥,‎ 又因为平面,平面 所以∥平面 又由为的中点,则∥，同理可证，∥平面 因为,平面,平面,‎ 所以，据面面平行的判定定理，平面∥平面 又平面,故∥平面.‎ ‎9. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ19）‎ 如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.‎ ‎ ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求点 ‎ ‎【解析】（I）取的中点，连结，则四边形为正方形.‎ 过作平面，垂足为.‎ 连结，，，.‎ 由和都是等边三角形知,‎ 所以，即点为正方形对角线的交点，‎ 故，从而.‎ 因为是的中点，是的中点，所以∥，‎ 因此.‎ ‎（II）取的中点,连结,则∥.‎ 由（I）知，,故.‎ 又,,‎ 故为等腰三角形，因此.‎ 又，所以平面.‎ 因为∥，平面,平面,所以∥平面.‎ 因此到平面的距离就是到平面的距离，而,‎ 所以到平面的距离为1.‎ ‎10. （2013·四川高考文科·Ｔ19） ‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。‎ ‎（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）‎ ‎【解题指南】本题第（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件，在第（2）问的求解过程中要注意等体积法的转化.‎ ‎【解析】（1）如图,‎ 在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.‎ 因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.‎ 又因为AD,AA1在平面ADD‎1A1内,且AD与AA1相交,‎ 所以直线l⊥平面ADD‎1A1.‎ ‎(2)过D作DE⊥AC于E.‎ 因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1,‎ 又因为AC,AA1在平面AA‎1C1C内,且AC与AA1相交,‎ 所以DE⊥平面AA‎1C1C.‎ 由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,‎ 所以在中，,‎ 又,‎ 所以 因此三棱锥的体积是 ‎11. (2013·天津高考文科·T17)如图,三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧棱A‎1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A‎1C1的中点.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.‎ ‎(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.‎ ‎【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EF∥A1D,以证明EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)由侧棱A‎1A⊥底面ABC证明A‎1A⊥CD,再由三角形ABC为等边三角形得出CD⊥AB,以证明CD⊥平面A1ABB1,进而证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.‎ ‎(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.‎ ‎【解析】（1）如图, ‎ 在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AC∥A‎1C1,且AC=A‎1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=AC且DE∥AC,又因为F为A‎1C1的中点,可得A‎1F=DE,且A‎1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1,又EF⊄平面A1CD,DA1⊂平面A1CD,所以EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)由于△ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱A‎1A⊥底面ABC,CD⊂平面ABC,所以A‎1A⊥CD,又A‎1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD⊂平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.‎ ‎(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.‎ 设棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,易得BG=,在Rt△BGC中, 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.‎ ‎12.(2013·浙江高考文科·T20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.‎ ‎(1)证明:BD⊥面PAC.‎ ‎(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.‎ ‎(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.‎ ‎【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;‎ ‎(2)首先要找出DG与平面PAC所成的角,再在三角形中去解决;‎ ‎(3)根据线面垂直的性质求解.‎ ‎【解析】(1)设点O为AC,BD的交点,‎ 由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.‎ 所以O为AC的中点,BD⊥AC.‎ 又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥BD,‎ 所以BD⊥平面APC.‎ ‎(2)连结OG,由(1)可知OD⊥平面APC,‎ 则DG在平面APC内的射影为OG,‎ 所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.‎ 由题意得 在△ABC中，‎ 所以 在Rt△OCD中，‎ 在Rt△OGD中，‎ 所以与平面所成角的正切值为.‎ ‎(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,‎ 所以PC⊥OG,‎ 在Rt△PAC中，得，‎ 所以，从而，‎ 所以 ‎13.(2013·江苏高考数学科·T16) 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.‎ 求证:(1)平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ ‎【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.‎ ‎【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.‎ 又因为EF∩EG=E,‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又因为AF⊂平面SAB,AF⊥SB,‎ 所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,‎ 所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.‎ 又因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA. ‎ ‎14.（2013·湖南高考文科·Ｔ17）如图.在直菱柱ABC-A1B1C1中，‎ ‎∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动。‎ （I） 证明：AD⊥C1E；‎ （II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A2B1E的体积 ‎【解题指南】证明两异面直线垂直，一般是先转化成线面垂直，后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和的长度 ‎【解析】（I）证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以 ①‎ ‎ 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，，‎ 而， 所以 ② ‎ 由①②可得,因为点E在棱BB1上运动。‎ 得, 所以AD⊥C1E。‎ ‎(II)因为,所以是异面直线所成的角，所以，因为,所以,‎ 又,从而,于是 故，又，所以 从而 ‎15.（2013·江西高考文科·Ｔ19）如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3. ‎ ‎(1)证明：BE⊥平面BB1C1C; ‎ ‎(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离. ‎ ‎【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，必须先证两个线线垂直，本题中易得，只需借助长度关系证另一条即可；（2）三棱锥的点面距常利用等体积法.‎ ‎【解析】(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，则BF=AD=,EF=AB-DE=1，FC=2.在BFE中，BE=,在CFB中，BC=.在中，因为,‎ 所以,又由平面ABCD得,又BB1∩BC=B,故BE⊥平面BB1C1C.‎ ‎(2) .在中，‎ 同理，则.‎ 设点到平面的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为从而.‎ ‎16.（2013·安徽高考理科·Ｔ19）如图，圆锥顶点为。底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60°，‎ ‎（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；‎ ‎（2）求。‎ ‎【解题指南】（1）证明平面PAB与平面PCD的交线平行于底面上的直线AB；（2）取CD的中点F，得到为OP与面PCD所成的角，在中，求出 ‎，即可得出。‎ ‎【解析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为，因为AB//CD,AB不在面PCD内，所以AB//面PCD,又因为，面PAB与面PCD的交线为，所以AB//，由直线AB在底面上而在底面外可知，与底面平行。‎ ‎（2）设CD的中点为F，连接OF,PF,由圆的性质，，因为所以,又，因此,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故为OP与面PCD所成的角，由题设知，，设OP=h，‎ 则，根据题设有，得，由，可解得。因此，在 ‎=，故=‎ ‎.‎ ‎17.（2013·安徽高考文科·Ｔ18） 如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=600。已知PB=PD=2，PA= . ‎ ‎（1）证明：PC⊥BD ‎（2）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积。‎ ‎【解题指南】 （1）通过证明BD⊥平面APC得PC⊥BD；（2）转化为求解。‎ ‎【解析】（1）连接AC,交BD于O点,连接PO,因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知,PO⊥BD,再由PO∩AC=O,知BD⊥平面APC,又PC⊂平面APC,因此PC⊥BD.‎ ‎（Ⅱ）因为E是PA的中点，所以,由PB=PD=AB=AD=2知，,因为，‎ 所以PO=AO=,,又 ‎=3，‎ 由（1）知，因此,‎ ‎18.（2013·北京高考文科·Ｔ17）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;‎ ‎（Ⅱ）BE∥平面PAD ‎（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.‎ P A B C D E F ‎【解析】(1)因为面PAD⊥面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥面ABCD.‎ ‎(2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,‎ 所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.‎ 又因为AD⊂面PAD,BE⊄面PAD,所以BE∥面PAD.‎ ‎(3)因为BA⊥平面PAD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,‎ 所以BA⊥平面PAD,‎ 因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,‎ 又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.‎ 因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE.‎ 因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,‎ 又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD. ‎ ‎19. （2013·山东高考文科·Ｔ19）　如图，四棱锥中，,,分别为的中点 ‎(Ⅰ)求证：‎ ‎(Ⅱ)求证：‎ ‎【解题指南】（Ⅰ）本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；(Ⅱ)本题考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一个直线MN平面EFG即可.‎ ‎【解析】(I)方法一：取PA的中点H,连接EH,DH.‎ 因为E为PB的中点，所以EH//AB,EH= AB.‎ 又AB//CD,CD=AB,所以EH//CD,EH=CD.‎ 因此四边形DCEH是平行四边形.‎ 所以CE//DH.又DH 平面PAD ,CE 平面PAD,‎ 因此CE //平面PAD .‎ 方法二：‎ 连接CF.因为F为AB 的中点，‎ 所以AF=AB.又CD =AB,所以AF=CD.‎ 又AF//CD ，所以四边形AFCD为平面四边形.因此CF //AD.‎ 又CF 平面PAD,所以CF//平面PAD.‎ 因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA.又EF 平面 PAD，‎ 所以EF //平面 PAD.因为CF EF=F,故平面CEF//平面 PAD.‎ 又CE平面 CEF ，所以CE//平面PAD.‎ ‎（II）证明：因为 E,F 分别为PB,AB的中点，‎ 所以EF//PA.又ABPA .‎ 所以ABEF .‎ 同理可证ABFG. ‎ 又 EFFG=F,EF平面EFG ,FG平面 EFG,‎ 因此AB平面EFG, ‎ 又 M,N分别为 PD,PC 的中点，‎ 所以MN//CD .又 AB//CD， ‎ 所以 MN//AB,‎ 因此MN平面 EFG,又MN平面EMN,‎ 所以平面EFG平面EMN.‎ ‎20. （2013·湖北高考文科·T20）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面是梯形；‎ 第20题图 ‎（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. ‎ ‎【解题指南】（Ⅰ）利用线面平行证明四边形中，DE∥GF，利用中位线证明GD≠EF；（Ⅱ）用a，h和表示出与V，作差比较大小。‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，‎ 所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1，B1B2=d2, C1C2=d3,且d1